实验现象
根据实验，在不同 温度下黑体辐射能 量按频率的分布曲 线如下图所示 。其 中频率的单位为 MHz，由 6.25 106 MHz，由 内到外的4 内到外的4条曲线对 应的温度分别是 900K、1200K、 900K、1200K、 1500K和1800K。 1500K和1800K。
M0年6月，英国物理学家瑞利(Rayleigh, 1900年 月，英国物理学家瑞利(Rayleigh, 1842—1912年 1842—1912年)发表论文批评维恩在推导辐 射公式时引入的假设不可靠。他利用电磁波 振动模型导出了一个新的辐射公式，后经金 斯（Jeans, l877—1946年）改进，合称瑞 斯（Jeans, l877—1946年）改进，合称瑞 利—金斯公式（Rayleigh-Jeans Wien formula） 金斯公式（Rayleighformula） 2kT/c3 – u( ,T) = 8 –公式中c为光速，k为玻尔兹曼常量，没有需 公式中c为光速，k 要用实验确定的待定常量。
0
∑
∞ n =0
δ (ε − hν n)dε
普朗克的假设
与配分函数的公式相比较后，我们得到态密度 公式为 D( ) = ( h n) 上面的结果表明：要从理论上导出普朗克公式， 线性谐振子的能量只能等概率地取一系列不连 续的量h 续的量h n。 这与经典物理学关于能量是连续的观点尖锐对 立。 是尊重事实，还是尊重书本和权威？
H L
n
1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0
经验公式
通过对实验数据进行分析，可以得到 1）斯特藩-玻耳兹曼定律 (Stefan-Boltzmann law) 斯特藩(Stefan黑体的辐出度（即图19黑体的辐出度（即图19-2中曲线与横坐标轴所围的面 积）与黑体的热力学温度的四次方成正比，即 MB(T) = T4 其中比例系数 = 5.670 10 8 W m 2 K 4，称为 斯特藩常量(Stefan constant)。 斯特藩常量(Stefan constant)。 2）维恩位移定律 (Wien displacement law) 当黑体的热力学温度T升高时，与单色辐出度M 当黑体的热力学温度T升高时，与单色辐出度MB( ,T) 的最大值相对应的频率 m以同样的比例向高频方向移 动，即 m T 。
8π ν 2 kT , ν → 0 3 u (ν , T ) = c Aν 3 e − Bν / T , ν → ∞
上式可以简化为
1, ν →0 c u (ν , T ) 3 f = = c 2 8πν kT Aν e − Bν / T , ν → ∞ 8π kT
归纳与猜想
在得知上述理论与实验的矛盾之后，德国物理学 家普朗克（Max Planck,1858-1947年）坚信实践 家普朗克（Max Planck,1858-1947年）坚信实践 第一的观点，认为理论仅仅在符合实际时才是正 确的。 维恩公式仅在高频部分是正确的，而瑞利维恩公式仅在高频部分是正确的，而瑞利-金斯 公式仅在低频部分才正确，一个在全频范围内都 正确的公式应该以瑞利正确的公式应该以瑞利-金斯公式为低频极限， 而以维恩辐射定律为高频极限，即
2
ε
/c3
(1)
为简谐振子的平均能量。
由玻尔兹曼统计
ε （2） – 其中 为 z – lnz/
=∫
1/(kT)，配分函数和平均能量分别 1/(kT)，配分函数和平均能量分别 ∞
0
e
−β ε
D (ε )d ε
1 ∞ −β ε ε = ∫ ε e D(ε )d ε z 0
积分中的D 积分中的D(ε)为态密度。
理论说明
为了说明上述实验结果 ，人们进行了理论研究。 ，人们进行了理论研究。 在热平衡的条件下，小孔的单色辐出度M 在热平衡的条件下，小孔的单色辐出度MB( ,T) 应该与空腔内的能量密度u( 应该与空腔内的能量密度u( ,T) 成正比。 维恩公式（Wien formula） 维恩公式（Wien formula）
ε =
hν
e
hν / kT
∂ hν ⇒− ln z = hνβ −1 ∂β e −1
对上式进行积分，我们得到 h ) ln z = ln(1 e 即 h ) 1= h n z = (1 e e 利用狄拉克函数，上式可以改写成
z=
∑
∞ n =0
∫
∞
e
−β ε
0
δ (ε − hν n)dε =
∫
∞
e
−β ε
经过一段时间的犹豫之后，普朗克提出一个大 胆的、革命性的假设：每个简谐振子发射和吸 收的能量是不连续的。 这些能量值只能是某个最小能量元ε 这些能量值只能是某个最小能量元ε 的整数倍， 而每个能量元和振子的频率成正比，后来人们 称 ε = h 为“能量子” 。 能量子” 1900年12月14日，普朗克在德国物理学会的一 1900年12月14日，普朗克在德国物理学会的一 次会议上宣布了他的能量子假说，从此开创了 近代物理的新纪元，这一天被定为“ 近代物理的新纪元，这一天被定为“量子论诞 生日” 生日”。普朗克本人也由于创建量子论，而荣 获1918年的诺贝尔物理学奖。 1918年的诺贝尔物理学奖。
按经典理论，能量是连续的，简谐振子的态密 度D(ε)为常数，由此容易得到 ε = kT，代 kT，代 入(1)后又回到了瑞利—金斯公式，与实验不符 (1)后又回到了瑞利—金斯公式，与实验不符 合。 这说明了简谐振子的态密度D 这说明了简谐振子的态密度D(ε)不是常数。 正确的态密度公式应该是什么？我们可以用逆 向思维的方法，从已经实验证明的普朗克公式 出发来进行倒推。 由普朗克公式可以得出简谐振子的平均能量为
实验验证
普朗克所导出的新 的辐射公式，虽然 没有现成的理论依 据，但是在高频时 趋近维恩公式，在 低频时则趋近瑞利 公式，与实验完全 一致，而且在中频 部分和实验曲线符 合得也非常好。
原因的探求
普朗克公式取得了成功，但是不能从已知的理 论中得到说明。他决定进一步寻找隐藏在上述 公式背后的物理实质。 普朗克把研究的角度从热力学转换为统计力学； 并把研究的对象从空腔内的辐射改为空腔腔壁 的物质，并假设腔壁物质由简谐振子组成。 由辐射与腔壁的热平衡条件，得到 u( ,T) = 8 其中 ε
3
满足此条件的最简单的函数是
Bν / T f = Bν / T e −1
令
，可以得到 B=c3A/(8 k) 利用上面的结果，我们推出
8πν 2 kT 8πν 2 hν u (ν , T ) = f = 3 hν / kT 3 c c e −1
上式称为普朗克公式（Planck formula），式中 h = B k = 6.626 10 34 J s 称为普朗克常数（Planck constant）。
理想模型
我们把能够全部吸收外来一切电磁辐射的物体 称为绝对黑体，简称黑体(black body)。 称为绝对黑体，简称黑体(black body)。 黑体只是一种理想的模型，碳黑能够很好地吸 收外来的电磁波，可以近似地看成黑体。一个 开小孔的不透光空腔几乎可以全部吸收外来的 电磁波，可作为黑体来进行观测和实验。 黑体发射出来的电磁辐射称为黑体辐射，单位 时间内单位面积黑体辐射的能量( 时间内单位面积黑体辐射的能量(辐出度)记为 MB(T)，其中在频率 附近的单位频率间隔内的 (T)，其中在频率 能量( 能量(单色辐出度)记为MB( ,T) 。 记为M
矛盾与问题
u n, T
H L
n
上述两个理论公 式与实验数据的 对比如图所示， 绿线为维恩公式， 红线为瑞利红线为瑞利-金斯 公式，而兰色为 实验结果。
维恩公式在理论上不够严格， 维恩公式在理论上不够严格，与实验 不完全符合可以理解。 不完全符合可以理解。 瑞利瑞利 - 金斯公式是严格按照经典电磁 场理论和经典统计物理理论导出的， 场理论和经典统计物理理论导出的， 它在高频（短波） 它在高频（短波）部分与实验的矛盾 不可调和，给物理学界带来很大困惑， 不可调和，给物理学界带来很大困惑， 在当时被称为是“紫外灾难” 在当时被称为是“紫外灾难”，它动 摇了经典物理的基础。 摇了经典物理的基础。
科学发现系列讲座
能量子的再发现
背景
物体不仅能够发射电磁波，而且也可以吸收和 反射电磁波。实验表明，同一温度下，物体吸 收电磁波的能力与其发射能力成正比。 物体在某个频率范围内发射电磁波的能力越大， 则它吸收该频率范围内电磁波的能力也越大。 不同物体在同一频率范围内发射或吸收电磁波 的能力不同，一般来说深色物体比浅色物体吸 收和发射电磁波的能力强；颜色越深，吸收和 发射电磁波的能力越强。
–1896年 ， 德国物理学家维恩（Wien,1864-1928 年 ） 1896年 德国物理学家维恩（ Wien,1864-1928年 把空腔内的热辐射与气体分子类比， 把空腔内的热辐射与气体分子类比，得到了一个能 量密度按频率分布的公式 – u( ,T) =A 3e B /T –式中的常量A和B由实验确定。 由实验确定。