注意 不同阶数的零矩阵是不相等的.
例如 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0.
0 0 0 0
(6)方阵
1 0
E
En
0
1 O
0 0
O
0 0
1
全为1
称为单位矩阵（或单位阵）.
(7)元素之间满足关系 aij a ji (i, j 1, 2,L n) 的方阵
a11 a12 L
其中√ 表示有航班.
到站
北京 成都 广州 上海
为了便于计算,把表
北京
发站 成都
0
1
1 0
11 11
0 0
中的√ 改成１,空白 地方填上０,就得到一
广州 1 0 00 11 个数表:
上海
0
11 00
0
这个数表反映
了四城市间交
通联接情况.
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
(aij
)mn
amn
称为矩阵A的负矩阵，记作－A
转置矩阵
定义 由矩阵 A [aij ]mn 的各行换成序号相同的列， 同时把各列换成同序号的行，所得到的 n矩阵m
a11
a21 L
a12 a22 L
L L L
a1n
a2n L
a
m1
am 2
L
amn
A
nm
a11 a21 L am1
a12 a22 L am2
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
2 2 2
1 2
是一个 3 1 矩阵,
4
2 3 5 9
4 是一个 11 矩阵.
是一个 1 4 矩阵,
负矩阵
定义 由矩阵 A [aij ]mn 元素的相反数构成的矩阵
a11 a12 L
a21
a22
L
L L L
am1
am2
L
a1n
a2n L
第一章 矩阵的概念与运算
矩阵是线性代数的一个主要研究对 象，也是数学上的一个重要工具。矩阵 的应用已经渗透到了包括自然科学、人 文科学、社会科学在内的各个领域。在 矩阵理论中，矩阵的运算起着重要的作 用，本章主要讨论有关矩阵运算的一些 基本规则与技巧。
一、矩阵的基本概念 二、矩阵的线性运算 三、矩阵的乘法 四、初等变换与初等矩阵
L L
a2n
L
副对角线 an1 an1 L ann
(2)只有一行的矩阵
A a1,a2 , ,an ,
称为行矩阵(或行向量).
只有一列的矩阵
a1
B
a2 ,
an
称为列矩阵(或列向量).
不全为0
1 0
（3）形如
0
2
0 O 0
0
O
0
的方阵,称为对角
n
矩阵(或对角阵）.
记作 A diag1,2 , ,n .
§1.1矩阵的基本概念
一、矩阵概念的引入
1、某班级同学早餐情况
姓名 馒头 包子 鸡蛋 粥
张三
4
2
2
1
李四
0
0
0
0
王五
4
9
8
6
为了方便，常用下面的数表表示
4 2 2 1
0 4
0 9
0 8
0 6
这个数表反映 了学生的早餐 情况.
2、某航空公司在Ａ，Ｂ，Ｃ， Ｄ四城市之间的航线图
成都
北京
广州
上海 为了方便，常用下面的数表表示
3.
线性方程组
a21 x1
a22 x2
a2n xn b2
的解取决于
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
系数 aiji, j 1,2, ,n,
常数项 bi i 1,2, ,n
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
对应元素相等,即
aij bij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
例1 设 A 1 2 3, 3 1 2
B 1 x 3, y 1 z
已知 A B,求 x, y, z. 解 A B,
x 2, y 3, z 2.
（4）主对角线左下方或右上方的元素全为零 的方阵
a11 a12 L
0
a22 L
L
0
OL 0
L L
a1n
a11 0 L 0
a2n
或
a21
a22
L
O
0
L
L L L L
ann
an1
an2
L
ann
分别称为上三角矩阵或下三角矩阵.
（5）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m n 零
矩阵记作 omn 或 o .
a11
A
a21
M
a12 L a22 L M
am1
am1
L
a1n
a2n
M
amn
元素 行标 列标
称为 m n型矩阵.简称 m n 矩阵.
记作： A (aij )mn
A (aij )
Amn
元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵.
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
为元素的方阵
a11 a12 L
a12
a22
L
L L L
a1n
a2n
L
a1n
a2n
L
ann
称为A的共轭矩阵，记作 A [aij ]mn
四、同型矩阵与矩阵相等的概念
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同
型矩阵. 例如
1 5
2 6
与
14 8
3 4
为同型矩阵A aij 与B bij 为同型矩阵,并且
a12
a22
L
a1n
a2n
称为对称矩阵
L L L L
a1n a2n L ann
A AT
元素之间满足关系aij a ji (i, j 1, 2,L n)的方阵
0 a12 L
a12
0L
L L L
a1n
a2n
L
a1n
a2n
称为反对称矩阵
L
0
A AT
(8)当 A [aij ]mn为复矩阵时，以 aij 的共轭复数 aij
L L L L
称为矩阵A的转置矩阵，记作 AT 或 A
a1n
a2n
L
amn
三、几种特殊矩阵
(1)行数与列数都等于n的矩阵A，称为n阶
方阵.也可记作 An .
例如
13 6 2i 2 2 2
2 2 2
是一个3 阶方阵.
主对角线
a11 a12 L a1n
方阵
A
a21 L
a22 L
b1 b2
对线性方程组的
研究可转化为对
an1 an2 ann bn 这张表的研究.
类似的矩形数表在许多问题中都存在着，经过科
学的抽象就形成一个重要的数学概念——矩阵.
二、矩阵的定义
由 m n 个数 aij i 1,2, ,m; j 1,2, ,n
排成的 m行 n列的数表