背包问题——“01背包”详解及实现（包含背包中具体物品的求解）分类：背包问题 2011-11-26 14:41 9554人阅读评论(10) 收藏举报pathtabledelete测试c算法-----Edit by ZhuSenlin HDU 01背包是在M件物品取出若干件放在空间为W的背包里，每件物品的体积为C1，C2，…，Cn，与之相对应的价值为W1,W2，…，Wn.求解将那些物品装入背包可使总价值最大。

动态规划（DP）：1）子问题定义：F[i][j]表示前i件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值。

2）根据第i件物品放或不放进行决策(1-1)其中F[i-1][j]表示前i-1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j的背包中所能得到的最大价值；而F[i-1][j-C[i]]+W[i]表示前i-1件物品中选取若干件物品放入剩余空间为j-C[i]的背包中所能取得的最大价值加上第i件物品的价值。

根据第i件物品放或是不放确定遍历到第i件物品时的状态F[i][j]。

设物品件数为N，背包容量为V，第i件物品体积为C[i]，第i 件物品价值为W[i]。

由此写出伪代码如下：[cpp]view plaincopy1.F[0][] ←{0}2.3.F[][0] ←{0}4.5.for i←1to N6.7.do for k←1to V8.9.F[i][k] ←F[i-1][k]10.11. if(k >= C[i])12.13. then F[i][k] ←max(F[i][k],F[i-1][k-C[i]]+W[i])14.15.return F[N][V]以上伪代码数组均为基于1索引，及第一件物品索引为1。

时间及空间复杂度均为O(VN)举例：表1-1为一个背包问题数据表，设背包容量为10根据上述解决方法可得到对应的F[i][j]如表1-2所示，最大价值即为F[6][10].表1-1背包问题数据表表1-2前i件物品选若干件放入空间为j的背包中得到的最大价值表很多文章讲背包问题时只是把最大价值求出来了，并没有把所选的是哪些物品找出来。

本人在学习背包问题之前遇到过很多的类似问题，当时也是只求得了最大价值或最大和，对具体哪些物品或路径等细节也束手无策。

再次和大家一起分享细节的求法。

根据算法求出的最大价值表本身其实含有位置信息，从F[N][V]逆着走向F[0][0]，设i=N,j=V，如果F[i][j]==F[i-1][j- C[i]]+W[i]说明包里面有第i件物品，同时j -= C[i]，不管F[i][j]与F[i-1][j-C[i]]+W[i]相不相等i都要减1，因为01背包的第i件物品要么放要么不放，不管放还是不放其已经遍历过了，需要继续往下遍历。

打印背包内物品的伪代码如下：[cpp]view plaincopy1.i←N2.3.j←V4.5.while(i>0 && j>0)6.7.do if(F[i][j]=F[i-1][j-C[i]]+W[i])8.9.then Print W[i]10.11. j←j-C[i]12.13. i←i-1当然也可以定义一个二维数组Path[N][V]来存放背包内物品信息，开始时Path[N][V]初始化为0,当 F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]时Path[i][j]置1。

最后通过从Path[N+1][V+1]逆着走向Path[0] [0]来获取背包内物品。

其中Path[0][]与Path[][0]为边界。

加入路径信息的伪代码如下：[cpp]view plaincopy1.F[0][] ←{0}2.3.F[][0] ←{0}4.5.Path[][] ←06.7.for i←1to N8.9.do for k←1to V10.11. F[i][k] ←F[i-1][k]12.13. if(k >= C[i] && F[i][k] < F[i-1][k-C[i]]+W[i])14.15. then F[i][k] ←F[i-1][k-C[i]]+W[i]16.17. Path[i][k] ← 118.19.return F[N][V] and Path[][]打印背包内物品的伪代码如下：[cpp]view plaincopy1.i←N2.3.j←V4.5.while(i>0 && j>0)6.7.do if(Path[i][j] = 1)8.9.then Print W[i]10.11. j←j-C[i]12.13. i←i-1在时间及空间复杂度均为O(NV)的情况下，利用Path[][]的方法明显比直接通过F[i][j]==F[i-1][j-C[i]]+W[i]来打印物品耗费空间，Path[][]需要额外的空间O(NV)但总空间复杂度不变仍为O(NV)。

但下面要讲到的O(V)的空间复杂度的方法却不能利用关系式 F [j]==F [j-C[i]]+W[i]而只能利用Path[][]进行标记.接下来考虑如何压缩空间，以降低空间复杂度。

时间复杂度为O(VN)，空间复杂度将为O（V）观察伪代码可也发现，F[i][j]只与F[i-1][j]和F[i-1][j-C[i]]有关，即只和i-1时刻状态有关，所以我们只需要用一维数组F[]来保存i-1时的状态F[]。

假设i-1时刻的F[]为{a0，a1，a2，…，av}，难么i时刻的F[]中第k个应该为max(ak ,ak-C[i]+W[i]) 即max(F[k],F[k-C[i]]+W[i])，这就需要我们遍历V时逆序遍历，这样才能保证求i时刻F[k]时F[k-C[i]]是i-1时刻的值。

如果正序遍历则当求F[k]时其前面的F[0],F[1]，…，F[K-1]都已经改变过，里面存的都不是i-1时刻的值，这样求F[k]时利用 F[K-C[i]]必定是错的值。

最后F[V]即为最大价值。

求F[j]的状态方程如下：(1-2)伪代码如下：[cpp]view plaincopy1.F[] ←{0}2.3.for i ← 1 to N4.5.do for k ←V to C[i]6.7.F[k] ←max(F[k],F[k-C[i]]+W[i])8.9.return F[V]同样，怎么求路径？利用前面讲到的Path[][]标记，需空间消耗O(NV)。

这里不能用F [j]==F [j-C[i]]+W[i]来判断是因为一维数组并不能提供足够的信息来寻找二维路径。

加入路径信息的伪代码如下：[cpp]view plaincopy1.F[] ←{0}2.3.Path[][]←04.5.for i←1to N6.7.do for k←V to C[i]8.9.if(F[k] < F[k-C[i]]+W[i])10.11. then F[k] ←F[k-C[i]]+W[i]12.13. Path[i][k] ← 114.15.return F[V] and Path[][]打印路径的伪代码和前面未压缩空间复杂度时的伪代码一样，这里不再重写。

下面针对前面提到的表1-1提供两种方法的测试代码：[cpp]view plaincopy1.#include <iostream>2.#include <cstring>3.#include "CreateArray.h" //该头文件用于动态创建及销毁二维数组，读者自己实现ing namespace std;//时间复杂度O(VN),空间复杂度为O(VN)[cpp]view plaincopy1.int Package01(int Weight[], int Value[], int nLen, intnCapacity)2.{3.int** Table = NULL;4.int** Path = NULL;5.CreateTwoDimArray(Table,nLen+1,nCapacity+1); //创建二维数组6.CreateTwoDimArray(Path,nLen+1,nCapacity+1); //创建二维数组7.8.for(int i = 1; i <= nLen; i++)9.{10. for(int j = 1; j <= nCapacity; j++)11. {12. Table[i][j] = Table[i-1][j];13. Path[i][j] = 0;14. if(j >= Weight[i-1] && Table[i][j]< Table[i-1][j-Weight[i-1]]+Value[i-1])15. {16. Table[i][j] = Table[i-1][j-Weight[i-1]]+Value[i-1];17. Path[i][j] = 1;18. }19. }20. }21.22. int i = nLen, j = nCapacity;23. while(i > 0 && j > 0)24. {25. if(Path[i][j] == 1)26. {27. cout << Weight[i-1] << " ";28. j -= Weight[i-1];29. }30. i--;31. }32. cout << endl;33.34. int nRet = Table[nLen][nCapacity];35. DestroyTwoDimArray(Table,nLen+1); //销毁二维数组36. DestroyTwoDimArray(Path,nLen+1); //销毁二维数组37. return nRet;38.}//时间复杂度O(VN)，不考虑路径空间复杂度为O(V)，考虑路径空间复杂度为O(VN)[cpp]view plaincopy1.int Package01_Compress(int Weight[], int Value[], int nLen, int nCapacity)2.{3.int * Table = new int [nCapacity+1];4.memset(Table,0,(nCapacity+1)*sizeof(int));5.int** Path = 0;6.CreateTwoDimArray(Path,nLen+1,nCapacity+1); //创建二维数组7.8.for(int i = 0; i < nLen; i++)9.{10. for(int j = nCapacity; j >= Weight[i]; j--)11. {12. Path[i+1][j] = 0;13. if(Table[j] < Table[j-Weight[i]]+Value[i])14. {15. Table[j] = Table[j-Weight[i]]+Value[i];16. Path[i+1][j] = 1;17. }18. }19. }20.21. int i = nLen, j = nCapacity;22. while(i > 0 && j > 0)23. {24. if(Path[i][j] == 1)25. {26. cout << Weight[i-1] << " ";27. j -= Weight[i-1];28. }29.30. i--;31. }32. cout << endl;33.34. int nRet = Table[nCapacity];35. DestroyTwoDimArray(Path,nLen+1); //销毁二维数组36. delete [] Table;37. return nRet;38.}测试代码[cpp]view plaincopy1.int main()2.{3.int Weight[] = {2,3,1,4,6,5};4.int Value[] = {5,6,5,1,19,7};5.int nCapacity = 10;6.cout << Package01(Weight,Value,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;7.cout << Package01_Compress(Weight,Value,sizeof(Weight)/sizeof(int),nCapacity) << endl;。