（7） (k + l)α＝kα＋lα , k,l ∈ F ； （8） k(lα )＝(kl)α ，
其中α, β ,γ 是V 中的任意元素， k,l 是数域 F 中任意数．V 中适合（3）的元素 0 称为零元
素；适合（4）的元素 β 称为α 的负元素，记为 − α ．
下面我们列举几个线性空间的例子．
例1 数域 F 上的所有 n 维列向量集 F n 算规则，它是数域 F 上的一个线性空间．特别 地，当 F＝R 时，R n 称为 n 维实向量空间；当 F＝C 时，C n 称为 n 维复向量
设α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n = y1η1 + y2η2 + L+ ynηn ，则
⎜⎛ x1 ⎟⎞ ⎜⎛ y1 ⎟⎞
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
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第六章 线性空间与线性变换
二、同构关系
1．映射
设 M,N 是两个集合．如果给定一个法则ϕ ，使 M 中的每个元素 a 都有 N 中的一
个唯一确定的元素 a' 与之对应，则称ϕ 是集合 M 到集合 N 的一个映射． a' ∈ N 称为 a 在
映射ϕ 下的像，而 a 称为 a' 在映射ϕ 下的原像．记作ϕ(a) = a' ． M 中元素在ϕ 下像的全
2) 把（1）式形式地写为
⎜⎛ x1 ⎟⎞
α
=
(ε1,ε
2
,L,
ε
n
)
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
x2 M xn
⎟ ⎟ ⎟⎟⎠
．
(η1,η2 ,L,ηn ) = (ε1,ε 2 ,L,ε n )A．
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第六章 线性空间与线性变换
运算规则：
（1） ((ε1,ε 2 ,L,ε n )A)B = (ε1,ε 2 ,L,ε n )(AB)；
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高等代数讲义
例4 实系数的 n 元齐次线性方程组 Ax = 0 的所有解向量构成 R 上的一个线性空 间．称之为方程组 Ax = 0 的解空间．
例5 闭区间[a,b] 上的所有连续实函数，构成一个实线性空间，记为 C[a,b] ．
例6 零空间．
注：线性空间中的元素仍称为向量．然而其涵义比 n 维有序数组向量要广泛的多．
我们称表示矩阵
⎜⎛ a11 a12 L a1n ⎟⎞
A
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
a21 M an1
a22 M an2
L O L
a2n ⎟
M ann
⎟ ⎟⎟⎠
为由基 ε1,ε 2 ,L,ε n 到基η1,η2 ,L,ηn 的过渡矩阵，(6.3.1表示α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n 形式地写为
空间．
例2 数域 F 上的全体 m × n 矩阵构成一个 F 上的线性空间，记为 M m×n (F) ．
例3 数域 F 上的一元多项式全体，记为 F[x] ，构成数域 F 上的一个线性空间．如果 只考虑其中次数小于 n 的多项式，再添上零多项式也构成数域 F 上的一个线性 空间，记为 F[x]n ．
（1） 加法交换律：α + β＝β＋α ；
（2） 加法结合律： (α + β ) + γ＝α + (β＋γ )；
（3） 在V 中存在一个元素 0 ，对于V 中的任一元素α ，都有α＋0＝α ； （4） 对于V 中的任一元素α ，存在元素 β ，使α＋β＝0 ； （5） 1⋅α =α ； （6） k(α＋β )＝kα＋kβ ， k ∈ F ；
( ) 系数 a0 , a1 ,L, an−1 T ．
考虑 F[x]n 中的另一组基
β1 = 1, β2 = x − a,L, βn = (x − )a n−1 ．
由泰勒(Taylor)公式，多项式 f (x) 可表示为
f (x) =
f (a) +
f '(a)(x − a) + L +
( ) f (n−1) (a) ( x − a) n−1 ，
σ (α1),σ (α2,)L,σ (αn ) 线性相关．
推论 同构的线性空间具有相同的维数． 性质３ 同构关系是一个等价关系，即
(1) 反身性：V ≅ V ; (2) 对称性：若V ≅ U ，则U ≅ V ；
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高等代数讲义
(3) 传递性：若V ≅ U ,U ≅ W ,则V ≅ W ．
ε
n
=
⎜0⎟
⎜ ⎜⎜⎝
1M ⎟⎟⎟⎠
,
是 F n 的一组基．对任一向量α = (a1, a2 ,L, an )T 都可表示成
α = a1ε1 + a2ε 2 + L+ anε n ，
所以 (a1, a2 ,L, an )T 就是向量α 在这组基下的坐标．
选取另一组基：
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜⎛1⎟⎞
我们称 x1, x2 ,L, xn 为向量α 在基 ε1,ε 2 ,L,ε n 下的坐标，记作 (x1, x2,L, xn )T ．
例1 在 n 维向量空间 F n 中，显然
⎜⎛ 1 ⎟⎞
⎜⎛ 0 ⎟⎞
⎜⎛ 0 ⎟⎞
ε1
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
00M ⎟⎟⎟⎟⎠,
ε
2
=
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
10M ⎟⎟⎟⎟⎠,L,
( ) 所以α 在这组基下的坐标为 a1 − a2 , a2 − a3 ,L, an−1 − an , an T ．
例2 在线性空间 F[x]n 中，容易验证
α1 = 1,α2 = x,L,αn = xn−1
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高等代数讲义
是 F[x]n 的一组基．在这组基下，多项式 f (x) = a0 + a1 x + L + an−1 x n−1 的坐标就是它的
组基，其秩就是维数．
推论 2 n 维线性空间V 中的任意 n 个线性无关的向量组成V 的一组基．
定义 2 设 ε1,ε 2 ,L,ε n 是 n 维线性空间V 的一组基，则对V 中的任意向量α ，存在唯
一数组 x1, x2 ,L, xn ，使得
α = x1ε1 + x2ε 2 + L+ xnε n ，
注 2：如果在线性空间V 中存在无穷多个线性无关的向量，则称V 为无限维线性空间，
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第六章 线性空间与线性变换
例：连续函数空间 C[a,b] 就是一个无限维空间．
推论 1 n 维线性空间中的任意 n +1个向量必线性相关． 注 3： 将线性空间V 看成一个向量组，那么它的任意一个极大线性无关组就是V 的一
n −1!
因此， f (x) 在基 β1, β2 ,L, βn 下的坐标为
⎜⎜⎝⎛
f
(a),
f
' (a), L ,
f (n
(n
−1)
−
(a)
1)!
⎟⎟⎠⎞
T
．
例3 在所有二阶实矩阵构成的线性空间 M 2×2 (R) 中，考虑向量组
E11
=
⎜⎜⎝⎛
1 0
0 0
⎟⎟⎠⎞,
E12
=
⎜⎜⎝⎛
0 0
1 0
⎟⎟⎠⎞,
（2） (ε1,ε2 ,L,εn )A + (ε1,ε 2 ,L,ε n )B = (ε1,ε 2 ,L,ε n )(A + B)；
（3） (ε1,ε2 ,L,εn )A + (ε1',ε2 ',L,εn ')A = (ε1 + ε1',ε 2 + ε 2 ',L,ε n + ε n ')A ，
坐标变换公式：
一、过渡矩阵
设 ε1,ε 2 ,L,ε n 和η1,η2 ,L,ηn 是数域 F 上 n 维线性空间V 的两组基，它们之间的关系
为
η1 = a11ε1 + a21ε 2 + L+ an1ε n
η2 = a12ε1 LLLL
+
a22ε 2
+L+
an2ε n
，
（1）
ηn = a1nε1 + a2nε 2 + L+ annε n
则称线性空间V 与U 同构，记为V ≅ U ．称σ 为线性同构映射
定理 1 数域 F 上任一 n 维线性空间都与 F n 同构．
4．同构的性质．
性质１ σ (0) = 0, σ (−α) = −α ．
性 质 ２ 线 性 同 构 保 持 线 性 关 系 不 变 ， 即 α1,α2,L,αn 线 性 相 关 当 且 仅 当
定理 6.2-2 数域 F 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数．
注 4：作为两个线性空间之间的一一对应，同构映射与其逆映射都保持线性关系不变．这 样，一个空间具有的代数性质在与之同构的空间上也成立．也就是说，同构的空间具有相同 的代数性质．
§6.3 基变换和坐标变换
本节讨论同一个向量在不同基下坐标之间的关系
实矩阵
可表示为
A
=
⎜⎜⎝⎛
a11 a 21
a12 a 22
⎟⎟⎠⎞
,
A = a11E11 + a12 E12 + a21E21 + a22 E22 ，
因此 E11 , E12 , E21 , E22 是 M 2×2 的一组基， M 2×2 是 4 维实线性空间，并且 A 在这组基下的
( ) 坐标为 a11, a12 , a21 , a22 T ．