勾股定理（gou-gu theorem)
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么
a2 b2 c2 a c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方。
在西方又称毕达 哥拉斯定理耶！
勾
弦
股
想 一 想
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘 米）的电视机。小明量了电视机的屏 幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘 米宽，他觉得一定是售货员搞错了。
八年级数学（上册）• 新世纪版
探索勾股定理
（一）新知引入
黑 白 相 间 的 地 砖
毕达哥拉斯（公元前 572—前497年），古希 腊著名的哲学家、数学 家、天文学家.
数学小故事
相传两千多年前，古希腊著名的数学家毕达哥 拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他的宾客都在尽 情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发 起呆来。原来，朋友家的地是用一块块直角三角形 形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方。主人 看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他， 谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来， 大笑着跑回家去了。原来，他发现了地砖上的三个 正方形存在某种数学关系。
AC2 BC2 AB2
a2 b2 c2
练一练
1、已知：∠C＝90°，a：b＝ 3：4，c＝10，求a和b
2、已知：△ABC，AB＝AC A
＝17，BC＝16，则高 AD＝＿，S△ABC＝＿＿＿
B DC
拼一拼
给你四个全等的直角三角形和一个等腰 直角三角形，你能否从中选出几个，组成组 合图形，并利用组合图形的面积来证明下面
你能解释这是为什么吗？
我们通常所说的29 英寸或74厘米的电视 机，是指其荧屏对角 线的长度
∵ 582 462 5480 742 5476
荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
探索勾股定理（二）
直角三角形有哪些性质？ B
刚学习了什么？
c a
勾股定理 A
bC
在直角三角形中，两条直角边的平
方和等于斜边的平方。
的结论:a2+b2=c2 ？
ac b
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ； 也可以表示为 c2 +4•ab/2
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab
B
并填写右表：
图1-4
幻 灯 片 图1-3
A的面积
B的面积
C的面积
（单位面积） （单位面积） （单位面积）
16
9
25
图1-4
4
9
13
9
S正方形c
4 1 431 2
25
（面积单位）
幻灯片 7C AB源自图1-3C AB
图1-4
分割成若干个直角边为 整数的三角形
（2）三个 正方形A， B，C的面 积之间有什 么关系？
a2+b2=c2
A
bc C aB
（三）归纳结论
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果用a、b、c分别表示直角三角形的两直角 边和斜边，那么a2+b2=c2。
A
《周髀算经》
勾广三 股修四 径隅五
股
弦
bc
C
勾
a
B
（四）实践应用一，定理应用
1、在△ABC中，∠C=90°。若a=6，b=8，则
• •
••C••
• •
•
A
••••• •••
•
正方形周边上 的格点数a=12
正方形内部的 格点数b=13
B 图1-1
C A
B 图1-2
所以，正方形C的 面积为：
1 12 13 1 18 2
（单位面积）
利用皮克公式 S 1 a b 1
2
返回
C A
S正方形c
B C
图1-1
A
4 1 33 18 2
（一）新知引入
C A
B
C A
B
（二）自主探索一
请你数一数图中正方形A、B、C各占多少个小格子？完成表 格，探究规律。
A的面 B的面积 C的面 积(单位 (单位 积(单位
面积) 面积) 面积)
图1 1
1
2
图2 4
4
8
图3 9
9 18
A、B、
C 面积 关系
SA+SB=SC
直角三
角形三 边数量
a2+b2=c2
（1）观察图1-1
C
AC
正方形A中含有 9 个
B 小方格，即A的面积是
A
9 个单位面积。
B 图1-1
C A
B
正方形B的面积是 9 个单位面积。 正方形C的面积是
图1-2
18 个单位面积。
（图中每个小方格代表一个单位面积）
你是怎样得到上面的结 果的？与同伴交流交流。
123
（2）（3）
•
•••
•
• •
c= 10 。
2、在△ABC中，∠C=90°。若c=13，b=12，则
a= 5 。
3、若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三
边长的平方为（ D ）
A 25 B 14 C 7 D 7或25
实践应用二：探索情境
1、如图所示，一棵大树在一次强烈台 风中于离地面9米处折断倒下，树顶落 在离树根12米处。大树在折断之前高多 少？
B C
图1-1
A
（3）你能发现图1-1 中三个正方形A，B， C的面积之间有什么
B 图1-2
关系吗？
（图中每个小方格代表一个单位面积） SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
做一做
你是怎样得
C
到表中的结
A
果的？与同
伴交流交流。
B
C
（1）观察图
图1-3 A
1-3、图1-4，
关系
图 1
图2
图3
（二）自主探索二
你还能数出图
中正方形A、B、 图1
C各占多少个
图2
小格子吗？完
成表格，探究
规律。
图1
图2
A、B、C 面积 关系
直角三角形 三边数量关系
A的面积 （单位面积）
B的面积 （单位面积）
16
9
4
9
SA+SB=SC
a2+b2=c2
C的面积 （单位面积）
25 13
（二）自主探索三
SA+SB=SC
C A
B
图1-3
C A
B
图1-4
即：两条直角边上的正方形面积之和等于 斜边上的正方形的面积
幻灯片 7
议一议
（1）你能用三
角形的边长表示 A
C
正方形的面积吗？
（2）你能发现 直角三角形三边 长度之间存在什 么关系吗？与同 伴进行交流。
B
图1-3
C A
B
图1-4
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一 个直角三角形，并测量斜边的长度。（2）中 的规律对这个三角形仍然成立吗？
B
（单位面积）
图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
分割成若干个直角边 为整数的三角形
返回
C A
S正方形c
B C
图1-1
A
B
图1-2
（图中每个小方格代表一个单位面积）
把C看成边长为6的 正方形面积的一半
1 62 2
18（单位面积）
返回
C A
（2）在图1-2中，正 方形A，B，C中各含 有多少个小方格？它 们的面积各是多少？