2019届高三数学专题练习之函数零点1．零点的判断与证明例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--， 求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4． 2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内， 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 31,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ln 31,93e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ln 31,92e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．ln 3ln 3,93⎛⎫ ⎪⎝⎭3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ） A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-4．复合函数的零点例4：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ） A ．()2,0- B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2一、选择题1．设()ln 2f x x x +-=，则函数()f x 的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．已知a 是函数()12log 2x x f x =-的零点，若00x a <<，则()0f x 的值满足（ ）A ．()00f x =B ．()00f x >C ．()00f x <D ．()0f x 的符号不确定3．函数2()2f x x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,24．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a -----+-=+的两个零点分别位于区间（ ） A ．(),a b 和(),b c 内B ．(,)a -∞和(),a b 内C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(,)a -∞和(),c +∞内5．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e 3x f x x =+-，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()2201ln 0x x x xx f x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．7D ．07．已知函数()101x x xf x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．(],2-∞-C ．()(),12,-∞+∞D ．(][),12,-∞+∞8．若函数()312f x ax a +-=在区间()1,1-内存在一个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-9．已知函数()00exx x f x ≤⎧=⎨>⎩，则使函数()()g x f x x m =+-有零点的实数m 的取值范围是（ ） A ．[)0,1B ．(1),-∞C ．(](),12,-∞+∞D ．(](),01,-∞+∞10．已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数，若函数221()()y f x f x λ++=-只有一个零点，则实数λ 的值是（ ）A ．14 B ．18C ．78-D ．38-11．已知当[]0,1x ∈时，函数21()y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,1][23,+)∞ B ．(]0,13[),+∞C ．[23,+)∞D ．[3,+)∞12．已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 （2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根 （3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根 （4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根 则正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．函数()052log ||x f x x -=-．的零点个数为________． 14．设函数31y x =与2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00(,)x y ，若0,1()x n n ∈+，n ∈N ，则0x 所在的区间是______．15．函数()22026ln 0f x x x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．16．已知函数()23||f x x x =+，R x ∈，若方程()1|0|f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________． 三、解答题17．关于x 的二次方程21()10x m x ++-=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围．18．设函数()1()10f x x x=->．（1）作出函数()f x 的图象； （2）当0a b <<且()()f a f b =时，求11a b+的值； （3）若方程()f x m =有两个不相等的正根，求m 的取值范围．答案1．零点的判断与证明例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--， 求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4． 【答案】见解析【解析】()111x f x x x-'=-=，()1,x ∈+∞，()0f x '∴>，()f x ∴在()1,+∞单调递增，()31ln30f =-<，()42ln 20f =->，()()340f f ∴<，()03,4x ∴∃∈，使得()00f x =因为()f x 单调，所以()f x 的零点唯一． 2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内， 函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．ln 31,93e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．ln 31,92e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．ln 3ln 3,93⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】()()()33x f x f x f x f ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭，当[)3,9x ∈时，()ln 33x x f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()ln 13ln 393xx f x xx ≤<⎧⎪=⎨≤<⎪⎩，而()()g x f x ax =-有三个不同零点⇔()y f x =与y ax =有三个不同交点，如图所示，可得直线y ax =应在图中两条虚线之间，所以可解得：ln3193ea << 3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（ ） A ．5- B ．6-C ．7-D ．8-【答案】C【解析】先做图观察实根的特点，在[)1,1-中，通过作图可发现()f x 在()1,1-关于()0,2中心对称，由()()2f x f x +=可得()f x 是周期为2的周期函数，则在下一个周期()3,1--中，()f x 关于()2,2-中心对称，以此类推。

从而做出()f x 的图像（此处要注意区间端点值在何处取到），再看()g x 图像，()251222x g x x x +==+++，可视为将1y x=的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位， 所以对称中心移至()2,2-，刚好与()f x 对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点123x x x <<，其中23x =-，1x 与3x 关于()2,2-中心对称，所以有134x x +=-。

所以1237x x x ++=-．故选C ．4．复合函数的零点例4：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（ ） A ．()2,0- B ．()2,1-- C ．()0,1 D ．()0,2【答案】B【解析】考虑通过图像变换作出()f x 的图像（如图），因为()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦最多只能解出2个()f x ，若要出七个根，则()11f x =，()()20,1f x ∈，所以()()()121,2b f x f x -=+∈，解得：()2,1b ∈--． 一、选择题1．设()ln 2f x x x +-=，则函数()f x 的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】∵()1ln11210f +-=-<=，()2ln 20f =>，∴()()120f f ⋅<， ∵函数()ln 2f x x x +-=的图象是连续的，且为增函数， ∴()f x 的零点所在的区间是()1,2．故选B ．2．已知a 是函数()12log 2x x f x =-的零点，若00x a <<，则()0f x 的值满足（ ）A ．()00f x =B ．()00f x >C ．()00f x <D ．()0f x 的符号不确定【答案】C【解析】()f x 在(0,)+∞上是增函数，若00x a <<，则()()00f x f a <=．3．函数2()2f x x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3 B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,2【答案】C【解析】因为()f x 在(0,)+∞上是增函数，则由题意得()()()()12030f f a a --=<⋅，解得03a <<，故选C ．4．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a -----+-=+的两个零点分别位于区间（ ） A ．(),a b 和(),b c 内B ．(,)a -∞和(),a b 内C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(,)a -∞和(),c +∞内【答案】A【解析】∵a b c <<，∴()()()0f a a b a c -=->，()()()0f b b c b a -=-<，()()()0f c c a c b -=->，由函数零点存在性定理可知，在区间(),a b ，(),b c 内分别存在零点，又函数()f x 是二次函数，最多有两个零点．因此函数()f x 的两个零点分别位于区间(),a b ，(),b c 内，故选A ． 5．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e 3x f x x =+-，则()f x 的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()00f =，即0是函数()f x 的一个零点，当0x >时，令()3e 0x f x x =+-=，则e 3x x =-+，分别画出函数1e x y =和23y x =-+的图象，如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数()f x 有一个零点， 根据对称性知，当0x <时函数()f x 也有一个零点． 综上所述，()f x 的零点个数为3．故选C ． 6．函数()2201ln 0x x x xx f x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．7D ．0【答案】B【解析】方法一：由()0f x =得2020x x x ≤⎧⎨+-=⎩或2020x x x >⎧⎨+-=⎩，解得2x =-或e x =，因此函数()f x 共有2个零点．方法二：函数()f x 的图象如图所示，由图象知函数()f x 共有2个零点． 7．已知函数()101x x xf x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（ ）A ．()1,2B ．(],2-∞-C ．()(),12,-∞+∞D ．(][),12,-∞+∞【答案】D【解析】当0x ≤时，()x f x m +=，即1x m +=，解得1m ≤；当0x >时，()x f x m +=，即1x m x+=， 解得2m ≥，即实数m 的取值范围是(][),12,-∞+∞．故选D ．8．若函数()312f x ax a +-=在区间()1,1-内存在一个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-【答案】B【解析】当0a =时，()1f x =与x 轴无交点，不合题意，所以0a ≠；函数()312f x ax a +-=在区间()1,1-内是单调函数，所以()0(11)f f -⋅<，即()(10)51a a -+>，解得1a <-或15a >．故选B ．9．已知函数()00exx x f x ≤⎧=⎨>⎩，则使函数()()g x f x x m =+-有零点的实数m 的取值范围是（ ） A ．[)0,1B ．(1),-∞C ．(](),12,-∞+∞D ．(](),01,-∞+∞【答案】D【解析】函数()()g x f x x m =+-的零点就是方程()f x x m +=的根，画出()()0e 0x xx h x f x x x x ≤⎧=⎨+=>+⎩的大致图象（图略）．观察它与直线y m =的交点，得知当0m ≤或1m >时，有交点，即函数()()g x f x x m =+-有零点．故选D ．10．已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数，若函数221()()y f x f x λ++=-只有一个零点，则实数λ 的值是（ ）A ．14 B ．18C ．78-D ．38-【答案】C【解析】令2()21(0)y f x f x λ+-+==，则2()())21(f x f x f x λλ--=-+=，因为()f x 是R 上的单调函数，所以221x x λ+=-，只有一个实根，即2210x x λ++=-只有一个实根，则1810()∆=λ-+=，解得78λ=-．11．已知当[]0,1x ∈时，函数21()y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,1][23,+)∞ B ．(]0,13[),+∞C ．[23,+)∞D ．[3,+)∞【答案】B【解析】在同一直角坐标系中，分别作出函数2221()(1)f x mx m x m ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭与()g x m的大致图象．分两种情形： （1）当01m <≤时，11m≥，如图①，当[]0,1x ∈时，()f x 与()g x 的图象有一个交点，符合题意．（2）当1m >时，101m<<，如图②，要使()f x 与()g x 的图象在[]0,1上只有一个交点， 只需()()11g f ≤，即211()m m +≤-，解得3m ≥或0m ≤（舍去）．综上所述，(][0,13),m ∈+∞．故选B ．12．已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题： （1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根 （2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根 （3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根 （4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根 则正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出x 的总数．（1）中可得()()12,1g x ∈--，()20g x =，()()31,2g x ∈，进而()1g x 有2个对应的x ，()2g x 有2个，()3g x 有2个，总计6个，（1）正确；（2）中可得()()12,1f x ∈--，()()20,1f x ∈，进而()1f x 有1个对应的x ，()2f x 有3个，总计4个， （2）错误；（3）中可得()()12,1f x ∈--，()20f x =，()()31,2f x ∈，进而()1f x 有1个对应的x ，()2f x 有3个，()3f x 有1个，总计5个，（3）正确；（4）中可得：()()12,1g x ∈--，()()20,1g x ∈，进而()1g x 有2个对应的x ，()2g x 有2个，共计4个，（4）正确则综上所述，正确的命题共有3个． 二、填空题13．函数()052log ||x f x x -=-．的零点个数为________． 【答案】2【解析】由()0f x =，得0.51|log |2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，作出函数105log ||y x =．和212xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象， 由上图知两函数图象有2个交点，故函数()f x 有2个零点． 14．设函数31y x =与2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00(,)x y ，若0,1()x n n ∈+，n ∈N ，则0x 所在的区间是______． 【答案】()1,2【解析】令()2312x f x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()00f x =，易知()f x 为增函数，且()10f <，()20f >，∴0x 所在的区间是()1,2．15．函数()22026ln 0f x x x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．【答案】2【解析】当0x ≤时，令220x -=，解得x =，所以在(0],-∞上有一个零点； 当0x >时，1'()20f x x=+>恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数．又因为()22ln 20f +-<=，()3ln30f =>，所以()f x 在(0,)+∞上有一个零点，综上，函数()f x 的零点个数为2．16．已知函数()23||f x x x =+，R x ∈，若方程()1|0|f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________． 【答案】()0,19(),+∞【解析】设()21|3|y f x x x ==+，2|1|y a x =-，在同一直角坐标系中作出21||3y x x =+，2|1|y a x =-的图象如图所示．由图可知()1|0|f x a x --=有4个互异的实数根等价于21||3y x x =+与2|1|y a x =-的图象有4个不同的交点且4个交点的横坐标都小于1，所以()231y x xy a x ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩有两组不同解，消去y 得2)0(3x a x a -+=+有两个不等实根， 所以2()340a a ∆=-->，即21090a a +>-，解得1a <或9a >．又由图象得0a >，∴01a <<或9a >． 三、解答题17．关于x 的二次方程21()10x m x ++-=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围． 【答案】(],1-∞-【解析】显然0x =不是方程21()10x m x ++-=的解，02x <≤时，方程可变形为11m x x-=+， 又∵1y x x=+在(]0,1上单调递减，在[]1,2上单调递增， ∴1y x x=+在(]0,2上的取值范围是[2,)+∞，∴12m -≥，∴1m ≤-， 故m 的取值范围是(],1-∞-．18．设函数1()1(0)f x x x=->．（1）作出函数()f x 的图象； （2）当0a b <<且()()f a f b =时，求11a b+的值；（3）若方程()f x m =有两个不相等的正根，求m 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）2；（3）01m <<． 【解析】（1）如图所示． （2）∵(]()110,11()1111,x xf x x x x⎧-∈⎪⎪=-=⎨⎪-∈+∞⎪⎩故()f x 在(]0,1上是减函数，而在(1,)+∞上是增函数． 由0a b <<且()()f a f b =，得01a b <<<且1111a b -=-，∴112a b+=． （3）由函数()f x 的图象可知，当01m <<时，方程()f x m =有两个不相等的正根．。