作X1、X2分别等于1时的弯矩图如图c、d。
l l 11 , 22 3EI 3EI l 12 21 6 EI
由图e可得
Δ1Δ Δ2 Δ AB ΔAB l
解典型方程得
4 EI 2 EI 6 EI X1 A B 2 ΔAB l l l 4 EI 2 EI 6 EI X2 B A 2 ΔAB l l l
M FP q
FP
A
A
B
B
单跨超静定梁内力？ 力法
上图所示两端固定的等截面梁 ，两端支座发生了位移，且受 荷载作用。我们这里先计算位 移情况下的内力，图a。 取基本结构如图b。 X3对梁的弯矩无影响，可不 考虑，只需求解X1、X2。 力法典型方程为
11 X 1 12 X 2 Δ1Δ A 21 X 1 22 X 2 Δ2 Δ B
Δ
A FP
Fy 0
FNi cosa i FP

物理 平衡
ห้องสมุดไป่ตู้
几何条件
第一种基本思路
位移法思路(平衡方程法)
以某些位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知内力-位移(转角-位 移)关系的单根杆件集合 分析各单根杆件在外因和结点位移共同作用 下的受力 将杆件拼装成整体 用平衡条件建立和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨杆件内力和外因 及结点位移关系可得原结构受力
EI=常数
1 位移法（典型方程法）步骤: R11 Z1 r11 r11
2
3.列位移法方程，求基本未知量
3
l 2 l 2
Z1
位移法（典型方程法）步骤: 1.确定基本未知量 2.确定基本结构、基本体系 3.建立位移法方程 4.作单位弯矩图,荷载弯矩图; q ql 2 / 20 练习
EI 2 EI
将相关杆端内力的表达式代入，整理后得： 解得：
位移法（平衡方程法思想）步骤: 1.确定基本未知量 4.利用平衡方程，求解基本未知量 2.拆分杆件 5.计算杆端弯矩，区段叠加画弯矩图 3.列转角位移方程，计算杆端内力;
第二种基本思路
回顾力法的思路： （1）解除多余约束代以基本未知力，确 定基本结构、基本体系；
na 2
nl 3
作业:
6-1 6-2 6-4
5.求出系数 6.解位移法方程 7.叠加法作弯矩图 q Z1=1
l l
4i
ql 2 / 8
ql2 / 40
Z1
6i
2i
M1
MP
q
R1=0 r11 Z1+ R1P =0
r11
R1P 6i
4i
基本体系
r
11
=10i
ql 2 / 8
R1 P ql 2 / 8
Z1 ql 2 / 80i
M M 1 Z1 M P
令 i EI —杆件的线刚度
l
MAB=X1，MBA=X2，可得 固端弯矩
F F M AB、M BA
6i ΔAB l 6i M BA 4i B 2i A ΔAB l M AB 4i A 2i B
：单跨梁在荷载作用及温度变化时 产生的杆端弯矩。
当单跨梁除支座位移外，还有荷载作用及温度变化 时，其杆端弯矩为
FP 2
1.确定基本未知量
Z1
2.拆分杆件 3.列转角位移方程，计算杆端内力 4.利用平衡方程，求解基本未知量 5.将求得基本未知量带回杆端弯 矩表达式，求出各杆端弯矩， 利用区段叠加画弯矩图
FP
EI=常数 3
l 2 l 2
1
Z1
Z1
Z1
1
2
1 M 12 位移法（平衡方程法思想）步骤: 1.确定基本未知量 4.利用平衡方程，求解基本未知量 3 M 13 2.拆分杆件 5.计算杆端弯矩，区段叠加画弯矩图 3.列转角位移方程，计算杆端内力;
1 EI=常数 基本体系 3
l 2 l 2
1.确定基本未知量 2.确定基本结构和基本体系 3.列位移法方程，求基本未知量
R1=0
第二种基本思路
FP
1
2
1
FP Z1
2
FP
2
1 EI=常数
EI=常数
3
l 2 l 2
EI=常数 基本体系 3
l 2 l 2
3 Z1 1 EI=常数 3
l 2 l 2 l 2 l 2
符号规定：杆端弯矩以对杆端顺时针方向为正；
A、 B均以顺时针方向为正；
△AB 以使整个杆件顺时针方向转动为正。
超静定单跨梁的力法结果(1) 形=形常数 载=载常数
形
形 载
表示要熟记！！！
超静定单跨梁的力法结果(2) 载 载 载
超静定单跨梁的力法结果(3) 载
载
载
超静定单跨梁的力法结果(4) 载
将原结构分解为等截面单跨超静定梁
对AB、BC、CD分别使用转角位移方程得： 以 梁 为 例
AB
返回
从原结构中取出图c、d两个隔离体。
由图c的平衡条件： 由图d的平衡条件：
位移法（平衡方程法思想）步骤: 1.确定基本未知量 4.利用平衡方程，求解基本未知量 2.拆分杆件 5.计算杆端弯矩，区段叠加画弯矩图 3.列转角位移方程，计算杆端内力;
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定练习
na 5 nl 2
na 2 nl 2
位移未知数确定练习
na 3 nl 4
na 0 nl 1
位移未知数确定练习
na 3 nl 1
na 3 nl 0
位移未知数确定练习
1
形 形
载
超静定单跨梁的力法结果(5)
载 载 载
超静定单跨梁的力法结果(6) 载
载
载 载
超静定单跨梁的力法结果(7) 载 形
载 载
超静定单跨梁的力法结果(8) 载 载 载 载
超静定单跨梁的力法结果(9) 载
2
载 载 载
超静定单跨梁的力法结果(10)
载 载
载
例1: 求图示刚架的弯矩图
1 Z1
R1=0
R1 R11 R1P 0
2
3.列位移法方程，求基本未知量
第二种基本思路
FP
1
FP
2
1.确定基本未知量 4i EI=常数 r11 7i EI=常数 3i 2.确定基本结构、基本体系 3.建立位移法方程1P R 3 R1P FPl / 8 3 l 4.作单位弯矩图,荷载弯矩图; l l l 2 2 2 2 5.求出系数 0 FP l / 8 11 Z 6.解位移法方程 2 M M 1 Z1 M P 7.叠加法作弯矩图 R1=0 1 R1 R11 R1P 0
（2）分析基本结构在未知力和“荷载” 共同作用下的变形，消除与原结构 的差别，建立力法典型方程；
（3）求解未知力，将超静定结构化为 静定结构。
核心是化未知为已知
第二种基本思路
Z1
1 Z1
FP
2
1
2 EI=常数 3 基本结构
l 2 l 2
----刚臂,限制转动的约束
Z1
FP 2
EI=常数
3
l 2 l 2
1 2 3
=刚结点数
4 5
如何确定基本未知量？ 基本未知量:独立的 结点位移.包括角位移和线位移 独立的 结点角位移na
=刚结点数
独立的 结点线位移nl 考虑轴向变形时： nl =结点数2
不考虑轴向变形时（通常）： nl =‘刚结点’变成铰，为使铰结体系几何不变所 需加的支杆数。
位移未知数确定举例
基本思路
两种解法对比：
典型方程法和力法一样，直接对结构按统一 格式处理。最终结果由迭加得到。 平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具体 问题建平衡方程。位移法方程概念清楚，杆端力在求 得位移后代转角位移方程直接可得。
位移法方程：
两法最终方程都是平衡方程。
如何确定基本未知量？ 基本未知量:独立的 结点位移.包括角位移和线位移 独立的 结点角位移na
第六章
超静定结构的解法—位移法
第六章
§6-1 基本概念 §6-2 位移法举例 §6-3 计算无侧移结构的弯矩分配法
§6-4 计算有侧移结构的反弯点法
问题：如何求解超静定结构？ l cosa i i 杆长为li，Ai=A ， Ei=E
B 1 D 3 C 2
a a
FNi li li EA EA cosa i FNi li
位移法——以某些位移为基本未知量，先拆分成已知 ，再拼装建立位移法方程，求出位移后再计算内力。
Z1
FP
哪些位移为基本未知量？
2 1
Z1
1 Z
1
EI=常数 3
l 2 l 2
Z1
Z1
FP 2
1 3
如何确定基本未知量？
假定：不考虑轴向变形
位移法——以某些位移为基本未知量，先拆分成已知 ，再拼装建立位移法方程，求出位移后再计算内力。
基本思路
典型方程法：
仿力法，按确定基本未知量、基本结构，研究基本结 构在位移和外因下的“反应”，通过消除基本体系和 原结构差别来建立位移法基本方程（平衡）的上述方 法。
平衡方程法：
利用等直杆在外因和杆端位移下由迭加所建立杆端位 移与杆端力关系（转角位移）方程由结点、隔离体的 杆端力平衡建立求解位移未知量的方法
6i F M AB 4i A 2i B ΔAB M AB l 6i F M BA 4i B 2i A ΔAB M BA l
转角位移方程