汉密尔顿函数： H(c,k,t,μ)=e-ρtlog(c)+μ(kα-c-δk)
2016/10/31
10
最优化的一阶条件为: (1)H c e- t (1/ c）- =0和(2)H k ( k 1 ) 横截性条件为： lim[ () t ( k )] t 0
t
2016/10/31
如果令ρ=0.06，δ=0且α=0.3，那么这个系统就是以前研 究过的非线性系统。
11
四、多变量的动态最优化

现在考虑一个具有n个控制变量和m个状态变量的 更一般的动态问题。选择控制变量最大化：

T
0
u[k1 (t ),..., km (t ); c1 (t ),..., cn (t ); t ]dt , 受约束于
0 0
是一个不变的贴现率，e t 是贴现因子。
在现值汉密尔顿函 数中，影子价格μ t H e u (k , c) g (k , c, t ) 表示以0时的效用单 位来衡量t时资本存 量的价值。 2016/10/31
构造现值汉密尔顿函数
8




2、当期汉密尔顿函数 为了方便，有时也会从当期值价格（current-value price） 来重构这个问题。 当期值价格：以t时的效用单位来衡量t时的资本存量的价 格。 把现值汉密尔顿函数改写为： H=e-ρt[u(k,c)+q(t)g(k,c,t)] 其中，q(t)=μ· eρt，为当期影子价格。定义H*=Heρt为当期 汉密尔顿函数：H*=u(k,c)+q(t)g(k,c,t)
2016/10/31 13
五、离散模型的最大值原理
问题： max V (0) v(kt , ct )
t 0 T 1
约束条件：kt 1 kt f (kt , ct ); k0 a
离散汉密尔顿函数： H (kt , ct ) v(kt , ct ) t 1 f (kt , ct )
如果函数f(k,c,t)和g(k,c,t)是凹函数，那么 满足上述四个条件的（k*,c*）和λ*>0，是最 优化问题的极大值。 如果是凸函数，则是极小值。 经济学中的生产函数和效用函数都是严格凹函 数，因此满足充分条件。
2016/10/31
7
三、现值和当期汉密尔顿函数

1、现值汉密尔顿函数 在大多数经济模型中，目标函数被贴现到当前，即 0时期。 T T t v [ k ( t ), c ( t ), t ] dt e u[k (t ), c(t )]dt
最大化的一阶条件： H H 0, t 0,..., T 1和 ( t 1 t ), t 0,..., T 1 ct kt 横截性条件：T kT 0
2016/10/31 14
T c ,k 0
(t ) g k (t ), c(t ), t k k (0) k0 0 k (T ) e r (T )T 0
转移方程
初始条件
非蓬齐博弈
c(t)是控制变量，k(t)是状态变量。
F(0)是初始时刻的目标函数值。r(T)是在0和T期之间的平均贴现率。T 是终端计划时期，可以是有限的，也可以是无限的。 目标函数是瞬时幸福函数f(· )在0到T期的积分。幸福函数包括效用函数、 利润函数等。 转移方程表示控制变量的选择是如何影响状态变量的。 非蓬齐博弈表示在计划期结束时所选择的状态变量k(t)贴现后必须为非负。 这排除了连环借债或蓬齐(Ponzi)负债方法。
(t ) g 1[k (t ),..., k (t ); c (t ),..., c (t ); t ], k 1 1 m 1 n (t ) g 2 [k (t ),..., k (t ); c (t ),..., c (t ); t ], k
2 1 m 1 n
... (t ) g m [k (t ),..., k (t ); c (t ),..., c (t ); t ], k m 1 m 1 n k1 (0) 0,..., km (0) 0，给定初始条件 k1 (T ) 0,..., km (T ) 0.
2016/10/31 4
二、动态最优化求解步骤
1、构造汉密尔顿函数：幸福函数v(· )加拉格朗日乘数乘以转 移方程右边的函数。
H (k , c, t； ) f (k , c, t ) (t ) g (k , c, t )
μ被称为动态拉格朗日乘数或共态变量。表示影子价格， 即状态变量的边际价值。 2、汉密尔顿函数对控制变量的导数为零。

2016/10/31
2
一、典型问题
行为者选择或控制一些变量（被称为控制变 量），以便在一些约束的限制下最大化一个 目标函数。 这些约束是动态的，它们描述了以一组状态 变量表示的经济状态的持续演进。

2016/10/31
3
问题：
约束条 件：
max F (0) f k (t ), c(t ), t dt
H c 0
3、汉密尔顿函数对状态变量的导数等于负的乘子对时间的导 数。
H k
2016/10/31
该式常被称为欧拉 方程
5
4、横截性条件
情形1：有限期界。计划期结束时的影子价格和状态变量之 积为零。
(T ) k (T ) 0
情形2：有贴现的无限期界。
lim (t ) k (t ) 0
t
情形3：没有贴现的无限期界。横截性条件为米歇尔条件。
lim H (t ) 0
t
具体求解：
根据第二步、第三步和转移方程可以得到控制变量c(t)和状 态变量k(t)的微分方程系统。为了使系统确定，需要两个边 界条件：初始条件和终端条件（横截性条件）。
2016/10/31 6
充分条件
t
取式（）的对数然后对时间求导，得到： 1 /c / (3) c 将这个结果代入到式（2），可以消除： / c k 1 (4) c 式(4)与转移方程一起组成了一个关于k 和c的非线性ODE系统。
/ c 0，由式（3）知： 当t趋于无穷，消费趋于稳态，c / 解微分方程得到： (0)e- t。 横截性条件可以表示为： lim[e- t k (t )] 0
根据现值汉密尔顿函数的一阶条件得到当期汉密尔顿的条件： H * H * ；q(T ) e T k (T ) 0 0； q q c k
2016/10/31 9
练习：拉姆齐模型
消费者选择消费c(t )和资本存量k(t)的路径以最大化效用 U(0)= e- t log(c)dt，受约束于 在该模型中，家庭既是消费者也
2016/10/31 12
建立汉密尔顿函数： H=u[k1 (t ),..., km (t ); c1 (t ),..., cn (t ); t ] i g i ()
i 1 m
最大值的一阶条件： H 0, i 1,..., n; ci H , i 1,..., m. ki 横截性条件：i (T ) ki (T ) 0, i 1,..., m.
当一国的资本发展变成了一 种赌博活动的副产品时，这项 活动可能是错误的。 —— 凯恩斯
2016/10/31 1
导论
古典数学家使用的动态问题的解法是变分法。 这种方法从两条途径得以一般化： 第一条是美国数学家贝尔曼在20世纪50年代所 发展的动态规划方法。主要适用于离散时间和 随机模型。 第二条是俄罗斯数学家庞特里亚金在50年代所 发展的最优控制的极大值原理。
0
(t ) [k (t )] c(t ) k (t ) k k (0) 1 lim[k (t )e r t ] 0
t
是生产者。生产函数为 Y=Kα(AL)β，α+β=1。家庭选 择消费使一生的效用最大化。效 用函数为对数形式。未来消费的 主观贴现率为ρ>0。 求解该家庭的最优消费路径。