泰勒公式一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式由微分概念知：f 在点0x 可导，则有 ).())(()()(0000x x x x x f x f x f -+-'+=ο． 即在点0x 附近，用一次多项式))(()(000x x x f x f -'+逼近函数)(x f 时，其误差为(0x x -)的高阶无穷小量．然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为nx x ))((0-ο，其中n 为多项式的次数．为此，我们考察任一n 次多项式.)()()()(0202010nn n x x a x x a x x a a x p -++-+-+= (1)逐次求它在点0x 处的各阶导数，得到 00)(a x p n =，20!2)(a x p n ="，n n n a n x p !)(,0)(= ，即.!)(,!2)(,!1)(),(0)(020100n x p a x p a x p a x p a n n n n n n ="='==由此可见，多项式)(x p n 的各项系数由其在点0x 的各阶导数值所唯一确定．对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数．由这些导数构造一个n 次多项式,)(!)()(!2)()(!1)()()(00)(200000n n n x x n x fx x x f x x x f x f x T -++-''+-'+= （2）称为函数f 在点0x 处的泰勒(Taylor)多项式，)(x T n 的各项系数=k k x fk (!)(0)(1，2，…，n )称为泰勒系数．由上面对多项式系数的讨论，易知)(x f 与其泰勒多项式)(x T n 在点0x 有相同的函数值和相同的直至n 阶导数值，即.,,2,1,0),()(0)(0)(n k x T x fk n k == （3）下面将要证明))(()()(0nn x x x T x f -=-ο，即以(2)式所示的泰勒多项式逼近)(x f 时，其误差为关于nx x )(0-的高阶无穷小量．定理6．8 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有+=)()(x T x f n 即),)((0nx x -ο).)(()(!)()(!2)())(()()(000)(200000n n n x x x x n x fx x x f x x x f x f x f -+-+-''+-'+=ο （4）证 设 n R (,)()(),()()0nn n x x x Q x T x f x -=-=现在只要证 .0)()(lim0=→x Q x R nn x x由关系式(3)可知， 0)()()(0)(0'0===x R x R x R n n n n并易知 !.)(,0)()()(0)(0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====-因为)(0)(x fn 存在，所以在点0x 的某邻域U(0x )内f 存在n —1阶导函数)(x f ．于是，当)(0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则，n —1次，得到.0)]()()([lim !1)(2)1())(()()(lim)()(lim )()(lim )()(lim 0)(00)1()1(000)(0)1()1()1()1(''00000=---=-----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x fx Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n nn n x x n n x x n x x 定理所证的(4)式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x T x f x R n n -=称为泰勒公式的余项，形如))((0nx x -ο的余项称为佩亚诺(Peano)型余项．所以(4)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式．注1 若)(x f 在点0x 附近满足),)(()()(0nn x x x p x f -+=ο， (5)其中)(x p n 为(1)式所示的n 阶多项式，这时并不意味着)(x p n 必定就是f 的泰勒多项式)(x T n ．例如 ,),()(1++∈=N n x D xx f n 其中D )(x 为狄利克雷函数．不难知道，)(x f 在0=x 处除了0)0(='f 外不再存在其他任何阶导数(为什么?)．因此无法构造出一个高于一次的泰勒多项式)(x T n ，但因 ,0)(lim )(lim00==→→x xD xx f x n x 即)()(nx x f ο=，所以若取 .00000)(2≡⋅++⋅+⋅+=nn x x x x p 时，(5)式对任何+∈N n 恒成立．注2 满足(5)式要求(即带有佩亚诺型误差)的n 次逼近多项式)(x p n 是唯一的． 综合定理6．8和上述注2，若函数f 满足定理6．8的条件时，满足(5)式要求的逼近多项式)(x p n 只可能是f 的泰勒多项式)(x T n ．以后用得较多的是泰勒公式(4)在00=x 时的特殊形式：).(!)0(!2)0()0()0()()(2n nn x x n f x f x f f x f ο+++''+'+=它也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式．例1 验证下列函数的麦克劳林公式：)1( );(!!212n nxx n x x x e ο+++++= (2) );()!12()1(!5!3sin 212153m m m x m x x x x x ο+--+++-=-- )3( ;)()!2()1(!4!21cos 12242++-+++-=m m m x m x x x x ο (4) )()1(32)1ln(132n nn x nx x x x x ο+-+++-=+- ； )5( );(!)1()1(!2)1(1)1(2n n x x n n x x x οααααααα++--++-++=+(6))(1112n n x x x x xο+++++=- ． 证 这里只验证其中两个公式，其余请读者自行证明． (2) 设x x f sin )(=，由于)2sin()()(πk x x f k +=，因此 .,2,1,)1()0(,0)0(1)12()2(n k f fk k k =-==--n k x k x f xx f x x f k k k ,,2,1,)1()!1()1()(,,11)()1ln()(1)(' =+--=+=+=--代人公式(6)，便得到x sin 的麦克劳林公式．由于这里有)()(212x T x T m m =-，因此公式中的余项可以写作)(12-m xο，也可以写作)(2m x ο)．关于公式3)中的余项可作同样说明．)4(设因此.,,2,1,)!1()1()0(1)(n k k fk k =--=-代人公式(6)，便得)1ln(x +的麦克劳林公式利用上述麦克劳林公式，可间接求得其他一些函数的麦克劳林公式或泰勒公式，还可用来求某种类型的极限． 例2 写出22)(x ex f -=的麦克劳林公式，并求)0()98(f与)0()99(f ．解 用)2(2x -替换公式1)中的x ，便得).(!2)1(!22212224222n n n nx x n x x x eο+⋅-+⋅+-=-根据定理6．8注2，知道上式即为所求的麦克劳林公式．由泰勒公式系数的定义，在上述)(x f 的麦克劳林公式中，98x 与99x 的系数分别为.0)0(!991,!4921)1()0(!981)99(4949)98(=⋅-=f f 由此得到.0)0(,!492!98)0()99(49)98(=⋅-=f f例3 求x ln 在2=x 处的泰勒公式．解 由于),221ln(2ln )]2(2ln[ln -++=-+=x x x 因此).)2(()1(21)1()2(221)2(212ln 122n n nn x x n x x x -+-⋅-++-⋅--+=-ο根据与例1的相同的理由，上式即为所求的泰勒公式． 例 4 求极限4202cos limx e x x x -→-.解 本题可用洛必达法则求解(较繁琐)，在这里可应用泰勒公式求解．考虑到极限式的分母为4x ，我们用麦克劳林公式表示极限的分子(取4=n ，并利用例2)：),(821),(2421cos 54225422x xxex x x x xοο++-=++-=-).(12cos 5422x x ex x ο+-=--因而求得.121)(121limcos lim4544202-=+-=-→-→x x x x e x x x x ο 二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式上面我们从微分近似出发，推广得到用n 次多项式逼近函数的泰勒公式（4）。

它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：当0x x →时，逼近误差是较nx x )(0-高阶的无穷小量。

现在我们将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计。

定理 6.9 （泰勒定理）若函数f 在],[b a 上存在直至n 阶的连续导函数，在),(b a 内存在)1(+n 阶导函数，则对任意给定的],[,0b a x x ∈，至少存在一点),(b a ∈ξ，使得.)()!1()()(!)()(!2)())(()()(10)1(00)(200000++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ （7）证 作辅助函数],)(!)())(()([)()()(n n t x n t f t x t f t f x f t F -++-'+-= .)()(1+-=n t x t G所要证明的(7)式即为)()!1()()(0)1(0x G n f x F n +=+ξ或)!1()()()()1(00+=+n f x G x F n ξ.不妨设x x <0,则)(t F 与)(t G 在],[0x x 上连续,在),(0x x 内可导,且,)(!)()()1(n n t x n t f t F --='+.0))(1()(≠-+-='n t x n t G又因0)()(==x G x F ，所以由柯西中值定理证得,)!1()()()()()()()()()()1(0000+=''=--=+n f G F x G x G x F x F x G x F n ξξξ其中),(),(0b a x x ⊂∈ξ.（7）式同样称为泰勒公式，它的余项为,)()!1()()()()(10)1(++-+=-=n n n n x x n f x T x f x R ξ),10)((00<<-+=θθξx x x称为拉格朗日型余项．所以(7)式又称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。