甘肃兰州一中2013—2014学年度上学期期末考试高一数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷(卡)上，交卷时只交答题卷(卡).第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分) 1．右图是由哪个平面图形旋转得到的( )A ． B. C. D. 2．直线03=-+a y x 的倾斜角为( )A . 30°B . 60°C . 120°D . 150° 3. 函数f (x )=log 2x +2x -1的零点所在的区间是( )A . (81，41) B . (41，21) C . (21，1) D . (1，2)4．设A （3,3,1），B （1,0,5），C （0,1,0），M 是AB 的中点，则||CM =( )A B C ．532 D 5．下列关系中正确的是( )A ．（21）32<（51）32<（21）31B ．（21）31<（21）32<（51）32C ．（51）32<（21）31<（21）32D ．（51）32<（21）32<（21）316. 已知m ，n 是不重合的直线，βα,是不重合的平面，给出下列命题：①若βαβα⊥⊂⊥则,,m m ；②若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂；③如果n m n m ,,,αα⊄⊂是异面直线，则α与n 相交； ④若.//,//,,,//,βαβαβαn n n n m n m 且则且⊄⊄=⋂其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知球面上的四点P 、A 、B 、C ，PA 、PB 、PC 的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为（ ）A ．202πB ．252πC ．50πD ．200π8. 函数212log (617)y x x =-+的值域是( )A . RB . [8,)+∞C . (,3]-∞-D . [3,)+∞ 9. 中心角为135°，面积为B 的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A ，则A ∶B 等于( )A ．11∶8B ．3∶8C ．8∶3D ．13∶810. 若直线l 与直线y =1和x -y -7=0分别交于A 、B 两点，且AB 的中点为P (1,-1)，则直线l 的斜率等于( )A ．32 B ．-32 C ．23 D ．-2311. 棱台上、下底面面积比为1∶9,则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是( ) A ．1∶7 B ．2∶7 C ． 7∶19 D ．5∶ 16 12．已知两定点A (-3，5)，B (2，15)，动点P 在直线3x -4y ＋4＝0上，则PA ＋PB 的最小值为( )A ．513B ．362C ．155D ．5＋102第Ⅱ卷(非选择题)二、选择题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)13. 直线l 1: x +ay +6=0与l 2: (a -2)x +3y +2a =0平行，则a 的值为 . 14. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .15. 如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的正弦值等于 .16. 已知f (x )=(x +1)∣x -1∣，若关于x 的方程f (x )=x +m 有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是 .三、解答题(本大题共4小题，共40分)17． (8分)如图, 三棱柱ABC -A 1B 1C 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABC ,且各棱长均相等. D , E , F 分别为棱AB , BC , A 1C 1的中点.A BCD 1B 1C1DOFE(1) 证明EF//平面A1CD;(2) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1.18．(8分)一工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100时，每多订购1个，订购的全部零件的单价就降低0.02元，但最低出厂单价不低于51元.（1）一次订购量为多少个时，零件的实际出厂价恰为51元；（2）设一次订购量为x个时，该工厂的利润为y元，写出y=f(x).19． (12分)△ABC中，A(0，1)，AB边上的高CD所在直线的方程为x＋2y－4＝0，AC边上的中线BE所在直线的方程为2x＋y－3＝0.(1) 求直线AB的方程；(2) 求直线BC的方程；(3) 求△BDE的面积．20. (12分)如图，四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CDAB=AC，CE与平面ABE所成的角为45°.(1)证明：AD⊥CE；(2)求二面角A-CE-B 的正切值. AC D EB参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)题号 123456789101112答案A D CB D BC C AD C A二、选择题(本大题共4小题，每小题3分，共12分)13. -1. 14. 2π＋233 . 15. 510. 16.( -1, 54).三、解答题(本大题共4小题，共40分) 17． (8分)证明：(1) 连接ED ，∵ED ∥AC , ED =21AC 又∵F 为A 1C 1的中点. ∴A 1F ∥DE , A 1F =DE ∴四边形A 1DEF 是平行四边形 ∴EF ∥A 1D又A 1D ⊂平面A 1CD ， EF ⊄平面A 1CD∴EF //平面A 1CD ……………………４分 (2) ∵A 1A ⊥平面ABC , ∴A 1A ⊥CDD 是AB 的中点,∴AB ⊥CD ∴CD ⊥面A 1ABB 1，∴平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1. ……………………8分 18．(8分)解：（1）设一次订购量为a 个时，零件的实际出厂价恰好为51元，则60511005500.02a -=+=（个）. …………４分 （2）∵p =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤<550,51550100,50621000,60x x x x ，其中x N *∈.∴y =f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤<550,11550100,50221000,202x x x x x x x ，其中x N *∈. ……………………8分 19．(12分)解：(1)直线AB 的斜率为2，∴AB 边所在的直线方程为012=+-y x ，…………４分(2) 由⎩⎨⎧=-+=+-032012y x y x 得⎪⎩⎪⎨⎧==221y x即直线AB 与AC 边中线BE 的交点为B (21，2) 设C (m ，n )，则由已知条件得⎪⎩⎪⎨⎧=-++⋅=-+032122042n m n m 解得; ⎩⎨⎧==12n m , ∴C (2，1)∴所以BC 边所在的直线方程为0732=-+y x ；……………………8分 (3) ∵E 是AC 的中点, ∴E (1，1) ∴E 到AB 的距离为：d =52 又点B 到CD 的距离为：BD∴S △BDE =12•d •BD =110……………………12分 另解：∵E 是AC 的中点, ∴E (1，1), ∴BE =25, 由⎩⎨⎧=-+=+-042012y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5952y x , ∴D (52,59)， ∴D 到BE 的距离为：d =552，∴S △BDE =12•d •BE =110……………………12分 20. (12分)证明：(1)如图，取BC 的中点H ,连接HD 交CE 于点P ，连接 AH 、AP . ∵AB =AC , ∴AH ⊥BC又∵平面ABC ⊥平面BCDE ， ∴AH ⊥平面BCDE ， ∴AH ⊥CE ，又∵HC CD CD DE =, ∴Rt △HCD ∽Rt △CDE ∴∠CDH =∠CED , ∴HD ⊥CE ∴CE ⊥平面AHD∴AD ⊥CE. ……………………6分 (2)由(1) CE ⊥平面AHD , ∴AP ⊥CE ,又HD ⊥CE∴∠APH 就是二面角A -CE -B 的平面角, 过点C 作CG ⊥AB ，垂足为G ，连接CG 、EG . ∵BE ⊥BC ,且BE ⊥AH ， ∴BE ⊥平面ABC , ∴BE ⊥CG , ∴CG ⊥平面ABE ,∴∠CEG 就是CE 与平面ABE 所成的角， 即∠CEG =45°， 又CE =6, ∴CG =EG =3. 又BC =2, ∴∠ABC =60°, ∴AB =BC =AC =2 ∴AH =3又HD =3, ∴HP =2CH HD=,∴tan ∠APH =AHHP=3 ……………………12分ACDEBH PG。