当MZ= 0 时，LZ = 常量—来自点对轴的角动量守恒。例4、一小球用摆长为L的轻绳系于O点，开始时将小 球移开使绳与竖直方向成角，并给小球一水平初速 度v0使小球绕O点旋转，若希望在运动过程中，绳与 竖直方向的最大瞬时夹角为90°，问v0 应多大？
解：小球运动过程中受重力和绳中张 力的作用。张力不作功机械能守恒：
L rmv sin 常量
因而掠面速度： dS r dr sin 1 rv sin 常 量 dt 2dt 2
例3、发射一宇宙飞船去考察一质量为m1，半径为R的 行星。当飞船静止于空间中距行星中心r=4R时，以初
速v0发射一质量为m2(m2远小于飞船质量)的探测器，要
使探测器正好能掠着行星表面着陆，角应多大？
则质点系对O点的角动量为： L ri mivi
质点系中各质点所 受外力对O点的力矩和为： M ri Fi
而质点系中内力总是成对出现的，因而对同一参考点
而言，内力矩之和总为零。因而质点系对一参考点的
角动量定理为：
M
ri
Fi
dL dt
质点系相对参考点O的角动量随时间的变化率等于所
角动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规律。
力矩M = 0的条件：（1）力臂 r = 0 （有心力作用），
（2）力F = 0，（3） r 与F 相互平行。
例1、质点运动时，位矢r 在单位时 间内扫过的面积称为掠面速度。试 证明：作匀速直线运动的质点，其 掠面速度为常数。
解：质点作匀速直线运动，受合外
三、质点系对质心的角动量定理和守恒定律
前述角动量定理和角动量守恒定律都是相对某惯
性系的，若参考系是一非惯性系，则还要考虑各质点
有外力对该点力矩的矢量和。 当 M 0 时， L 恒矢量
当外力对参考点O的力矩矢量和为零时，质点系对该 点的角动量守恒。
2、质点系对轴的角动量定理与角动量守恒
考虑质点系中质点都在垂直于Z轴的平面上运动的情 形，可得出质点系对轴的角动量定理：
MZ
dLZ dt
,
或
ri Fi
s in i
d dt
1 2
mv02
1 2
mv2
mgL c os
O
L v
v0 mg
重力对竖直轴无力矩，张力过O点也对竖直轴无力矩， 因而对竖直轴角动量守恒：
mv0L sin mvL
求出：
v0
2gL
cos
二、质点系的角动量定理、角动量守恒
1、质点系对一参考点的角动量定理与角动量守 恒
设一质点系中各质点相对参考点O的位矢用 ri (i= 1,2,3,…)，各质点的运动速度用 vi (i= 1,2,3,…) 表示，
LZ r1 p1 sin
Z
r1
P2
P P1
P1 为质点动量 P 在与Z轴 相
垂直的平面上的分量， r1 也在该平面上。
同样，力 F 对Z轴的力矩：
M Z r1F1 sin
F1 为力在垂直于Z轴平面上的分量
Z
r1
F2
F F1
质点对轴的角动量定理为：
MZ
dLZ dt
力对Z轴的力矩等于质点对Z轴的角动量随时间的变 化率。也可认为是质点对Z轴上任一点O的角动量定 理在Z轴上的投影。
第四章 角动量守恒 刚体力学
§4－1 角动量定理与角动量守恒
一、质点的角动量定理与角动量守恒
1、质点对一参考点的角动量 •定义：动量为 mv 的质点，相对某
一参考点O的角动量（动量矩）为
L r mv r P
mv
r
O
大小： L rmvsin
方向：满足右手螺旋法则。
2、力对一参考点的力矩
rimivi sini
质点系对Z轴的角动量随时间的变化率等于质点系所 受一切外力对Z轴的力矩之和。
当 MZ 0 时，LZ rimivi sini 常量
当质点系所受一切外力对Z轴的力矩之和=0时，质点 系对Z轴的角动量守恒。
3、角动量守恒定律可以解释星系的圆盘形结构。
观察表明银河系及许多星系都呈扁平的圆盘形结构。 银河系最初可能是球形的，由于某种原因（如与其它 星系的相互作用）而具有一定的角动量。正是这个角 动量的存在，使球形的银河系不会在引力作用下凝聚 （坍缩）成一团，而只能形成具有一定半径的圆盘形 结构。这是因为在凝聚过程中，角动量守恒（r2ω=常 量）要求转速随 r 的减小而增大，因而使离心力增大， 它往往比引力增大得更快，最终引力会和离心力相互 平衡，即角动量守恒限制了星系在垂直于转轴方向的 进一步坍缩。但角动量守恒并不妨碍星系沿转轴方向 的坍缩，因为对这种坍缩，角动量守恒不要求增加转 速。故星系最终坍缩成圆盘状，在沿轴向坍缩过程中 减少的引力势能将以辐射的形式释放掉。
而
dt dr
dt
(mv )
v
dt (mv)
0
dt
dt dL
r
d
(mv )
r
F
M
dt
dt
质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对 该点的角动量对时间的变化率—角动量定理。
若质点所受的合外力矩
则 dL 0
dt
M 0
或 L 常矢量
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则 质点对该固定点的角动量矢量保持不变—角动量守恒 定律 。
•定义：力F相对某一参考点O的力矩为： M rF
r
F
大小： M rF sin
O
方向：满足右手螺旋法则。
若质点同时受多个力作用，则对一参考点的力
矩矢量和等于合力对该点的力矩：
r F1
r
F2
r
Fn
r
Fi
3、质点dL对 参 考d点(r的角m动v量) 定d理r、角m动v 量 r守 恒d定(m律v)
解：探测器飞行过程中只
v0
受到行星的引力，因而对
O点的角动量守恒：
m2
r
v
R
O
m2v0r sin m2vR
m1
又由机械能守恒：
1 2
m2v02
G
m1m2 r
1 2
m2v
2
G
m1m2 R
代入r=4R，求出
sin 1
4
1
3Gm1 2Rv02
4、质点对轴的角动量定理、角动量守恒定律
动量为 P 的质点对Z轴的角动量：
力F＝0，因而对原点O的力矩＝0，
对O点的角动量守恒。角动量大小
rmv sin 常量
因而掠面速度：
ds
1 v t oH 2
1
v
oH
1
vrsin
常量
dt
t
2
2
例2、行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。
解：行星在太阳引力（有心力） 作用下沿椭圆轨道运动，因而 行星在运行过程中，它对太阳 的角动量守恒