第五节离散型随机变量及其分布列一、离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.二、离散型随机变量的分布列及性质1.一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,x i,…,x n,X取每一个值x i(i=1,2,…,n)的概率P(X=x i)=p i,则表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.2.离散型随机变量的分布列的性质(1)p i≥0,i=1,2,…,n.(2)p1+p2+…+p n=1.三、相互独立事件一般地,对两个事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),则称A,B相互独立.四、两点分布若随机变量X的分布列为则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.五、独立重复试验与二项分布1.独立重复试验一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 2.二项分布一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)=C kp k(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).n此时称随机变量X服从二项分布,记作X～B(n,p),并称p为成功概率.1.概念理解(1)随机变量是将随机试验的结果数量化.(2)离散型随机变量的分布列从整体上反映了随机变量取各个值的可能性的大小,反映了随机变量取值的规律性.(3)因为一次试验的各种结果是互斥的,而全部结果之和为一个必然事件,所以离散型随机变量的分布列具有性质p 1+p 2+…+p i +…+p n =1. (4)由事件A 和B 同时发生所构成的事件称为事件A 与B 的交(或积),记作A ∩B(或AB).(5)相互独立的两个事件实质上是一个事件的发生对另一个事件的发生没有影响.(6)独立重复试验必须满足三个特征:①每次试验的条件都完全相同,即每次试验事件发生的概率相等;②各次试验互相独立;③每次试验只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.(7)P(X=k)=C k np k (1-p)n-k 恰好是[(1-p)+p]n 展开式的第k+1项1k T =C k n (1-p)n-kp k .(8)独立重复试验的实际原型是有放回的抽样问题,但在实际中,从大批产品中抽取少量样品的不放回检验,也可以近似地看作此类型. (9)独立重复试验中的概率公式P n (k)=C knp k (1-p)n-k 中的p 与(1-p)的位置不能互换,否则式子表示为事件A 有k 次不发生的概率. 2.与独立事件有关的结论(1)若A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B,A 与B 也都相互独立.(2)若A与B相互独立,则P(B|A)=P(B)且P(A|B)=P(A).(3)事件A,B发生的概率关系如表所示1.随机变量X 的分布列如表:其中a,b,c 成等差数列,则P(|X|=1)等于( A )(A)23 (B)12 (C)13 (D)162.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为13,乙、丙去北京旅游的概率分别为14,15,假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内三人同去北京旅游的概率为( D )(A)5960 (B)35 (C)12 (D)160解析:因甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分别为13,14,15,且三人的行动相互独立,故三人同去北京旅游的概率为13×14×15=160. 3.离散型随机变量X 的概率分布规律为P(X=n)=()1an n + (n=1,2,3,4),其中a 是常数,则P(12<X<52)的值为( D ) (A)23 (B)34 (C)45 (D)56解析:因为P(X=n)=()1an n +(n=1,2,3,4),所以2a +6a +12a +20a=1, 所以a=54, 所以P(12<X<52)=P(X=1)+P(X=2)=54×12+54×16=56.故选D. 4.某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为45,那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是 .答案:48125考点一离散型随机变量分布列的性质及其应用【例1】设随机变量X的分布列为P(X=5k)=ak(k=1,2,3,4,5).(1)求a;(2)求P(X≥35).解:(1)由分布列的性质得,P(X=15)+P(X=25)+P(X=35)+P(X=45)+P(X=1)=a+2a+3a+4a+5a=1,所以a=115.(2)P(X≥35)=P(X=35)+P(X=45)+P(X=1)=3×115+4×115+5×115=45.(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时注意检验,保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列及互斥事件的概率加法公式,将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可.设ξ是一个离散型随机变量,其分布列为则a等于( D )(A)1 (B)1解析:由分布列的性质,得()2120,1121,2a a a -≥⎧⎪⎨+-+=⎪⎩ 解得.故选D.考点二 求离散型随机变量的分布列【例2】一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4,从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X 的分布列.解:(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A,则P(A)=1322252547C C C C C ⋅+=67.所以取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=1)=3347C C =135, P(X=2)=3447C C =435,P(X=3)=3547C C =27, P(X=4)=3647C C=47,所以随机变量X 的分布列是(1)求离散型随机变量X 的分布列的步骤:①理解X 的意义,写出X 可能取的全部值;②求X 取每个值的概率;③写出X 的分布列. (2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型等知识.某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满300元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下:奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球,1个黄球,1个白球和1个黑球.顾客不放回地每次摸出1个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球奖励10元,摸到白球或黄球奖励5元,摸到黑球不奖励. (1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率;(2)记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额,随机变量X 的分布列. 解:(1)设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A,则P(A)=2334A A=14, 故1名顾客摸球3次停止摸球的概率为14. (2)随机变量X 的所有取值为0,5,10,15,20.P(X=0)=14,P(X=5)=242A =16, P(X=10)=241A +2234A A =16, P(X=15)=122234C A A =16, P(X=20)=3344A A=14. 所以,随机变量X 的分布列为考点三 独立重复试验与二项分布【例3】甲将要参加某决赛,赛前A,B,C,D 四位同学对冠军得主进行竞猜,每人选择一名选手,已知A,B 选择甲的概率均为m,C,D 选择甲的概率均为n(m>n),且四人同时选择甲的概率为9100,四人均未选择甲的概率为125.(1)求m,n 的值;(2)设四位同学中选择甲的人数为X,求X 的分布列和数学期望.解:(1)由已知可得()()22229,100111,25,m n m n m n ⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪⎪>⎪⎩ 解得3,21.2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(2)X 可取0,1,2,3,4.P(X=0)=125,P(X=1)=12C ×35×(1-35)×(1-12)2+(1-35)2×12C ×12×(1-12)=15, P(X=2)=12C ×35×(1-35)×12C ×12×(1-12)+(35)2×(1-12)2+(1-35)2×(12)2=37100,P(X=3)=12C ×35×(1-35)×(12)2+(35)2×12C ×12×(1-12)=310, P(X=4)=9100.X 的分布列为E(X)=0×125+1×15+2×37100+3×310+4×9100=2.2.二项分布的简单应用是求n次独立重复试验中事件A恰有k 次发生的概率,其解题一般思路是:根据题意设出随机变量X→分析出随机变量服从二项分布→找到参数n,p→分析X取每个值对应的k值→将k代入公式求概率.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.(1)求甲以4比1获胜的概率;(2)求比赛局数的分布列.解:(1)由已知得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12,设A={甲以4比1获胜},则P(A)=34C(12)3(12)4-3·12=18.(2)设比赛的局数为X,则X的可能取值为4,5,6,7,P(X=4)=2·44C(12)4=18,P(X=5)=2·34C(12)3(12)4-3·12=14,P(X=6)=2·35C(12)3(12)5-3·12=516,P(X=7)=2·36C(12)3(12)6-3·12=516,古典概型与离散型随机变量的分布列【例题】(2015·四川卷)某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了3名男生、2名女生,B 中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X 表示参赛的男生人数,求X 的分布列和数学期望. 解:(1)由题意,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为33343366C C C C=1100.因此,A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99100. ①(2)根据题意,X 的可能取值为1,2,3. ②P(X=1)=133346C C C =15, P(X=2)=223346C C C =35,P(X=3)=313346C C C =15. ③④ 因此,X 的数学期望为E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)=1×15+2×35+3×15=2.⑤规范要求: 步骤①②③④⑤应齐全,能够正确利用计数原理、排列、组合求出概率.温馨提示: 对于“至少”“至多”型问题常考虑利用对立事件概率加法公式求解.【规范训练】盒内有大小相同的9个球,其中2个红色球,3个白色球,4个黑色球.规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得-1分.现从盒内任取3个球. (1)求取出的3个球中至少有1个红球的概率; (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率;(3)设X 为取出的3个球中白色球的个数,求X 的分布列.解:(1)P=1-3739C C =712.(2)记“取出1个红色球,2个白色球”为事件B,“取出2个红色球,1个黑色球”为事件C,则P(B+C)=P(B)+P(C)= 122339C C C +212439C C C =542.(3)X 可能的取值为0,1,2,3,X 服从超几何分布,所以P(X=k)= 33639C C C k k ,k=0,1,2,3.故P(X=0)=3639C C =521,P(X=1)=123639C C C =1528,P(X=2)=213639C C C =314,P(X=3)=3339C C =184.所以X 的分布列为类型一 离散型随机变量1.已知8件产品中有2件次品,从中任取3件,取到次品的件数为随机变量ξ,那么ξ的可能取值为( C ) (A)0,1 (B)1,2 (C)0,1,2 (D)0,1,2,3解析:因为8件产品中有2件次品,所以从中任取3件,表示取到次品件数的随机变量ξ的可能取值为0,1,2.故选C. 类型二 求概率2.设随机变量X 的分布列如表,则P(|X-2|=1)等于( C )(A)712(B)12(C)512(D)16解析:由所有概率和为1,可得m=14.又P(|X-2|=1)=P(X=1)+P(X=3)=16+ 14=512.故选C.3.某科研小组共有5名成员,其中男生3名,女生2名,现选举2名代表,至少有1名女生当选的概率为( C )(A)25 (B)35(C)710 (D)以上都不对解析:所求概率P=1-2325C C =710.故选C.4.已知甲袋中有1个黄球和2个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球,现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中,然后从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出红球的概率为( C )(A)13 (B)12 (C)59 (D)29解析:根据题意,分两种情况讨论:①从甲袋中取出两个红球,其概率为13,此时乙袋中有2个黄球和4个红球,则从乙袋中取出红球的概率为46=23,则这种情况下的概率为13×23=29,②从甲袋中取出1个红球和1个黄球,其概率为23,此时乙袋中有3个黄球和3个红球,则从乙袋中取出红球的概率为36=12,则这种情况下的概率为23×12=13, 则从乙袋中取出红球的概率为29+13=59.故选C. 类型三 分布列5.若在甲袋内装有8个白球、4个红球,在乙袋内装有6个白球、6个红球,今从两袋里各任意取出1个球,设取出的白球个数为X,则下列概率中等于11118646111212C C C C C C +的是( C )(A)P(X ≤1) (B)P(X ≤2) (C)P(X=1) (D)P(X=2)解析:P(X=1)=11118646111212C C C C C C +,故选C.6.若随机变量X 的分布列为则当P(X<a)=0.8时,实数a 的取值范围是( C ) (A)(-∞,2] (B)[1,2] (C)(1,2] (D)(1,2) 解析:由随机变量X 的分布列知:P(X<-1)=0.1,P(X<0)=0.3,P(X<1)=0.5,P(X<2)=0.8,则当P(X<a)=0.8时,实数a 的取值范围是(1,2].故选C.7.设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1,则随机变量ξ的分布列是 . 解析:ξ的可能取值为P(ξ=0)=232128C C =411,P(ξ2126C =111.P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ411-111=611. 答案:8.生产方提供50箱的一批产品,其中有2箱不合格产品,采购方接收该批产品的准则是:从该批产品中任取5箱产品进行检测,若至多有一箱不合格产品,便接收该批产品,则该批产品被接收的概率是 .解析:设“5箱中的不合格品的箱数”为X, 则该批产品被接收的概率是P(X ≤1)=P(X=0)+P(X=1)=05248550C C C ⋅+14248550C C C ⋅=243245.答案:2432459.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为X,求X 的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少? 解:(1)X 的可能取值有-200,10,20,100.根据题意,有P(X=-200)=03C(12)0(1-12)3=18,P(X=10)=13C(12)1(1-12)2=38,P(X=20)=23C(12)2(1-12)1=38,P(X=100)=33C(12)3(1-12)0=18.所以X的分布列为(2)由(1)知每盘游戏出现音乐的概率是P=38+38+18=78.则玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是P1=1-03C(78)0(1-78)3=511512.。