不等式常见考试题型总结 Prepared on 22 November 2020《不等式》常见考试题型总结一、高考与不等式高考试题，有关不等式的试题约占总分的12% 左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。

不等式常与下列知识相结合考查：①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查．二、常见考试题型（1）求解不等式解集的题型（分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法）（2）不等式的恒成立问题（不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合法）（3）不等式大小比较常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。

（4）不等式求函数最值 技巧一：凑项 例：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数例. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

技巧三： 分离例. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

技巧四：换元例. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

技巧五：函数的单调性（注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。

） 例：求函数224y x =+的值域。

技巧六：整体代换（多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

）例：（1）已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

（2）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值(3)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x +的最小值技巧七、利用1cos sin 22=+αα转换式子技巧八、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22 。

同时还应化简1＋y 2 中y 2前面的系数为 12 ， x 1＋y 2 ＝x2·1＋y 22 ＝ 2 x ·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y 22 分别看成两个因式：x ·12 ＋y 22 ≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2 ＝34即x 1＋y 2 ＝ 2 ·x12 ＋y 22 ≤ 342 技巧九：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值. 这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解 二是直接用基本不等式。

例：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

技巧十：取平方例、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值. （5）证明不等式常用方法：比较法、分析法、综合法和放缩法。

基本不等式—最值求法的题型基础题型一：指数类最值的求法 1. 已知3a b +=，求33a b +的最小值。

变式1.已知23a b +=，求39a b +的最小值。

变式2.已知2x y -=，求133x y+的最小值。

变式3.已知23x y -=-，求124x y +的最小值。

变式4.已知点(,)x y 在直线112y x =-上，求139x y +的最小值。

基础题型二：对数类最值的求法2. 已知0,0x y >>，且24x y +=，求22log log x y +的最大值。

变式1.已知0,0x y >>，且24x y +=，求1122log log 3x y +的最小值。

变式2.已知点(,)x y 是圆226x y +=在第一象限内的任一点，求x y +的最大值。

能力题型一：常数变形（加或减去某个常数使两个因式的积为常数）1. 已知2x >,求1()12f x x x =++-的最小值。

变式1.已知3x >,求4()232f x x x =-+-的最小值。

变式2.已知1x <,求4()21f x x x =+-的最大值。

能力题型二：代换变形（把整式乘到分式中去以便于用基本不等式）1. 已知0,0x y >>,且21x y +=，求21x y +的最小值。

2. 变式1.已知0,0x y >>,且23x y +=，求23x y +的最小值。

变式2.已知0,0x y <<,且32x y +=-，求12x y+的最大值。

能力题型三：指数与系数的变形（调整字母的系数和指数）1. 已知0,0x y >>,且2221x y +=，求变式1.已知0,0x y >>,且2223x y +=，求2变式2.已知0,0a b >>,且223a b +=，求-的最小值。

能力题型四：对勾函数及其应用 【对勾函数】1y x x =+，由1x x=得顶点的横坐标为1x =±。

b y ax x =+,由bax x=得顶点的横坐标为x =(1)11b b y ax a x a x x =+=-++--,由(1)1ba x x -=-得顶点的横坐标为1x =。

例1.求2([1,4])y x xx=+∈的值域。

变式1.求2([2,1])y x xx=+∈--的值域。

变式2.求23([2,4])y x xx=+∈的值域。

例2.求4(2)1y x xx=+≥+的值域。

变式1.求12(3)2y x xx=+≥-的值域。

变式2.求2(2)1y x xx=+≤--的值域。

例3.求4sin(0)sin2y x xxπ=+≤≤的值域。

变式1.求4sin(0)sin1y x xxπ=+≤≤-的值域。

变式2.求2cos(0)cos1y x xxπ=+≤≤+的值域。

基本不等式例题例1.已知, 且，求的最小值及相应的值.例2. 的最小值为________。

例3．已知，，成等差数列，成等比数列，则的最小值是（）例4．函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为_________．例5. 若，则的最小值是（）例6．下列各函数中，最小值为2的是()A B. C. D.例7（1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. （2）求函数1422++=x x y 的最小值求22242y x x =--+的最大值.练习. 设，则的最大值为例8.已知,，且. 求的最大值及相应的的值例9若x ，y 是正数，则22)21()21(xy y x +++的最小值是 练习：已知实数x ，y 满足x +y －1=0，则x 2+y 2的最小值 例10.若实数a 、b 满足a+b=2，是3a +3b 的最小值是 基本不等式证明例 已知a ，b 为正数，求证：ab b a +≥b a +．例实际应用：某单位用木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要使框架围成的总面积为82m ，问x y 分别为多少时用料最省基 本 不 等 式 应 用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x ·1x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x =－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

解析：由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。