工程学院模拟试卷1一、填空题（4分×7=28分）1、函数)32(22),(y xey x f +-=定义域为 ，它是 点集。
2、=-+++→11lim2222)0,0(),(y x y x y x 。
3、函数32),,(yz xy z y x f +=在点(2,-1,1)处沿 方向是f 的值增长最快的方向，其变化率为 。
4、函数))((y x x f y ≠=由方程x y arctgy x =+22ln 确定，则=dx dy。
5、=-Γ)25( 。
6、⎰⎰=222xy dy e dx 。
7、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000sin )(y y yxy x f 不连续点的集合为 。
二、选择题（3分×4=12分）1、二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(0)0,0(),(),(22y x y x y x xyy x f 在(0,0)处 （ ）A. 连续，偏导数存在B.连续，偏导数不存在C. 不连续，偏导数存在D.不连续，偏导数不存在2、设函数),(y x f 在点(0,0)附近有定义，且1)0,0(,3)0,0(='='y x f f ，则（ ） A. dy dx dz +=3)0,0(B.曲面))0,0(,0,0(),(f y x f z 在点=的法向量为(3,1,1)C.曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z ))0,0(,0,0(f 在点的切向量为(1,0,3) D.曲线⎩⎨⎧==0),(y y x f z ))0,0(,0,0(f 在点的切向量为(3,0,1) 3、已知2)()(y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则a 等于（ ）A. –1B. 0C. 1D. 24、设空间区域0,0,0:0:2222222221≥≥≥≤++≥≤++z y x Rz y x V z R z y x V 则（ ）A.⎰⎰⎰⎰⎰⎰=124V V xdvxdv B. ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=124V V ydvydv C.⎰⎰⎰⎰⎰⎰=124VV zdv zdv D.⎰⎰⎰⎰⎰⎰=124V V xyzdvxyzdv三、问答题（4分）何谓含参量非正常积分⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ],[),()(在上非一致收敛？四、求解（7分×5=35分，其中第5、6题任选一题）1、设)(),(x yg y x xy f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求y x z∂∂∂2。
2、计算)0(0>>-⎰∞+--a b dx xe e bxax3、计算dxdyeDyx⎰⎰},max{22，其中]1,0[]1,0[⨯=D4、计算⎰+-2224yxydxxdy，其中L是以点(1,0)为中心，R(>1)为半径的圆周，取逆时针方向。
5、⎰⎰⎰vdxdydzz2，其中V由2222rzyx≤++和rzzyx2222≤++所确定。
6、计算dxdyyxdzdxxzdydzzy)()()(-+-+-⎰⎰∑其中∑为锥面222z y x =+)0(h z ≤≤外侧。
五、（8分）证明：由曲面∑所围的立体V 的体积为V ∆，ds z y x V ⎰⎰∑++=∆]cos cos cos [31γβα，其中γβαcos ,cos ,cos 为曲面∑外法线的方向余弦。
六、（13分）证明：函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(2222222y x y x y x yx y x f 在（0，0）点连续，且偏导数存在，但在此点不可微。
模拟试卷1参考答案一、填空（4分×7=28分）1、R 2； 无界既开又闭的点集 （每空各2分）2、2 （4分）3、（1,-3,-3）; 19(每空各2分)4、y x yx -+ （4分） 5、π158-（4分）6、214-e （4分）7、}0,0|),{(=≠y x y x （4分） 二、选择题（3分×4=12分）1、C2、C3、D4、C 三、解答题（4分）答：)(,00c M >∀>∃ε，总],[b a x M A ∈∃>∃及，使得⎰+∞≥Ady y x f 0|),(ε四、求解（7分×5=35分）1、解：g x y f y f y x z '-'+'=∂∂2211 （3分）g x f y x f x y f y f y x f x y f y x z '-''-''+'-''-''+'=∂∂∂2222212212211121)(11)(g x y ''-3（3分）=g x y g x f y x f xy f y f ''-'-''-''+'-'322231122111 （1分）2、解：因为⎰----=ba bxax xyx e e dy e（1分）而当b y a x ≤≤≥,0时，ax xy e e --≤<0 （1分）而⎰+∞-0dxe ax 收敛 （1分）由M 判别法知],[0b a dx e xy 在⎰+∞-上一致收敛 （1分）又因b y a x e y x f xy≤≤+∞<≤=-,0),(在连续（1分）所以{}⎰⎰⎰∞+-∞+--=-b a xybxax dydx edx xe e 0（1分） =⎰bady y 1=a bln （1分）3、解：设{}x y x y x D ≤≤≤≤=0),10|,(1{}1),10|,(1≤≤≤≤=y x x y x D （1分）则原式=⎰⎰⎰⎰+12DD fdxdyfdxdy =⎰⎰⎰⎰+1222DD y x dxdye dxdy e （2分）=⎰⎰⎰⎰+10122dye dy dy e dx yy xx （2分）=dyye dx xe y x ⎰⎰+1122=e-1 (2 分)4、解：222244y x xQ y x y P +=+-=)0,0(),()4(422222≠∂∂=+-=∂∂y x xQ y x x y x p （1.5分） 做足够小椭圆]2,0[sin cos 2:πθθδθδ∈⎪⎩⎪⎨⎧==y x CC 取逆时针方向 （1.5分） 于是由格林公式⎰-+=+-C L y x ydxxdy 0422 （2分）即⎰⎰⎰==+-=+-LC y x ydxxdy y x ydx xdy ππδδ202222222144 （2分）5、解：由于被积函数为z 2，因此可把三重积分化为“先二重后一重”的累次积分，又区域V 用平行xy 平面的平面截得的是一个圆面即 D 1：)20(2222rz z rz y x ≤≤-≤+D 2：)2(2222r z rz r y x ≤≤-≤+ （2分）从而⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=vr D rr D dxdy z dz dxdy z dz dv z 20222212（2分）=⎰⎰-+-20222222)()2(r rr dzz r z dz z rz z ππ （2分）=548059r π （1分）6、解：（方法一）先算⎰⎰∑-dxdy y x )(xoy 在∑平面上投影为圆域222h y x ≤+⎰⎰⎰⎰∑=--=-∴xyD dxdy y x dxdy y x 0)()(，由区域D 的对称性有⎰⎰⎰⎰=CDydxdyxdxdy （2分）其次⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑-∑+=-23)(dydz z y2∑-为圆锥面22h z x -=取后侧3∑为圆锥面22h z x -=取前侧而2∑-与3∑在oyz 平面上有相同的投影域D yz⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-+--=-∴∑yzyzD D dydz z y dydz z y dydz z y 0)()()(（2分）同理可得⎰⎰∑=-0)(dxdz x z （1分）故 原式=0 （1分）解法二：补平面z=h ，利用高斯公式可得⎰⎰∑=0，又⎰⎰∑=-0)(dxdy y x故可得原式=0四、（8分）证明：因ds z y x ⎰⎰∑++)cos cos cos (γβα=⎰⎰∑++)(zdxdy ydzdx xdydz （3分）=⎰⎰⎰∂∂+∂∂+∂∂Vdxdydz z z y y x x )(（2分）=3⎰⎰⎰∆=VVdxdydz 3 （3分）⎰⎰∑++=∆∴ds z y x V )cos cos cos (31γβα六、（13分）证明：因2||||||22222x y x xy x y x y x ≤+=+ （3分） 对εδε2.0≤>∀取，当δδ<<||,||y x 时，ε<+222y x y x ，故)0,0(0lim 222)0,0(),(f y x yx y x ==+→∴ f 在（0,0）连续 （1分）由偏导数定义知x f x f f x x ∆-∆+=→∆)0,0()0,0(lim )0,0(0（2分）=00lim0=∆-→∆x x （1分）同理0)0,0(=y f （1分）反设f 在(0,0)可微，则应有)0(0→→-∆ρρdyf而23222])()[()()0,0()0,0(y x y x yf x f f y x ∆+∆∆⋅∆=∆-∆-∆ρ（2分）当y x ∆=∆时，上式值为81（2分） 当0=∆y 时，上式值为0所以232220])()[()(limy x y x p ∆+∆∆⋅∆→不存在故)0,0(),(在y x f 不可微。