第18卷第2期荆州师专学报(自然科学版)Vo l.18N o.21995年4月Jo urnal of Jingzhou T eacher s Co lleg e(N atur al Science)A pr.1995收稿日期:1994狭义相对论中加速度a 与力f 的关系阳荣华 程庆华(荆门市竹园中学) (物理系) 摘要　本文针对关于狭义相对论中加速度a 与力f 的方向关系的一些讨论[1],采用更为直观、简单的方法,同样得出了加速度a 与力f 的方向关系的普适结果;并通过典型例子较全面地讨论和描述了加速度a 和力f 的方向和大小的相互关系,揭示了在狭义相对论和经典力学中a 与f 相互关系的不同;并讨论了在v /c →0时它们的一致性,从一个侧面说明了经典力学的局限性。

关键词　四维矢量;洛仑兹变换;协变1　引言众所周知,在洛仑兹变换下,牛顿力学定律不能保持协变性。

由牛顿第二定律f =m a 可以看出,在经典情况下,f 与a 方向一致,a 与f 大小成正比。

在狭义相对论中,力f 与加速度a 的方向、大小关系如何呢?本文从狭义相对论基本方程出发,采用直观、简单的方法,较全面地讨论了狭义相对论中f 与a 的关系。

2　相对论的基本方程静止质量为m 0,相对于参考系速度为u 的质点,其四维速度矢量为[2]:U = u (u ,ic )(1)其四维加速度矢量为:A =d U d ={ u 2a +1c 2 u 4u(u ・a )},1c i u4(u ・a )(2)其四维动量为[2]:P =m 0U =m 0 u (u ,ic )=(P ,ic u m 0)(3)质点所受的四维力为[2]:K =d P d = (dp t ,i c d E d t )= u (f,i c f ・u)(4)狭义相对论的基本方程为[3]:K =dP /d =m 0A(5)将(2)、(4)两式代入(5)式可得:f= u m 0a +1c 2 3u m 0(u ・a )u (6)其中 u =(1-u 2/c 2)-1/2,a =du /d t 为三维加速度,P =m 0 u u 为三维动量,f 为三维力。

3　f,a ,u 的关系在经典力学中,物体受到的力f 和其产生的加速度a 的方向是一致的。

在狭义相对论中,由(6)式可知,f 与a 的方向一般是不一致的。

f,u,a 三矢量共面,f 的方向由a 和u 共同决定。

由下面的讨论我们还可看到,f 与a 大小变化关系也与经典情形不同。

下面结合具体的例子,分四种情况加以讨论。

(Ⅰ)u=0;此时, u =1,(6)式成为f=m 0a ,即有f ∥a ,且a 与f 大小成正比,与经典情形一致。

图1　静止质量为m 0,带电量为q 的粒子在匀强电场E 中从静止开始加速(Ⅱ)u ‖a;(6)式为f=m 0 3u a ,此时亦有f ∥a ,我们称 3u m 0为纵向质量。

因 u 随u 值不断改变,可知a 与f 不是简单的正比关系。

我们用初速度为零的带电粒子在均匀电场中的运动来说明a 与f 的大小关系及其运动规律,并与经典情形相比较。

设粒子静止质量为m 0,带电量q ,在均匀电场E 中从静止开始加速,如图1。

粒子所受的力为f=q E,由(6)式可得:d d t ( u m 0u)=qE (7)初始条件为u t =0=0,对t 积分得:u =(qE /m 0)t /1+(qEt /m 0c )2(8)式中(q E /m 0)t 是经典加速度与时间之积,即经典速度u 经=(q E /m 0)t .于是:u =u 经/1+u 2经/c 2(9)从(8)、(9)两式可以看出,粒子的相对论加速度和速度均小于其经典加速度和速度。

将(8)式对t 积分,得:x =(m 0c 2/qE )[1+(qEt /m 0c )2-1](10)整理上式得:(x +m 0c /qE )2-(ct )2=m 0c 4/q 2E 2(11)显然,(11)式为一双曲线方程。

因而我们称这种运动为双曲线运动。

用二项式定理展开(10)式:x =(m 0c 2/qE )[1+(1/2)q 2(E 2t 2/m 20c 2)+ (1)(12)可见,在qEt /m 0<<c 时,(12)式简化为:x =12(qE m 0)t 2=12qE m 0c 2・(ct )2(13)图2　经典抛物线(虚线)与相对论双曲线(实线)之比较这正是在经典常力作用下粒子运动的抛物线。

图2给出了两种不同运动曲线的比较。

从图中可以看到,t 很小时,ct较小,粒子速度u 也较小,虚线与实线有“重合”现象.这说明在低速情况下,相对论结果与经典结果趋于一致。

而随着ct 的增加,两线的“差别”越来越显著,这是因为 u >1,相对论速度(加速度)小于经典速度(加速度),从而导致相对论位移小于经典位移,而且两者位移之差随着u 值的增大而增大。

双曲线的渐近线与ct 成45°夹角,A 为渐近线与ct 轴之交点。

由渐近线性质,随着ct 的增大,双曲线与渐近线趋于一致,在极端情形下两者重合。

此时,双曲线满足x =OA +ct 。

所以,粒子的速度为x =c ;加速度为x =0。

即极端情况下加速度为零。

这也可以说明电场不可能无限制地加速带电粒子,带电粒子在加速电场中所获的最大速度为c 。

因而,在u ∥a 时,f 与a 的关系虽然形式上与经典情形相同,但其包含的物理内容却大不相同。

(Ⅲ)u ⊥a ;此时,u ・a =0,(6)式成为f = u m 0a ,故亦有f ∥a ,我们称 u m 0为横向质量。

还可看到,只有当u 值保持不变时, u 值才不会变,a 与f 的大小才有正比关系。

下面就用一带电粒子在均匀磁场中运动的典型例子来加以说明。

在均匀磁场内,静止质量为m 0,带电量为q ,以速度u 垂直于磁场的方向进入磁场,磁场垂直于纸面向里,61第18卷　第2期 阳荣华等:狭义相对论中加速度a 与力f 的关系图3大小为B ,如图3。

粒子所受力为:f=q u ×B (14)此时,f 分别垂直于u 和B,又因f= u m 0a ,所以 u m 0a =q u ×B 即a =q u m 0u ×B (15)此时,a 与f 方向相同,故a 始终垂直于粒子速度u.粒子速率为一常量,粒子就沿圆周运动,其半径为!,向心加速度为u 2/!,这一加速度应与(15)式大小相等,所以1 u m 0quB =1!u 2或!= u m 0u qB =P qB(16)经典情形下的半径公式为!=m 0u /qB ,与上式相差因子 u ,取B为2.0W b /m 2,电子能量为10M eV 进行计算。

经典情形下P =2m 0K =(2×9.1×10-31kg ×10M eV ×1.60×1013J/M eV )1/2=1.7×10-21kg ・m/s!=m 0u /qB =P /qB = 1.7×10-211.60×10-19×2.0m = 5.3×10-3m =0.53cm (17)相对论情形下 P =1c (K +m 0c 2)2-(m 0c 2)2=13×108×(10+0.51)2-0.512M eV ・m /s ×1.60×10-13J /M eV =5.6×10-21kg ・m /s !=mu /q B =P /qB =5.6×10-211.60×10-19×2.0m =1.8×10-2m =1.8cm (18)从以上可以看出,在经典与相对论情形下,!所得的结果大不相同。

而最早由玻歇勒所做的相对论动力学实验证实了相对论结果。

玻歇勒实验的电子(来自放射粒子的∀衰变)进入滤波器以确定其速度,然后电子又进入一匀强磁场,在其中可测得电子的回转半径,将其实验结果列于表1[4]。

表1　玻歇勒实验结果u /c e /m (=u /!B )库/千克e /m 0(= u e /m )库/千克0.3173 1.661×10″ 1.752×10″0.3787 1.630×10″ 1.761×10″0.4281 1.590×10″ 1.760×10″0.5154 1.511×10″ 1.763×10″0.6870 1.283×10″ 1.767×10″表1的前两项(u /c 与e /m )为测量值,第三项(e /m 0)为计算值。

由表1可知,e /m 随着电子速率而变,而e /m 0为一常数。

这一结果与相对论关系式!= u m 0u /qB 相一致,与经典关系式!=m 0u /q B 不符合。

这说明在u ⊥a 的情况下,相对论关系式f = u m 0a 与经典关系式f =m 0a 虽然形式上相似,且两者都有a ∥f ,a 与f 大小成正比(此时u 为一常量, u 不变)等共同特征,但是两者所反映的问题的本质并不相同,后者只是前者在u /c →0的情况下的特例而已,前者包含更加丰富广阔的内容。

(Ⅳ)u 与a 成任意角;此时,f 与a 将成夹角#.若u 与a 之夹角为∃,由(6)式有:f =m 0 u a +(1/c 2)ua cos ∃ u 3u (19)在[0,2%]内,co s ∃曲线如图4(a)。

我们取a 的方向与水平方向一致,u 与a 夹角∃的变化看作u 从与a 重合(∃=0)开始沿逆时针“转动”产生,则co s ∃u 的矢端曲线如图4(b)所示。

图4(b)中,∃在[0,%/2]变化时, cos ∃u 由最大变化到最小,方向逆时针转过90°。

在(%/2,%]时,因co s ∃值为负,其矢端曲线“跳”到图中下半部分,从而形成一闭合曲线。

在[%,2%]时,曲线与∃在[0,%]内的结果相同。

因而,以下只讨论∃取在[0,%]区间即可。

图5(a )给出了(19)式描述的矢量关系。

取a 为水平方向,a 与u 夹角为∃,a 与f 夹角为#。

当∃在[0,%]内62荆州师专学报(自然科学版) 1995年4月图4(a ) 图4(b)图5(a ) 图5(b )变化时,#随∃的变化如图5(b)所示。

由图5(a)可得:　cos &=(m 02 u 2a 2+f 2-(1/c 4)m 02 u 6u 4a 2co s 2∃)/2m 0 u afa =(f /m 0 u )[1+∀2 u 2cos 2∃(1+ u 2)]-1/2(20)(21)式中∀=u /c 。