海淀区高三年级第一学期期中练习
数 学（理科） 2019. 11
本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项．
1．已知全集U =R ，集合2
{|1}A x x =≥，则U
A =
A ．(,1)-∞
B ．(1,1)
C ．(1,)+∞
D ．(,1)
(1,)-∞-+∞
2．下列函数中，在定义域内是减函数的是
A ．1()f x x
=-
B ．()f x =
C ．1
()2
x
f x =
D ．()tan f x x =
3．在平面直角坐标系xoy 中，已知(0,0)O ，(0,1)A ，B ，则OA AB ⋅的值为
A ．1
B 1
C
D 1
4．已知数列{}n a 的前n 项和1
22n n S +=-，则3a =
A ．1-
B ．2-
C ．4-
D ．8-
5．sin15cos15︒+︒的值为
A ．
1
2
B C D ．
2
6．“0t ≥”是“函数2
()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
7．已知函数1,0,
()1,0,
x f x x -<⎧=⎨≥⎩则不等式(1)1xf x -≤的解集为
A ．[1,)-+∞
B ．(,1]-∞
C ．[1,2]
D ．[1,1]-
8．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈， 使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列4个集合：
①1{(,)|}M x y y x
== ②{(,)|e 2}x
M x y y ==-
③{(,)|cos }M x y y x == ④{(,)|ln }M x y y x ==
其中所有“好集合”的序号是 A ．①②④
B ．②③
C ．③④
D ．①③④
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．
1
e d x
x =⎰ ．
10．设0.5
a =π
，3log 2b =，cos2c =，则,,a b c 从大到小．．．．
的顺序为 ． 11．函数211
()(2)2
x f x x x +=
≤≤的值域为 ． 12．在ABC ∆中，点M 为边AB 的中点，若OP ∥OM ，且(0)OP xOA yOB x =+≠，
则y
x
= ． 13．已知函数()y g x =的图象由()sin 2f x x =的图象向右
平移(0)ϕϕ<<π个单位得到，这两个函数的部分图象 如图所示，则ϕ= ．
14．数列{}n a 中，如果存在k a ，使得“1k k a a ->且1k k a a +>”成立（其中2k ≥，k *∈N ），则称k
a 为{}n a 的一个峰值．
（Ⅰ）若2
311n a n n =-+，则{}n a 的峰值为 ；
（Ⅱ）若ln n a t n n =-，且{}n a 不存在峰值，则实数t 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）
已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =-，520S =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式n n S a >成立的n 的最小值．
16．（本小题满分13分）
已知函数2
()2sin cos(2)2
f x x x π
=-+．
（Ⅰ）求()8
f π
的值；
（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间．
17．（本小题满分13分）
在ABC ∆中，4
A π
∠=，tan()7A B +=
，AC = （Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积．
18．（本小题满分13分）
如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中 4AE =米，
6CD =米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE 内 截取一个矩形块BNPM ，使点P 在边DE 上．
（Ⅰ）设MP x =米，PN y =米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域； （Ⅱ）求矩形BNPM 面积的最大值． 19．（本小题满分14分）
已知函数32211
()(21)()32
f x x a x a a x =
-+++． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的值；
B
M
D
F C
A
（Ⅱ）若m ∀∈R ，直线y kx m =+都不是曲线()y f x =的切线，求k 的取值范围； （Ⅲ）若1a >-，求()f x 在区间[0,1]上的最大值．
20．（本小题满分14分）
已知数集12{,,A a a =…,}n a 12(1a a =<<…,2)n a n <≥具有性质P ：对任意 的(2)k k n ≤≤，,(1)i j i j n ∃≤≤≤，使得k i j a a a =+成立． （Ⅰ）分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由；
（Ⅱ）求证：
122n a a a ≤++…1(2)n a n -+≥； （Ⅲ）若72n a =，求数集A 中所有元素的和的最小值．。