谈中学数学中的猜想方法及其作用天津市塘沽六中高宝红数学谈中学数学中的猜想方法及其作用内容摘要数学猜想是人的思维在探索数学规律、本质时的一种方法．它是建立在已有的事实经验基础上，运用非逻辑手段而得到的一种假定，是一种合理推理．在数学领域中，猜想是合理的，是值得尊重的，是负责任的态度．数学猜想能缩短解决问题的时间；能锻炼数学思维，激发学生的学习兴趣；能更快捷地寻找解题思路，更为透彻地理解和掌握数学知识；还能培养学生的创造性思维和创新意识，掌握研究数学的一般方法．关键词数学猜想；操作方法；教学作用科学的发展离不开创新，高素质人才最重要的是要有丰富的想像力，有善于提出问题、解决问题的能力，有发现和创新新东西的能力．引导学生进行猜想是发展学生个体、培养学生创新精神的一种有效方法，是培养创造性人才的重要手段．所谓数学猜想，是指根据某些已知的事实、材料和数学知识，以已有的数学理论和方法为指导，对未知的量及其关系所作的一种预测性的推断．它是数学研究常用的一种科学方法，又是数学发展的一种重要形式．猜想作为一种手段，目的是为了验证猜想的正确性．对于未给出结论的数学问题，猜想的形成有利于解题思路的正确诱导；对于已有结论的问题，猜想也是寻求解题思维策略的重要手段．可见探讨数学猜想及其在中学数学学习中的作用具有重要作用．本文拟对此做一探讨．一、数学中的猜想方法1、探索性方法猜想探索性猜想指的是根据教材的特点组织一些有趣的实验，让学生在实验中探索事物表面的、外部联系的知识，取得感性材料，在对这些材料加工整理，使知识结构发现变化，从中发现新知识，作出猜想，然后再从理论上予以证明，使学生较好的掌握新知识．例1 平面上的n 条直线最多可以把平面分成几部分？分析：我们可从同学感兴趣的意大利馅饼（pizza ）谈起：Primo’s pizzeria 的职员喜欢将pizza 饼切成形状各异的一块块．他们发现每切一定数量的刀数，就可产生一个最多的块数，讲到这里，教师提问：同学们，你们是否也想操刀一试身手？是否也想知道其中奥妙？在教师的煽情、鼓动下，学生已显得有些按捺不住、跃跃欲试，探索的欲望非常迫切．这时，教师要求学生每6人为一个小组，以合作探究的形式进行“切饼”的实验探索．每个学生小组基本上都是按照切1刀、2刀、3刀、4刀、5刀来进行观察的，具体的结果如图1所示．图1在这切的过程中，学生感知最多块数与切口直线的位置关系有关，要想块数最多，切口直线的位置关系应满足条件：其中任何两条不平行，任何三条不过同一点。
再注意到 1221112+⨯=+=,1232134+⨯=+=,1243167+⨯=+=,125411011+⨯=+=, 126511516+⨯=+=，……，学生运用不完全归纳法，就会发现规律．于是学生提出了下面的猜想：平面上有n 条直线，其中任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，则这些直线把平面分成12)1(++n n 个部分． 用数学归纳法可证明上述猜想的正确性． 这个实验操作简单，学生感兴趣．学生通过自己动手可得到一个直观印象：平面上的n 条直线最多可以把平面分成12)1(++n n 部分，这不仅增强了学生的学习兴趣，也培养了学生创造性思维．2、归纳性方法猜想对研究对象或问题从一定数量的特例进行观察、分析，应用不完全归纳法得出有关命题的形式、结论或方法的猜想，叫归纳猜想。
归纳猜想是数学创造性思维的一种基本方法，而且在解题中由归纳猜想可以发现解题思路，发现知识间的内在联系，从而获得超越原有知识的认识水平．例2：1＋2＋3＋……＋n ，12＋22＋32＋……＋n2(备注n2=nxIO+2)，13＋23＋33＋……＋n3(备注n3=nxIO+3)，它们的结果等于多少?解：1＋2＋3＋……＋n=0.5n （1+n ）12＋22＋32＋……＋n2=(10+2)+(20+2)+(30+2)……+(nx10+2)=(10+20+30+……+nx10)+nx2=(1+2+3+…..n)x10+nx2=5n(1+n)+nx2=5n 2+7n13＋23＋33＋……＋n3=5n 2+8n都是由归纳法先提出猜想之后再证明的。
作为数学教师，要选择具有可猜因素的材料，让学生在问题的情境中去思考。
如等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。
学生经过认真分析、思考，很容易证得所求结论。
若顺势诱导，假如一点在底边延长线上，又有怎样的结论？请写出你的猜想，倒不失为一道好的开放型试题。
例3 求前n个自然数的立方和．分析：先用几个具体的数字试试看：3121=23)23==+1+1(923)33322=+==1+++221(6336归纳猜想：23)33++++＋⋯=⋯221(n+1n这个猜想的正确性可由数学归纳法加以证明．对于上述较为复杂和一般化的问题，往往一下子难以找到直接的解决方法，这时不妨退一步考虑，把问题简单化，先尝试解决简化了的问题，然后再通过分析，利用从简单情况得到的启发，推断猜想出一般复杂状态下问题的解决途径．此类猜想的基本思路是先借助不完全归纳法，通过对部分简化了的对象的研究，归纳出特征后提出猜想，然后用严格的数学方法推理论证．3、类比性方法猜想运用类比方法，通过比较两个对象或问题的相似性——部分相同或整体类似，得出数学新命题或新方法的猜想叫类比猜想．它是一种从特殊到特殊的推理方法，在解决数学问题时，无论是对于命题本身或解题思路方法，类比都是产生猜测，获得命题的推广和引伸的原动力．教师新授等腰梯形的性质“同一底上两个底角相等”时，完全可以启发学生回忆学习等腰三角形性质时的方法：先让学生观察等腰梯形的两个底角，后联想学习等腰三角形的情形，用量角器测量、对折重合等方法，从而通过“类比 -- 猜想”来得到等腰梯形“两个底角相等”的性质。
又如，学生学习“等腰梯形中位线定理”时，只要让学生操作，马上会回忆起原先学习“三角形中位线定理”时的情形，从而促进新定理的学习。
教学中让学生在“手脑并用”中体会“观察 -- 联想 -- 类比 -- 猜想”的思想方法，无疑是一种行之有效的方法！数学学习中，如能灵活运用类比的方法，就能沟通知识间的联系，使思维更加广阔。
此类猜想的基本思路是利用已有的命题，通过改变命题中的部分条件从而得到新的命题，使命题的适用范围变广．当然，最后也要严格证明猜想的正确性．4、直观性方法猜想直观猜想是指在整体观察和细部考察的结合中发现事物的内在规律，作出直觉判断和猜想．初中数学中的许多概念、性质、判定等知识，对于正处于由感性认识到理性认识转化的初中生而言是比较抽象的。
让它们通过观察具体图形或实物模型和动手实验，根据自己的观察实验，在感性认知的基础上提出合理的猜想，对加深学生认知与促进学生的直觉思维是相当有益处的！例如：三角形的内角和是180度。
这是一个十分重要的概念。
在教学中我让学生自己动手操作，自己寻求：三角形内角和的答案。
这时有的学生将三角形的三个角分别剪下来，拼在一起是一个平角；有的学生剪下三角形的两个角后，再与第三个角拼在一起同样可以得出结论；还有的学生则用量角器分别量出每个角的度数，把三个角度数相加。
例如初三复习课上，教师向学生给出了这样一道习题：设 A 、 B 、C 、 D 是四个居民小区，现要在四边形 ABCD 内部建一个购物中心，试问应把购物中心健在何处，能使四个居民小区到购物中心的距离总和最小？因为四边形 ABCD 内有无数的点 , 学生很难找到确切的解决途径。
学生没有通过动手操作 , 是很难想到从特殊的点出发 , 再进行猜想 , 然后再加以论证的．而当学生拿出笔和尺来，随意地在四边形内画一画时，还是能够找到“对角线的交点P ”这一比较特殊的点的。
随后，教师继续提问：为什么这一交点肯定是到 A 、 B 、 C 、 D 这四点距离之和最小的呢？然后进一步让学生通过动手画图，在圈圈点点中学生发现：在四边形 ABCD 内部的点可以分为两类。
一类是在线段 AC 与 BD 上的；一类是在四个小三角形内的。
逐渐的，在一次又一次的画图中，进一步证实了只有 P 点才是符合要求的点。
同时在测量中也已经发现可以利用“三角形两边之和大于第三边”来进行严密地论证。
通过这样的亲身实践，学生对知识从感性认识上升到理性记忆。
在猜想中探索出正确的答案，在实践中验证了猜想的准确性，从而加深了对知识发生过程的理解。
上面的例子是在把握数学中较难理解的问题的特点的基础上，通过直观、直感获得数学猜想，从而使问题迎刃而解．数学猜想的方法有很多．这些猜想之间既有联系又有相对的独立．在学习中要灵活的运用，才能有利于学习．二、猜想在数学学习中的作用1、有利于激发学生的学习兴趣兴趣是学习的最好老师，当一个学生对某个学科、问题发生兴趣时，他就会积极思考，想方设法去解决所遇到的问题．而猜想就能调动起学生的积极性．因为猜想是从学生所熟悉的知识或事实出发，这就降低了问题的难度，从而具有较好的可接受性．恰当的运用猜想，很容易使学生的兴趣放到被研究的事物上来．比如在讲解韦达定理时，老师可让学生每人写出一个二次项系数为1的一元二次方程，只要学生说出这个方程的两个根，老师就能马上“猜出”这个方程．这样学生就会迫不及待的问有什么“诀窍”，很显然就把学生的兴趣引到韦达定理的学习上来．2、有利于更快捷地寻找解题思路由于猜想具有整体性、直接性、简敏性和跳跃性的特点，它可以省去若干转换环节，忽略问题的细部，抓住问题最重要、最突出的特征直捕实质，因此思维的速度大大加快，这便增加了对同一问题的思考时间，从而有利于筛选出最佳解题方案．3、有利于更为透彻地理解和掌握数学知识数学的特点是严谨、逻辑性强，学生在学习时往往只注重知识的表层，或是死记硬背，这样在运用知识时就会出现“我知道这个内容，但就是不会用它来解题”的问题．所以学生只有真正理解、掌握知识才能去灵活运用它．而猜想在这里能起到事半功倍的效果．比如在学习圆与圆的位置关系时，学生先自己去猜想他们大概有几种关系，再讨论各自的猜想依据，最后与课本内容相对照，这样就能加深印象、透彻的理解和掌握知识了．4、有利于培养学生的创造性思维和创新意识猜想是创造性思维的重要组成部分．综观数学发展史，一种理论、规律的获得，在最初的表现形式上，只能是一些闪光的猜想，如著名的费尔马定理、哥德巴赫猜想等等．牛顿曾说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”，由此可见猜想的重要．比如在学习对数后，根据对数与指数的关系，可让学生对照指数的运算性质“猜想”对数是否也有运算性质，并通过对一些特殊的对数值（如lg1,lg2,…lg9,lg10）之间的关系来归纳对数的运算性质，让学生在类比、归纳中得出运算性质，有利于提高学生的创造性思维和创新意识．5、有利于掌握研究数学的一般方法考察科学家研究数学问题的一般方法，一般是“提出问题——作出猜想——检验猜想——得出结论”．在教学中引导学生进行猜想，使他们自己去发现数学规律，这不但能使他们体会到研究方法，还能充分调动他们学习数学的积极性和主动性，从而使他们学得生动活泼，提高学习效果．三、结束语猜想是数学发展的动力，在数学学习中，猜想的功能是强大的．它可以激发学生的求知欲，使他们不断探索、收获；它能增强学生的学习动力，使他们更为透彻的理解和掌握数学知识；它又能开拓学生的思维，使他们能更为快捷地寻找解题思路．在中学教学中，教师要给学生营造一种宽松的、和谐的猜想氛围，并鼓励学生积极寻找猜想的依据，探索猜想的合理性和准确性，通过自己的实践操作检验猜想的真伪．这将有效地提高学生分析问题、解决问题的能力，使他们更聪明，更富有创新精神．参考文献：[1] 张惠良．实验．猜想．证明[2] 黄燕玲．数学猜想与创造性思维关系(1)[J]．河池师专学报(理科)，[3] 蒋志萍汪文贤．数学猜想能力的培养[J]．教学月刊（中学版），[4] 蒋明斌．一个猜想不等式的证明[J]．数学通讯，2006(21)[5] 刘叶滨．数学解题的猜想策论[J]．张家口师专学报，2000(16)[6] 任念兵．一类数列题的研究[J]．数学通讯，2007(5)[7] 马占杰．猜想在物理学中的作用及操作策略[J]．天津教育，2001(7-8)[8] 明廷桥．数学猜想及其教学策略[J]．湖北师范学院学报(自然科学版)，2005(2)。