导数结合洛必达法则巧解高考压轴题2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第色)步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。
洛必达法则简介：法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：⑴lim f x = 0及lim g x = 0 ；(2) 在点a的去心邻域内,f(x) 与g(x)可导且g'(x)丰0;f '(X )(3) lim l ,x a g x那么lim・L = |im・=|。
—g(x ) —g'(x)法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：⑴lim f x =0及lim g x = 0 ；x^C * ‘(2) A> 0, f(x)和g(x)在-:：，A 与A,：：上可导，且g'(x)丰 0;0 比.T-i 0 0②洛必达法则可处理一，，o宀,1 -, “, 0 ,：：-：：型。
◎在着手求极限以前，首先要检查是否满足-,-,o •:: , 1 , ：：0, 0°,：：_：：型定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
◎若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
二.高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数f (x) = e x -1 - x - ax2。
(1)若a = 0，求f (x)的单调区间；(2)若当x_ 0时f (x) _ 0，求a的取值范围原解：(1) a = 0 时，f(x)=e x-1-x, f'(x) = e x-1.当(-：：,0)时，f'(x)：：：0 ；当x (0^：：)时，f'(x).0.故f (x)在(--■- ,0)单调减少，在(0「：)单调增加(II ) f '(x) = e x - 1 - 2ax由(I )知e x一「x，当且仅当x = 0时等号成立.故那么lim»=lim_^l。
F g(x) F g^x)法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：⑴lim f x - ：：及lim g x二：：；(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x)可导且g'(x)丰0;f '(X)⑶ lim l ,x a g x那么limd = lim・=l。
—g(x ) J g (x)利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意:f '(x) _ x _ 2ax = (1 _ 2a)x ,1从而当1-2a 一0,即a 时，f '(x) _ 0 ( x 一0)，而f(0) =0 ,2于是当x^O 时，f(x)K0.1x x |由e 1 x(x = 0)可得e - 1- x(x= 0).从而当a 时，2故当x (0,ln 2a)时，f'(x) ：： 0，而f (0) = 0，于是当x (0,ln 2a)时，f(x) ：：0.①将上面公式中的X i a, X is 换成x T +8, X T - a,+ —x— a , x— a洛必达法则也成立。
综合得a的取值范围为1 精选资料，欢迎下载原解在处理第(II )时较难想到，现利用洛必达法则处理如下： 另解：(II )当x=0时，f(x)=O ,对任意实数a,均在f(x)_O ；知h x 在0,：；心[上为增函数， h x h 0 =0 ；知h(x )在(0,址)上为增函数，h x • h 0i ；=0； . g x 0，g(x)在 0,亠「j 上为增函数。
xxx由洛必达法则知，lim e_： 1Jim 加lim 号冷，x「0x x】02X x】02 21故a --2综上，知a 的取值范围为i 亠,1。
2当 X (1, +：：)时，h (X ) <0,可得一h (X ) >01- x 2In x kIn x k从而当 x>0,且 x=1 时，f (x ) - (+— ) >0,即卩 f (x ) >+.x —1 Xx —1 X(i )求a 、b 的值;(n )如果当x 0，且x 胡时，f (x)• -lnX k，求k 的取值范围。
x —1 X1 1而 h (1) =0,故当 x (1, )时，h (x ) >0,可得 -h (x ) <0,1- k 1-x 2与题设矛盾。
x 1——-l nx) b 原解：(i ) f '(x)二——J 2 2 '(iii )设 k —1.此时 x 1 — 2x , (k-1)(x1) 2x 0= h (x ) >0,而 h (1) =0,故当(x 1)2 x 21(1, +旳)时，h ( x ) >0,可得 -------- 2 h (x ) <0,与题设矛盾。
1-x由于直线x ，2y -3=0的斜率为 1f(1)=1,■-，且过点(1,1)，故f'(1)」1即2,b=1, 1—1解得 a =1 , b =1。
综合得，k 的取值范围为)-：：,0]原解在处理第)II )时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：2x ln x另解：(II )由题设可得，当x • 0,x=1时，k< 2 - 1恒成立。
1-xln x 1(n )由(i )知f (x)，所以X 十1 X xx - 1当x 0时，f(x) _0等价于a・E e2— xxXXx -1x 2 x 2x x令 g x 二e―2(x>0),则 g (x)ee3，令 h x 二 xe - 2ex 2 x 0 ，x xf(x)- (■ln x仁X 2(2ln x ^^1))。
x考虑函数 h(x) = 2ln x(一1)"2 — 1)(x 0)，则 h(x) = (J 1"-1) 2XXX则 h x 二 X e 「e 1， h x 二 XgX0，由 h'(x)二 2 2k(x 1)-(x-1)2X知，当 x = 1 时，h'(x) :： 0 , h (X )递减。
而 h(1)= 01故当 x (0,1)时，h(x) 0,可得 2h(x) 0;1 - x (ii )设 0<k<1.由于(k - 1) X2 • 1)2 (k - 1)X 2 • 2x • k - 1 的图像开口 向下，且21 12 '心=4 — 4(k — 1) > 0 ,对称轴 x= ------- > 1 当 x ^= (1, --------- )时，(k-1 ) (x +1) +2x>0,故 h (x ) >0,1-k1-k2. (2011年全国新课标理)已知函数，曲线 y = f(x)在点(1,f (1))处的切线方程为 x ，2y-3 = 0。
1精选资料，欢迎下载解：应用洛必达法则和导数2x In x令g (x)= r 1( x .0,^-1),则g x =21 -x2 2x2 1 In X - X2 1 i x sin x当xro^)时，原不等式等价于再令h x = x2 1 In x-x2 1 ( x 0, x = 1 )，则h x=2lx nixx、x — si nx 3si nx—xcosx—2x记f (x) 3，则f '(x)二xh“ x =21 n x • 1 - ―，易知h x =21 n x • 1 -丄在上为增函数，且x x 故当记 g(x) = 3sin x - xcosx - 2x，贝U g '(x) = 2cos x xsin x - 2 . x (0,1)时，h x ： 0，当x (1, + ：：)时，h x 0；因为g "(x) = xcosx - sin x = cosx(x — tan x),.h x在0,1上为减函数，在1,= 上为增函数；故h x > h 1 =0.h x在0, •::上为增函数L h 1 =0当x (0,1)时，h x :: 0，当x ( 1，+：：)时，h x ］、0当x (0,1)时，g x :: 0，当x ( 1，+：：)时，g x 0g x在0,1上为减函数，在1,：；心］;上为增函数xln x 1 + ln x i 1 i由洛必达法则知lim g(x)=2lim匚厂仁可回二2厂十仁2\二卜仁0二k兰0，即k的取值范围为(-旳，0］规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。
g "'(x) - -xsin x ：：： 0，所以g "(x)在(0,)上单调递减，且g"(x) ：：： 0 ,2所以g'(x)在(0, —)上单调递减，且2且g(x) ：：： 0,故f '(x)二业9 ：：： 0，x由洛必达法则有x—si nx 1 -cosxg '(x) ：：： 0.因此g(x)在(0-)上单调递减,2因此f(x)=T 在(0,-)上单调递减.sinx cosx2=lim ------ = limx >03x x >06x x >0即当x > 0 时，g(x^ -，即有f (x) J.6 6,, 1 3兀故时，不等式Sinx.xrx对于x (応)恒成立.通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足:①可以分离变量；②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；③岀现“-”型式子.自编：若不等式3 兀sin x x ax 对于x (0, )2恒成立，求a的取值范围Welcome !!!欢迎您的下载, 资料仅供参考!。