一、知识梳理英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：① 草的每天生长量不变；② 每头牛每天的食草量不变；③ 草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④ 新生的草量=每天生长量⨯天数．二、方法归纳同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定 1 头牛 1 天吃草量为“1”；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数) ÷(较多天数-较少天数)；⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．三、课堂精讲（一）、草匀速增长，不同头数的牛吃同一片次的草：例1. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供10 头牛吃20 天，可供15 头牛吃10 天，那么，供25 头牛吃多少天？【规律方法】掌握牛吃草问题的解题步骤及解题思路。

【搭配课堂训练题】【难度分级】 A1.牧场上有一片牧草，供24 头牛6 周吃完，供18 头牛10 周吃完。

假定草的生长速度不变，那么供19 头牛几周吃完？2.牧场上有一片匀速生长的草地，可供 27 头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周，那么它可供多少头牛吃 18 周？3. 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27 头牛吃6 周，或供23 头牛吃9 周，那么可供21头牛吃几周？例2．一片牧草，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供16 头牛吃20 天，或者可供80 只羊吃12 天，如果1 头牛的吃草量等于4 只羊的吃草量，那么10 头牛与60 只羊一起吃可吃多少天？【规律方法】理解把两种不同动物的吃草量转化为同一种动物的吃草量。

【搭配课堂训练题】【难度分级】 B4.一片牧草，每天生长的速度相同。

现在这片牧草可供20 头牛吃12 天，或可供60 只羊吃24 天。

如果1 头牛的吃草量等于4 只羊的吃草量，那么12 头牛与88 只羊一起吃可以吃几天？5. 有一片草地，草每天的生产速度相同，若 14 头牛30 天可将草吃完，70 只羊30 天也可将草吃完（4 只羊1 天的吃草量相当于 1 头牛1 天的吃草量），那么，17 头牛和 20 只羊多少天可将草吃完？例3．一水库存水量一定，河水均匀入库。

5 台抽水机连续20 天可抽干；6 台同样的抽水机连续15 天可抽干。

若要求6 天抽干，需要多少台同样的抽水机?【规律方法】掌握牛吃草问题的变形，会类比牛吃草问题解决问题。

【搭配课堂训练题】【难度分级】 B6.一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。

如果用 12 人舀水，6 分钟可以舀完。

如果只有 5 人舀水，要 20 分钟才能舀完。

现在要想 2 分钟舀完，需要多少人？7.有一水池,池底有泉水不断涌出。

用 10 部抽水机 20 小时可以把水抽干,用 15 部相同的抽水机 10 小时可以把水抽干，那么用 25 部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？例4．某超市平均每小时有 60 人排队付款，每一个收银台每小时能应付 80 人，某天某时段内，该超市只有一个收银台工作，付款开始 4 小时就没有顾客排队了，如果当时有两个收银台工作，哪么付款开始几小时后就没有人排队了？【搭配课堂训练题】【难度分级】 B8. 画展 9 点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开 3 个入场口，9 点9 分就不再有人排队；如果开 5 个入场口，9 点5 分就没有人排队。

求第一个观众到达的时间？（二）、草匀速减少，不同头数的牛吃同一片次的草例5．由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天匀速减少。

经过计算，牧场上的草可供20 头牛吃5 天，或者供16 头牛吃6 天，那么这片牧场上的草可供11 头牛吃几天？【规律方法】掌握草量匀速减少的牛吃草问题的常见解决方法【搭配课堂训练题】【难度分级】 B9. 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。

如果牧场上的草可供20 头牛吃5 天，或者供15 头吃6 天，那么可供多少头牛吃10 天？（三）、草匀速增长，不同头数的牛吃同不同片草地的草例 6．有三块草地，面积分别是5 公顷，15 公顷和24 公顷。

草地上的草一样厚而且长得一样快。

第一块草地可供10 头牛吃30 天；第二块草地可供28 头牛吃45 天。

那么第三块草地可供多少头牛吃80 天？【规律方法】掌握草匀速增长，不同头数的牛吃同不同片草地的草的题型的解决方法。

【搭配课堂训练题】【难度分级】 C10. 12 头牛28 天可以吃完 10 公亩牧场上全部牧草，21 头牛63 天可以吃完 30 公亩牧场上全部牧草。

多少头牛 126 天可以吃完 72 公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？11. 牧场有三块草地,面积分别是 4、8、12 公亩,草地上的草一样密,生长一样快.第一块地可供 10 只小梅花鹿吃 15 天,第二块地可供 14 只小梅花鹿吃 25 天,第三块地可供 15 只小梅花鹿吃多少天?四、讲练结合题1．一牧场放牛58 头，7 天把草吃完；若放牛50 头，则9 天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6 天可以把草吃完?2.林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可在 9 周内吃光，21 只猴子可在 12 周内吃光，问如果 33 只猴子一起吃，需要几周吃完？（假定野果生长的速度不变）3.一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草 16 头牛可吃 15 天，或者可供100 只羊吃 6 天，而 4 只羊的吃草量相当于 l 头牛的吃草量，那么 8 头牛与 48 只羊一起吃，可以吃多少天?4. 某车站在检票前若干分钟就开始排队了，每分钟来的旅客一样多，从开始检票到队伍消失（还有人在接受检票），若开4 个检票口，要30 分钟，开5 个检票口，要20 分钟。

如果同时开7 个检票口，需要多少分钟？5. 画展 8 点开门,但早有人来排队入场,从第一个观众来到时起,若每分钟来的观众一样多,如果开 3 个入场口,8 点九分就不再有人排队。

如果开 5 个入场口,8 点5 分就没有人排队。

第一个观众到达的时间是多少？6. 一牧场上的青草每天都匀速生长。

这片青草可供 17 头牛吃 30 天，或供 19 头牛吃 24 天。

现有一群牛，吃了 6 天后卖掉 4 头，余下的牛又吃了 2 天将草吃完，这群牛原来有多少头？7. 两只蜗牛由于耐不住阳光的照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走 20 分米，另一只只能走 15 分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛 5 昼夜到达井底，另一只却恰好用了 6 昼夜。

问井深是多少？8. 有三块草地，面积分别为4 公顷、8 公顷和10 公顷。

草地上的草一样厚，而其长得一样快。

第一块草地可供24 头牛吃6 周，第二块草地可供36 头牛吃12 周。

问：第三块草地可供50 头牛吃几周？五．课后自测练习1. 有一只船漏了一个洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时船已经进了一些水。

如果用 12 个人淘水，需 3 小时才能淘完。

如果只有 5 个人淘水，要 10 小时才能淘完。

现在要想在 2 个小时内淘完，需要多少人淘水？2.有两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走。

男孩每秒可以走 3 梯级，女孩每秒可以走 2 级梯级，结果从附扶梯的一端到达另一端，男孩走了 100 秒，女孩走了 300 秒。

请问：该扶梯共有多少级梯级？3.天山草场，假设每天草都均匀生长。

这片草场经过测算可供 100 只羊吃200 天，或可供150 只羊吃 100 天。

问：如果放牧 250 只羊可以吃多少天？放牧这么多羊对吗？为防止草场沙化，这片草场最多可以放牧多少只羊？五．课后自测练习1. 有一只船漏了一个洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时船已经进了一些水。

如果用 12 个人淘水，需 3 小时才能淘完。

如果只有 5 个人淘水，要 10 小时才能淘完。

现在要想在 2 个小时内淘完，需要多少人淘水？4. 一片均匀生长的草地,可以供 18 头牛吃 40 天,或者供 12 头牛与 36 只羊吃 25 天,如果 1 头牛每天的吃草量相当于 3 只羊每天的吃草量.请问:这片草地让 17 头牛与多少只羊一起吃,刚好 16 天吃完?5.经测算，地球上的资源可供100 亿人生活100 年，或可供80 亿人生话300 年.假设地球新生的资源增长的速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少人?某火车站的检票口开始检票前已有 945 名旅客排队等待检票。

此时，每分钟还有固定的若6.干人前来进口处准备进站。

如果开放 4 个检票口，15 分钟可放完旅客；如果开放 8 个检票口，7 分钟可以放完旅客。

照此放人的速度，现要想在 5 分钟内放完所有旅客，需要开放几个检票口？7. 一片草地，可供 6 头牛吃 30 天，或者可供 5 头牛吃 40 天，如果 4 头牛吃 30 天，又增加了 2 头牛一起吃，还可以再吃几天?8. 一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15 天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20 天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30 天将草吃尽。

已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。

现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？9.（2016 年第二十一届“华赛杯”决赛）有一片草场，10 头牛 8 天可以吃完草场上的草；15 头牛，如果从第一天开始每天少一头，可以 5 天吃完。

那么草场上每天都长出来的草够头牛吃一天。

第九讲牛吃草问题【答案】例1 设 1 头牛吃一天的草量为一份第一次吃草量20×10=200，第二次吃草量，15×10=150；每天生长草量50÷10=5．原有草量(10－5)×20=100 或 200－5×20=100．25 头牛分两组，5 头去吃生长的草，其余 20 头去吃原有的草那么100÷20=5(天) 答：可供 25 头牛吃 5 天.【搭配课堂训练题】1.设 1 头牛吃一周的草量的为一份.(1)24 头牛吃 6 周的草量24 ⨯ 6 = 144 (份)(2)18 头牛吃 10 周的草量18⨯10 = 180 (份)(3)（10-6）周新长的草量180 -144 = 36 (份)(4)每周新长的草量36÷（10-6）=9(份)(5)原有草量24⨯ 6 - 9 ⨯ 6 = 90 (份)或18⨯10 - 9⨯10 = 90 (份)(6)全部牧草吃完所用时间不妨让 19 头牛中的 9 头牛去吃新长的草量,剩下的 10 头牛吃原有草量,有90÷（19-9）=9(周)答：供 19 头牛吃 9 周.2.如果每 1 头牛 1 周吃草 1 份,则27 头牛6 周吃27×6=162 份23 头牛周天吃23×9=207 份所以牧场每周长新草(207-162)÷(9-6)=15 份原来牧场有草 162－15×6=72 份18 周共有草15×18+72＝342 份342÷18＝19 头答：可供 19 头牛吃 18 周3. 假设每头牛每周吃青草 1 份，青草的生长速度：（23×9-27×6）÷（9-6），=45÷3，=15（份）；草地原有的草的份数：27×6-15×6，=162-90，=72（份）；每周生长的 15 份草可供 15 头牛去吃，那么剩下的 21-15=6 头牛吃 72 份草：72÷（21-15），=72÷6，=12（周）；答：这片草地可供 21 头牛吃 12 周．例2 设每头牛每天吃草 1 份，把羊的只数转化为牛的头数为：80÷4=20（头），60÷4=15（头）；草每天生长的份数：（16×20-20×12）÷（20-12），=（320-240）÷8，=80÷8，=10（份）；草地原有的草的份数：（16-10）×20=120（份）；10 头牛和 60 只羊就相当于有牛：10+15=25（头）；所吃天数为：120÷（25-10），=120÷15，=8（天）；答：10 头牛和 60 只羊一起能吃 8 天．【搭配课堂训练题】4. 设每头牛每天吃草 1 份，把羊的只数转化为牛的头数为：60÷4=15（头），88÷4=22（头）草每天生长的份数：（15×24-20×12）÷（24-12）=（360-240）÷12=120÷12=10（份）草地原有的草的份数：（20-10）×12=120（份）12 头牛和 88 只羊就相当于有牛：12+22=34（头）；所吃天数为：120÷（34-10）=120÷24=5（天）答：12 头牛和 88 只羊一起能吃 5 天5.设一头牛一天的吃草量为 1 份，那么 70 只羊，20 只羊转化成牛的头数是：70÷4=17.5（头），20÷4=5（头）；草每天的生长速度是：（14×30-17.5×16）÷（30-16），=140÷14，=10（份），原有的草是：14×30-30×10=120（份），那么 17 头牛和 20 只羊也就相当于牛的头数是：17+5=22（头）；那么每天生长的 10 份的草就够 22 头牛中的 10 头牛吃的，剩下的牛去吃 120 份需要的天数是：120÷（22-10），=120÷12，=10（天），所以 22 头牛也就相当于 17 头牛和 20 只羊10 天可将草吃完．答：17 头牛和 20 只羊10 天可将草吃完．例 3 1 台抽水机 1 天抽水量为 1，河水每天均匀入库量：（20×5-15×6）÷（20-15），=10÷5，=2，水库原有存水量：20×5-2×20=60，6 天抽干，需要同样的抽水机的台数：（60+2×6）÷6，=72÷6，=12（台），答：6 天抽干，需要 12 台同样的抽水机，【搭配课堂训练题】6.设每人每分钟舀的水是 1 份。