种情况下的相位常数β值是连续的，即波沿z向不具有谐振
特性。对于谐振器情况，z向也有边界限制，如图7.1-2所示
的封闭式波导谐振器,波沿z向也应呈驻波分布，且
l pg p1,2,
2
(7.1-18)
第7章 微波谐振器
图 7.1-2 任意形状封闭谐振器
第7章 微波谐振器
式中，l是谐振器的长度，λg
p l
Ai
Hi (r)ejit
1 Ei(r) ki H i(r)
H i(r)
1 ki
E i (r )
(7.1-14) (7.1-15)
第7章 微波谐振器
对于谐振器任一自由振荡模式，可以证明其最大电场
We
1| E|2
V2
dv
Wm
1| H|2
V2
dv
第7章 微波谐振器
由式(7.1-14)
W mV1 2 A i 2|H i(r)|2d v1 2
Q0
2 W
WT
0
W Pl
(7.1-21)
式中，W代表谐振器储能，WT代表一周期内谐振器的能量 损耗，Pl则代表一周期内的平均损耗功率。
第7章 微波谐振器
1
WWeWm2
|H|2d
V
v
(7.1-22)
P l 1 2S|Js|2R sd s1 2R s S|H t a|2 nds(7.1-23)
式中，Rs为表面电阻率，Htan为切线方向磁场。
(7.1-19)
代入式(7.1-17)，得到封闭式波导谐振器谐振波长一般表示
0
1
1
1c
2
p2 2l
1c
2
1g
2
(7.1-20)
式中λc为波导的截止波长。可见谐振波长与谐振器形状尺寸 和工作模式有关。
Hale Waihona Puke 第7章 微波谐振器(2) 品质因数Q0 品质因数(quality factor)Q0表征微波谐振系统的频率选
励条件决定。
式(7.1-7)为本征值方程，ki为本征值。在选定坐标系后， 可用分离变量法求解。设其特解为Ei(r)，于是得到式(7.1-3)
EEi(r)Aiejit
(7.1-9)
E
E Ei(r)Aiejit i1
(7.1-10)
式中，Ei(r)是满足边界条件的矢量函数，称为模式矢量函数；
ωi是谐振器自由振荡的模式角频率； ki i 。i/v
第7章 微波谐振器
对于式(7.1-3)
H
Hi (r)Biejit
(7.1-11)
i1
式中，Hi(r)也是模式矢量函数，Bi也是任意常数。由于电场
和磁场满足麦克斯韦方程，故当Ai决定后，Bi即可决定。事
实上，将电场和磁场归一化，使得
|Ei(r)|2d v1, |Hi(r)|2d v1
V
V
(7.1-12)
|Ei(r)|2 dv {Ei*(r)[Ei(r)]d}v Ei*(r)Ei(r)dv
V
V
V
Ei(r)[Ei(r)]ds Ei*(r)Ei(r)dv
S
V
Ei*(r)Ei(r)dv ki*|Ei(r)|2 dv
V
V
在谐振器内壁(电壁)， Ei(r)0，故式中 0 。 S
将上式代入式(7.1-16)，得到
第7章 微波谐振器
第7章 微波谐振器
7.1 微波谐振器的基本特性与参数 7.2 串联和并联谐振电路 7.3 传输线谐振器 7.4 金属波导谐振腔 7.5 介质谐振器 7.6 法布里-珀罗谐振器 7.7 谐振器的激励 7.8 微波谐振腔的微扰理论 本章提要 习题
第7章 微波谐振器
第7章 微波谐振器
2
A i ki
| E i(r)|2dv
V
(7.1-16)
由于
{ E i* (r ) [ E i(r )] } E i * (r ) E i(r ) E i * (r ) E i(r ) | E i(r )|2 E i* (r ) E i(r )dv
第7章 微波谐振器
故
2
W m1 2k A ii Vki2|E(r)|2d v1 2V|E|2d vW e
第7章 微波谐振器
综上讨论，我们可以得到如下结论: ①微波谐振器中可以存在无穷多不同振荡模式的自由 振荡，不同的振荡模式具有不同的振荡频率。这表明微波 谐振器的多谐性，与低频LC回路不同。 ②微波谐振器中的单模电场和磁场为正弦场，时间相 位差90°，电场最大时，磁场为零；磁场最大时，电场为 零，两者最大储能相等。由于谐振器内无能量损耗，谐振 器表面亦无能量流出，能量只在电场和磁场之间不断交换， 形成振荡。故振荡实质与低频LC回路相同。
第7章 微波谐振器
E H t
H E t
E 0 H 0 在S面上的边界条件是
E nˆ 0 H nˆ 0
式中 nˆ 是S面的法向单位矢量。
(7.1-1) (7.1-2)
第7章 微波谐振器
由式(7.1-1)
2E 2E 0
t 2
2H 2H 0
t 2
(7.1-3)
第7章 微波谐振器
2.谐振器的基本参数 (1) 谐振波长λ0。 谐振波长(resonant wavelength)λ0是微波谐振器最主要的 参数。它表征微波谐振器的振荡规律，即表示微波谐振器
内振荡存在的条件。
k2ku 2kv 2kz2kc 22
(7.1-17)
在导行系统情况下，沿z向无边界限制，波沿z向传播。此
第7章 微波谐振器
式(7.1-3)的求解可用分离变量法。以电场方程为例，
E=E(r)T(t)
(7.1-4)
其中，T(t)只是时间t的函数，是个标量；E(r)只是空间位置
坐标r的函数,为一矢量。将式(7.1-4)代入式(7.1-3)第一式，
2E(r) T(t) 0
E(r)
T(t)
(7.1-5)
第7章 微波谐振器
则将式(7.1-10)和式(7.1-11)代入式(7.1-1)第一、二方程，即
Ai=-jηBi
(7.1-13)
第7章 微波谐振器
式中 / 是介质的波阻抗。于是，对于谐振器某一 特定自由振荡模式(free oscillation mode),
EAiEi(r)ejit
同时由式(7.1-1)
H
j
此式要成立，必须每项为常数。令分离变量常数分别为 ωi和ki，则得到方程:
T (t) i2T (t) 0
(7.1-6)
2
E
(r
)
k
2 i
E
(r
)
0
(7.1-7)
式中 ki i 称为波数，在此为正实数。
第7章 微波谐振器
式(7.1-6)
T(t)Aiejit
(7.1-8)
式中Ai为任意常数，由起始条件决定，亦即由谐振器起始激