• 运动方程及拉氏变换
..
m x kxjx f
[ms 2 (1 jg )k]x(s) f (s)
•传递函数和频率响应函数
H (s)
ms 2
1 (1
jg
)k
H ()
1
m 2 (1 jg )k
（1＋jg）k — 复刚度
–用实部和虚部表示
H ()
1 k
1 2
(1
2
)
2
g2
j
gHale Waihona Puke (1 2 )2e. 为结构动力学优化设计提供目标函数或约束条件
动力学设计，即对主要承受动载荷而动特性又至关重要的结构，以 动态特性指标作为设计准则，对结构进行优化设计。它既可在常规静力 设计的结构上，运用优化技术，对结构的元件进行结构动力修改；也可 从满足结构动态性能指标出发，综合考虑其它因素来确定结构的形状， 乃至结构的拓扑（布局设计、开孔、增删元件）。动力学优化设计就是 在结构总体设计阶段就应对结构的模态参数提出要求，避免事后修补影 响全局。
s1,2 0 j0 1 2
c /(2 km)
0 k / m
实部：衰减因子，反映系统阻尼 虚部：有阻尼系统的固有频率
阻尼比 范围（0－1）
内为欠阻尼
无阻尼固有频率
结构阻尼（滞后阻尼）系统
• 阻尼力：与位移成正比，相位比位移超前90度
fd jx
• 结构阻尼系数
gk
g — 为结构阻尼比或结构损耗因子
f. 有限元模性修正与确认
当今工程结构计算采用最广泛的计算模型就是有限元模型。再好的 算法和软件都是建立在理想的结构物理参数和边界条件假设上的。结构 有限元计算结果和试验往往存在不小差距。此时在模态试验可信的前提 下，一般是以试验结果来对有限元模型进行修正和确认。经过修正和确 认的有限元模型具有优化概念下的与试验结果最大的接近。可以进一步 用于后继的响应、载荷和强度计算。
d. 振动与噪声控制
既然结构振动是各阶振型响应的迭加，只要设法控制相关频率附近 的优势模态（改设计和加阻尼材料等或使用智能材料）就可以达到控 制结构振动的目的。
对汽车车厢内或室内辐射噪声的控制，道理也一样。车厢座舱或室 内辐射噪声与其结构的振动特性（模态）关系密切，由于辐射噪声是 由结构振动“辐射”出来的。控制了结构的振动，也就是实现了辐射 噪声的控制。
模态分析定义为：将线性时不变系统振动微分方程组中 的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以 模态坐标及模态参数描述的独立方程，坐标变换的变换矩 阵为振型矩阵，其每列即为各阶振型。
解析模态分析可用有限元计算实现，而试验模态分析则是对结构进行 可测可控的动力学激励，由激振力和响应的信号求得系统的频响函数 矩阵，再在频域或转到时域采用多种识别方法求出模态参数，得到结 构固有的动态特性，这些特性包括固有频率、振型和阻尼比等。
g2
与粘性阻尼系统相比频响函数形式相同 g 和2 相互置换即可得各自表达式
位移、速度和加速度传递函数
Hd (s)
x(s) f (s)
Hv(s)
v(s) f (s)
Ha (s)
a(s) f (s)
• 位移、速度和加速度频率响应函数
H d ( )
x( ) f ()
Hv ( )
v( ) f ()
• 三者之间的关系
H a ( )
a( ) f ()
Ha () jHv () ( j)2 Hd () 2Hd ()
• 动刚度（位移阻抗） Z (s) ms 2 cs k
•
动柔度（位移导纳）
H (s)
1 ms2 cs k
• 质量阻抗、阻尼阻抗、刚度阻抗（位移、速度、加速度） • 质量导纳、阻尼导纳、刚度导纳（位移、速度、加速度）
有限元分析软件(如ANSYS、NASTRAN、SAP、MAC等)在结
构设计中被普遍采用,但在设计中,由于计算模型和实
际结构的误差,而且受到边界条件很难准
确确定的影响,特别是结构的形状和动态特性很复杂时，
有限元简化模型和计算的误差较大。通过对结构进行实验模态分 析，可以正确确定其动态特性，并利用动态实验结果修改有限元 模型，从而保证了在结构响应、寿命预计、可靠性分析、振动与 噪声控制分析与预估以及优化设计时获得有效而正确的结果。
试验模态分析的典型应用
a. 获得结构的固有频率,可避免共振现象的发生
当外界激励力的频率等于振动系统的固有频率时，系统发生共振 现象。此时系统最大限度地从外界吸收能量，导致结构过大有害振动。 结构设计人员要设法使结构不工作在固有频率环境中。
相反，共振现象并非总是有害的：振动筛、粉末碾磨机、打夯机 和灭虫声发射装置等等就是共振现象的利用。结构设计人员此时要设 法使这种器械工作在固有频率环境中，可以获得最大能量利用率。
左至右 阻抗除 j ， 导纳乘j
•单自由度频响函数的特性曲线
Bode图(幅频图和相频图)
•幅频图:频响函数的幅值与频率的关
系
H()
H R () 2 H I () 2 k
第一章模态分析理论基础
姜节胜 西北工业大学 振动工程研究所
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模态分析理论基础是20世纪30年代机械阻抗 与导纳的概念上发展起来。吸取了振动理论、 信号分析、数据处理、数理统计、自动控制理 论的有关营养，形成一套独特的理论。
模态分析的最终目标是识别出系统的模态 参数，为结构系统的振动分析、振动故障诊断 和预报、结构动力特性的优化设计提供依据。
单自由度系统频响函数分析
粘性阻尼系统
•阻尼力（与振动速度成正比）：
fd cx
•强迫振动方程及其解
..
.
m x c x kx f
•解的形式（s为复数）及拉氏 变换：
x Xest (ms 2 cs k)x(s) f (s)
自由振动
.. .
m x c x kx 0
ms2 cs k 0
b. 为了应用模态叠加法求结构响应，确定动强度, 和疲劳寿命
分析告诉我们任何线性结构在已知外激励作用下他的响应是可以 通过每个模态的响应迭加而成的。所以模态分析另一主要的应用是建 立结构动态响应的预测模型，为结构的动强度设计及疲劳寿命的估计 服务。
c. 载荷(外激励)识别
由激励和模态参数预测响应的问题称为动力学正问题，反之由响应 和模态参数求激励称为反问题。原则上只要全部的各阶模态参数都求 得, 由响应就可以求出外激励（称为载荷识别）。