《高等工程数学》――科学出版社版习题答案： 第一章习题（P26） 1．略2．在R 4中，求向量a ＝[1,2,1,1]T ,在基a 1 ＝ [1 , 1, 1, 1]T , a 2 ＝ [1 , 1, －1,－1]Ta 3 ＝ [1 , －1, 1, －1]T a 4 ＝ [1 , －1,－1, 1]T 下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 5/4, 1/4, －1/4，－1/4 )T 3．在R 2×2中，求矩阵12A=03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在基 111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦下的坐标。

解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T4．试证：在R 2×2中，矩阵111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =01⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦线性无关。

证明：设 k 1B 1+ k 2B 2+ k 3B 3+ k 4B 4=0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，只要证明k 1= k 2 = k 3= k 4 =0即可。

余略。

5．已知R 4中的两组基：T T T T 1234=[1,0,0,0],=[0,1,0,0],=[0,0,1,0],=[0,0,0,1]αααα和T T T T 1234=[2,1,1,1],=[0,3,1,0],=[5,3,2,1],=[6,6,1,3]ββββ－求由基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵，并求向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标。

解：基1234{,,,}αααααB =到基1234{,,,}βββββB =的过渡矩阵是：2056133611211013⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－ 向量1234[,,,]x x x x ξ=在基1234{,,,}βββββB =的坐标是：11234205612927331336112923x 112190018101373926x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦－－－－－1＝－－27－－6．设R[x]n 是所有次数小于n 的实系数多项式组成的线性空间，求多项式p(x) = 1+ 2x n －1在基{1，(x －1)，(x －1)2，(x －1)3，….，(x －1)n －1}的坐标。

解：所求的坐标是：（3，111112,...,2, (2)n n n n C C C ----）T7．已知T T T T1212=[1,2,1,0],=[-1,1,1,1],=[2,-1,0,1],=[1,-1,3,7]ααββ，求V 1＝12212{,}V ={,}span span ααββ与的和与交的基和维数。

解：V 1＋V 2的一组基为T T T121=[1,2,1,0],=[-1,1,1,1],=[2,-1,0,1]ααβ，所以维数为3 V 1∩V 2的一组基是：123[5,2,3,4]Tββ-+=-，所以维数为1。

8．设T 是n 维线性空间V 上的一个线性变换，对某个ξ∈V ，有T k －1（ξ）≠0，T k （ξ）＝0。

试证：21,(),(),...,()k T T Tξξξξ-线性无关。

证明：设21123()()...()0k k x x T x T x T ξξξξ-++++=………………（*）下证123...0k x x x x =====即可。

对（*）两边的向量作线性变换：T k －1，根据T k －1（ξ）≠0，T k （ξ）＝0，得到10x = 由此（*）变为2123()()...()0k k x T x T x T ξξξ-+++=…………….. （**）对（**）两边作线性变换：T k －2，根据T k －1（ξ）≠0，T k （ξ）＝0，得到20x =依次进行，得到123...0k x x x x =====，即21,(),(),...,()k T T T ξξξξ-线性无关。

9．设n 维线性空间V 上线性变换T ，使对V 中任何非零向量ξ都有T n －1（ξ）≠0，T n （ξ）＝0。

求T 在某一基下的矩阵表示。

解：任取V 中一非零向量ξ，因T n －1（ξ）≠0， T n （ξ）＝0，所以由第8题的结果，有21,(),(),...,()n T T T ξξξξ-是V 中的一组基。

则T 在此基下的矩阵：0,0,......,0,01,0,.......,0,00,1,.......,0,0.................0,0,......,1,00,0,......,0,0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10．设T 是线性空间R 3的线性变换，它在R 3中基123{,,}ααααB =下的矩阵表示是：A ＝123103215⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦求T 在基112123123{,,}ββαβααβαααB ===+=++下的矩阵表示。

解：T 在基112123123{,,}ββαβααβαααB ===+=++下的矩阵表示是：B ＝244346238⎡⎤⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎣⎦11．设T 在基123{[1,1,1],[1,0,1],=[0,1,1]}T T TααααB ==-=-下的矩阵表示是：A ＝101110121⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（1） 求T 在基123{[1,0,0],[0,1,0],=[0,0,1]}T T TεεεεB ===下的矩阵表示。

（2） 求T 的核和值域。

（3） 求T 的特征值和特征向量。

解：（1）T 在基123{[1,0,0],[0,1,0],=[0,0,1]}T T TεεεεB ===下的矩阵表示是：B ＝110101111112101110011220111121101302-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2）核空间N （T ）＝{(0,0,0)T }值域 R （T ）＝R 3。

（3）特征值为：1232,(1)/2,(1)/2λλλ===对应的特征向量是：1230332,44166x x x ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12．求矩阵A 的列空间R （A ）＝{y ∈R 3|y ＝Ax ，x ∈R 3}和核空间N （A ）＝{x ∈R 3|Ax ＝0}。

其中：（1）A ＝116042116⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）A ＝0241453170510-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦解：（1）列空间为R （A ）＝11{0,4}11span ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，核空间为N （A ）＝11{1}2span -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭（2） 列空间为R （A ）＝0214{,}3105span ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，核空间为N （A ）＝3{2}1span -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭13．设V 是一线性空间。

123{,,}ααααB =是V 的一组基 ，线性变换T 在基123{,,}ααααB =在的矩阵B 分别如下，求T 的特征值和特征向量，并判断T 是否可对角化。

（1）010440216⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－, (2)01110110⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1 ,（3）00101000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1，（4）0210330⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－2－1－ 解：（1）特征值为： 1232λλλ===特征向量是： 12102,001x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不可对角化（2）特征值为：1232,1λλλ===-特征向量是： 1231101,0,1111x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可对角化（3）特征值为：1231,1λλλ=-==特征向量是： 1231100,0,1110x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭可对角化（4）特征值为：1230,,λλλ=== 特征向量是： 略 可对角化14．略15．设欧氏空间P 2（t ）中的内积为1,()()f g f t g t dt <>=⎰（1）求基{1，t ，t 2}的度量矩阵。

（2）采用矩阵形式计算f （t ）＝1－t ＋t 2与g （t ）＝1－4t －5t 2的内积。

（3）用Schmidt 正交化方法求P 2（t ）的标准正交基。

解：（1） 111220001,1111,1,dt t tdt t t dt <>=<>=<>=⎰⎰⎰11＝，＝，＝，23 111223224000,,,t t t dt t t t dt t t t dt <>=<>=<>=⎰⎰⎰111＝，＝，＝，345 所以度量矩阵为11123111234111345⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）1112311119,(1,1,1)442345111345f g ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎢⎥⎪⎢⎥<>=--=- ⎪⎢⎥ ⎪-⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3）所以标准正交基是：12231,1)216t t t εεε==-=-+（）《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第二章）P501． 求下列矩阵的特征值、代数重数核几何重数，并判断矩阵是否可对角化（1）110020112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－ （2）011121213⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－ （3）411030102⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－解：（1）特征值：1231(1)()λλλ＝代数重数和几何重数均为，＝＝2代数重数和几何重数均为2可对角化。

（2）特征值：1231(1)()λλλ＝代数重数和几何重数均为，＝＝2代数重数为2和几何重数为1不可对角化。

（3）特征值：123(1)λλλ＝＝＝3代数重数为3、几何重数均为不可对角化。

1222222223112233231,111,,,2121)21,,61,18016t t t t t t t t t t t εβββεβεεεεββε==-<>=-<>==-=-<>-<>=-+<>==-+（）2． 求下列矩阵的不变因子、初等因子和Jordan 标准形（1）3732524103⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－－－－（2）413002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10－1 （3）1234012300120001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（4）3000013000001100002000112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－解：（1）不变因子是：123d d d i λλλ+＝1,＝1,＝(-1)(-i)()初等因子是：i λλλ+(-1),(-i),()Jordan 标准形是：1000000i i ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（2）不变因子是：123d d d λ3＝1,＝1,＝(-3)初等因子是：λ3(-3)Jordan 标准形是：310031003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（3）不变因子是：1234d d d d λ4＝1,＝1,＝1,＝(-1)初等因子是：λ4(-1)Jordan 标准形是：1100011000110001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（4）不变因子是：12345d d d d d λλλλλ＝1,＝1,＝1,＝(-2)（-3），＝(-1)(-2)（-3）初等因子是：λλλλλ(-2)，（-3），(-1)，(-2)，（-3）Jordan 标准形是：1000002000002000003000003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3． 设（1）110A 0012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－＝22（2）33A 613⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－1＝－7－11－（3）010A 111011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝－－ 求可逆矩阵P ，使得P －1AP 是Jordan 标准形解：（1）A 的特征值为1231λλλ＝，＝＝2 对应的特征向量是：121,ααTT＝(，0,-1)＝(0,0,1)二级根向量是：(2)2αT＝(-1,1,0)(2)122101(,,0110002102P P AP ααα--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1)＝0-1100（2）A 的特征值为123λλλ＝＝＝2 对应的特征向量是：11αT＝(，2,1)二级根向量和三级根向量是：(2)(3)11,ααT T＝(1,3,3)＝(0,2,2)(2)(3)111110(,,3232102102P P AP ααα-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1)＝21200（3）此题数据不便于求解特征值，A 的特征多项式是：3210()|A|11121011f I λλλλλλλλ-⎡⎤⎢⎥=---=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦＝－＋4． 试求第2题 最小多项式。