利用MATLAB 绘制二阶控制系统的单位阶跃响应曲线
作者：张宇涛 张怀超 陈佳伟
一：课设目的和意义
（1）
学习控制系统的单位阶跃响应。
（2）
记录单位阶跃响应曲线。
（3）
比较阻尼比zeta 为不同值时曲线的变化趋势。
（4） 掌握二阶系统时间响应分析的一般方法。
二：理论分析
（1）典型二阶系统的结构图如图1所示。
不难求得其闭环传递函数为
2
222)()()(n n n B s s R s Y s G ωζωω++== 其特征根方程为222n n s ωζω++=0
方程的特征根: 222n n s ωζω++=0))(()1)(1(212
1=--=++s s s s T s T s 式中, ζ称为阻尼比; n ω称为无阻尼自然振荡角频率(一般为固有的)。
当ζ为不同值时，所对应的单位阶跃响应有不同的形式。
（2）二阶系统单位阶跃响应的三种不同情况
a.过阻尼二阶系统的单位阶跃响应（ζ>1）
在阻尼比ζ>1的条件下，系统的特征方程有两个不相等的实数极点。
222n n s ωζω++=0))(()1)(1(2121=--=++
s s s s T s T s 式中1T =;)1(1
2--ζζωn =2T )1(1
2-+ζζωn 。
此时，由于ζ>1，所以1T 和2T 均为实数，2
121T T n =ω。
当输入信号为单位阶跃输入时，系统的输出响应如下：
)
/1)(1/(1)/1)(1/(11)()()(221112T s T T T s T T s s R s G s Y B +-++-+== 对上式进行拉普拉斯反变换，可得
t T t T e T T e T T t y 211
211121/11/11)(---+-+= b ．临界阻尼时的单位阶跃响应（ζ=1）
此时闭环系统的极点为n n s s ωζω-=-==21
此时系统的单位阶跃响应为)1(1)(t e
t y n t n ωω+-=- c ．欠阻尼时的单位阶跃响应(0<ζ<1)
当0<ζ<1时,系统处于欠阻尼状态。
其闭环极点为：
S=n ζω-d j ω±
21ζωω-=n d 求得单位阶跃响应：
Y(s)= )()(s R s G B =()()22221d
n n d n n s s s s ωζωζωωζωζω++-+++- 设21sin ,cos ζβζβ-==
对上式进行拉普拉斯反变换,可得其时间响应为
)1arctan sin(112
2ζζωζω-+---t e d t
n
特别地,当ζ=0时,有
t t t y n n ωωcos -1)90sin(1)(=︒+-=
这是一条平均值为1的正.余弦形式的等幅振荡。
三：仿真验证
已知二阶系统传递函数
222
2)()()(n
n n B s s R s Y s G ωζωω++== 假设n ω=1，我们绘制出当阻尼比ζ分别为0，0.2，0.4，0.6，0.8，1.0，2.0时系统的单位阶跃响应曲线。
用MA TLAB 函数实现程序代码如下：
clear
t=0:0.01:10;
zeta=[0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,2.0];
for i=1:length(zeta)
num=1;
den=[1,2*zeta(i),1];
y(:,i)=step(num,den,t);
end
plot(t,y,t,ones(length(t),1),'k-.')
axis([0 10 0 2.2])
title('Plot of Unit-Step Response Curves with \omega _n=1 and \zeta=0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,2.0','Position',[5 2.22],'FontSize',8) xlabel('Time(sec)','Position',[9.8 -0.15],'FontSize',8)
ylabel('Response','Position',[-0.25 1],'FontSize',8)
text(3.5,2.0,'\zeta=0','FontSize',8)
text(3.0,1.77,'0.1','FontSize',8)
text(3.0,1.42,'0.3','FontSize',8)
text(3.0,1.2,'0.5','FontSize',8)
text(3.5,1.08,'0.7','FontSize',8)
text(3.0,0.75,'1','FontSize',8)
text(3.0,0.48,'2','FontSize',8)
运行该程序得到如下图所示：
012345
678910
00.51
1.5
2
P lot of Unit-Step Response Curves w ith ω n =1 and ζ=0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,2.0
Time(sec)R e s p o n s e
四：结论与收获
结论：
（1） 当0=ζ时，输出响应为等幅振荡。
（2） 当0<ζ<1时，输出响应为衰减振荡曲线，1)(=∞y ，ζ的变化影响动态性能指标。
随着ζ增大，上升时间增大，超调量变大，调节时间变短，峰值时间变大。
（3） 当ζ>1时，响应是非振荡的，无超调量，该系统不存在稳态误差。
收获：
（1） 应用MATLAB 软件可以绘出响应曲线，进而直观形象地从图像中看出二阶系统的动
态性能指标变化。
（2） 通过对word 的操作可以加深对公式应用的理解，同时对word 公式编辑器有了更深
入的了解。
（3） 锻炼了团队的协作能力，进而能够完成本次任务。