复利终值
• 基本符号
–PV-现值，未来现金流量在今天的价值 –FVt-终值，现金流量在未来的价值 –r-每期之利率，报酬率，通常1期是1年 –t-期数，通常是年数 –CF-现金流量
• 复利终值的一般计算公式
–FVt = PV(1+ r)t –（1＋r)t为普通复利终值系数，经济意义是指现 在的一元t年后的终值
年金（Annuity）
根据现金流发生的时间和期数
C C 2 C 1 C 2 C 3 C….. 4 5 C ….. 3 4 5
普通年金：收付在期末 首付年金：收付在期初
0 C 0
1
m
递延年金：第一期或前 0 几期没有收付的年金 递延期为m,有收付的期为n. 永续年金：无限期收 付的年金
C C C C…..n→∞
3.1终 值
终值
在已知利率下，一笔金额投资一段时间所能增长的 数量 一项投资在未来某个时点的价值
单利终值
只按本金计算利息的方法下，一定量的本金在若干 期后的本利和 FVt＝PV×(1＋r×t) 将100美元存入银行，在年利息率为10％的情况 下，单利终值为 第一年＝100×（1＋10％×1）＝110（美元） 第二年＝100×（1＋10％×2）＝120（美元）
PV 1 = FV t × (1 + r )t
–（1+r）-t称为复利现值系数，指t年后获得或支付的 一元现金的现值 –计算未来一定货币的现在价值一般称为贴现，而计 算现值中使用的利率称为贴现率
现值及贴现
9%
Chaffkin公司的一个客户想买一艘拖船。但他不想现在付 款，而愿意三年后付50 000美元。 Chaffkin公司马上制造 拖船的成本为38 610美元。拖船假设按成本价出售。在利率 是多高的情况下，公司既没有在交易中吃亏也没有占便宜？
n C C…
0
3.5.1普通年金终值的计算
假定每年年末存入C,5年后取出
0
1
2
3
4
5
(1 + i ) 0 C
(1 + i )1 C (1 + i ) 2 C (1 + i ) 3 C
4 C (1 + i ) (1 + i ) n −1 通项 C
普通年金终值
普通年金终值计算公式
FVAt
(1 + r )t − 1 =C×
练习：递延年金的现值
• 哈罗德和海伦开始为他们刚出生的女儿苏珊进行大 学教育存款，海伦夫妇估计当他们的女儿18岁开始 上大学时，每年的费用将达30 000美元，在以后几 十年中年利率将为14%，那么他们现在要每年存多少 钱才能够支付女儿四年大学期间的费用？ • 假定苏珊今天出生，他父母将在她18岁生日那年支 付第1年的学费。他们每年都在苏珊生日那天存入相 同金额的存款，第1次存款是在1年以后。
3.3多期现金流量的终值
如果你在接下来的4年的每一年年末，在一 个利率为8%的银行账户存入4000元，目前 该账户中有7000元，那么4年后你将拥有多 少钱，5年后呢？
7000 4000 4000 4000 4000
t=0
t=1
t=2
t=3
t=4
3.4多期现金流量的现值
• 假设1年后你需要支出1000元，2年后需要 支出2000元。如果你的钱可以赚取9%的报 酬，那么你现在该存入多少钱，才能正好 达到未来的资金需求。
)− n
⎤ 1 ⎥ × (1 + r ⎦
)m
递延年金的现值
丹尼尔在六年后开始的四年内，每年会收到500美元， 如果利率为10%，那么他的年金的现值为多少？
0
1
2
3
4
5
6 7 8 9 10 500 500 500 500
PVA=500[(P/C,10%,9)-(P/C,10%,5)]=984.1 PVA=500(P/C,10%,4)*（P/F,10%,5)=984.1
借款人在今天收到钱，在未来某一时点一次付清贷款。 如：一笔10%的一年期春折价贷款要求借款人在一年对今天 借的1元钱，偿还1.1元。 ？：假定借款人在5年后偿还25000远，如果我们要从这笔贷 款中赚取12%的利率，那么我们愿意借多少给贷款人呢？ 例子：国库券 （Treasury bill or T-bill)就是政府承诺在某一 时点（如3个月或12个月后）偿还一笔固定金额的贷款 如果一张国库券承诺在1年后偿还10000元，而市场利率为 8%，那么国库券在市场上的价格是多少呢？
丹尼斯赢得了肯德基州博彩的大奖，他可以现在一次获得 6337美元或者在未来两年内分别得到2000美元和5000美元， 他应该选择何种领奖方式？假定贴现率为6%
50000 = 38610 , r = 9 % 3 （1 + r )
2000 5000 + = 6337 2 1 . 06 1 . 06
利率为10%，百年后的100元在今天值多少？ 100/ (1+10%)100=0.007元 真正一文不值！
0 1 2 3 4
1$
1$
1$
1$
问题： （1）如何画出前面两个问题的现金流量图？ （2）你如何画出你自己一身的现金流量图？
3.0 准备知识
高中等比数列和的公式:
a x (1 − x n ) a x + a x 2 + a x 3 + ... + a x n + ... = 1− x a 等比x = n a n −1 if x <1 x (1 − x n ) x lim = n→ ∞ 1− x 1− x
如何进行计算：步骤 （1）现金流量图 （2）将不同时点的现金流量进行同质累加
$1478.60
3.5.4永续年金现值
• 永续年金是指无限期等额收付的特种年金。 • 永续增长年金
PA =
∑3; r )
t
= C / r
1 + g ) 1 + r
t −1
PAD
1 = 1 + r
∑
∞
C ⋅(
0.10 0.1025 0.10381 0.10471 0.10516 0.10517
哈里以12%的名义利率投资$5000，每季复利计息， 那么他的资金5年后会变为多少？ $5000 ×（1+0.12/4)4×5 =$9 030.50
连续复利： F = Pe
rt
3.2现值及贴现
• 现值
7938
–伯纳德可以8%的回报进行投资，如果他期望3年后拥 有10000美元，那么现在他需要投资多少？ –是未来一定时间的特定资本按复利计算的现在价值 –计算公式
1000 t=0 t=1 t=2 2000
have a break !
3.5年金（Annuity）
• 年金
– 一系列稳定有规律的、持续一段固定时期的现金收 付行动 – 退休后得到的养老金，租赁费和抵押借款等等
• 年金分类
–等额年金：指各期现金流量相等，即CF为常数 –增长年金：指各期现金流量按同一增长率g增长， CFt=CFt-1（1+ g ）
Example : 5 %( 1 + 4 %) n −1 5% 5 %( 1 + 4 %) 5 %( 1 + 4 %) 2 + ... + + + 2 3 (1 + 10 %) n 1 + 10 % (1 + 10 %) (1 + 10 %) 5% 1 + 4% n 1 + 4% n ) ] 5[1 − ( ) ] [1 − ( 1 + 10 % 1 + 10 % = = 1 + 10 % 1 + 4% 6 1− 1 + 10 %
r
(1 + r )t
r
−1
为普通年金终值系数，经济意义是指t年中 每年获取或支付一元现金的终值
公司5年内每年末向银行借款，1000万元，借款利率10%， 5年末应付本息和为多少？ F=1000(F/C,10%,5)=1000×6.1051=6105.1
普通年金终值
• 利用普通年金终值公式求C。 • C可理解为偿债基金，即为使年金终值达到既定金额 每年应支付的年金数额 • 普通年金终值系数的倒数称为偿债基金系数 例如，某人拟在第5年年末积攒500000元，银行存款年利 率为6%，则其每年年末必须存入多少钱？
i=14.87%
复利终值
• 复利的威力
–1926年初放入股市的1美元，在1996年末就会变成 1,370.95美元，相当于以10.71%的年利率复利计算 71年的结果 –几年前，一个人类学家在一件遗物中发现一则声明： 恺撒借给某人相当于罗马1便士的钱，由于没有记 录说明这1便士曾被归还，这位人类学家想知道， 如果在20世纪恺撒的后代想要回这笔钱，该有多 少，那么本息值总共会是多少？ • 6%的利率，2000多年后，这1便士的本息值超过 了整个地球上的所有财富
复利计息期数
CF0 $ 1 1 1 1 1 1 000 000 000 000 000 000 复利计息次数 m 每年（m=1） 每半年（m=2） 每季（m=4） 每月（m=12） 每天（m=365） 每小时（m=8760） CF1
i =
实际年利率
(1 + r ) m
m
− 1
1100.00 1102.50 1103.81 1104.71 1105.16 1105.17
C = 500000 × = 88700 (元)
(1 + 6% )5 − 1
6%
= 500000 ×
1 = 500000 × 0.1774 5.637
3.5.2递延年金的现值
递延年金是指第一次收付款发生时间不在 第一期期末，而是隔若干期后才开始发生 的系列等额收付款项。计算公式如下：