时间序列模型的构建和预测Box Jenkins Methodology)步骤1：识别。
观察相关图和偏相关图步骤2：估计。
估计模型中所包含的自回归系数和移动平均系数，可以用OLS 来估计步骤3：诊断检验。
选一个最适合数据的模型，检查从这模型中估计到的残差是否白噪声，如果不是的话，我们必须从头来过步骤 4 ：预测。
在很多情况下，这种方法得到的预测结果要比其它计量模型得到的要准确识别检查时间序列是否平稳- 如果自相关函数衰退的很慢，则序列可能是非平稳- 如果时间序列为一非平稳过程，应该运用差分的形式使它变为平稳过程- 在检验了一个时间序列的平稳性之后，我们应该用相关图和偏相关图检验ARMA模型中的阶数p和q模型ARIMA（1,1,1）.■: x t = ■ 1. x t-1 + u t +ru t-1自相关函数特征缓慢地线性衰减1.0偏自相关函数特征AR（ 1）x t = -1 X t-1 +u t右；1 > 0，平滑地指数衰减若-11 > 0，k=1时有正峰值然后截尾0.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.82 - 4 6 - 8 10 12 •14MA （ 1）X t = U t + 71 U t-1AR（ 2）x t = ；1 x t-1 + 2 X t-2 + u t若;i < 0，正负交替地指数衰减0.8若71 > 0，k=1时有正峰值然后截尾若71 < 0，k=1时有负峰值然后截尾指数或正弦衰减若-11 < 0，k=1时有负峰值然后截尾0.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8若•冷> 0，交替式指数衰减0.8若3<0，负的平滑式指数衰减k=1,2时有两个峰值然后截尾MA ( 2)X t = U t + 71 U t-1 + 72U t-2ARMA ( 1 , 1)X t = ；1 X t-1 + U t + U t-1ARMA ( 2 , 1)X t = ：1 X t-1+ 2 X t-2+ U t + 71 U t-10.8（两个特征根为实根）(1 > 0， -2 >0)0.8（两个特征根为共轭复根）0.8k=1,2有两个峰值然后截尾（> 0 , ：2 <0）指数或正弦衰减0.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.82 4 6 8 10 12 140.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.84 6 8 10 12 14(71 > 0, n >0)k=1有峰值然后按指数衰减-0.52 4 6 8 10 12 14(1 > 0, H > 0)（1 > 0,确 < 0）k=1有峰值然后按指数或正弦衰减(二 > 0 ,龙 <0)G > 0 , T2 > 0)k=1有峰值然后按指数衰减(1 > 0 ,勺 > 0)0.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8 2 4 6 8 10 12 14（1 > 0 , T1 < 0）k=1,2有两个峰值然后按指数衰减ARMA (1 , 2)X t = -1 X t-什 U t + 71 U t-1+ 72 U t-2(1 > 0, -2 < 0, > 0 )k=1,2有两个峰值然后按指数衰减(1 > 0, y > 0,决 <0)ARMA (2 , 2)X t= ^X t-1+ Px t-2+ u t + 0|U t-1+ ftU t-2 (1 > 0, r > 0,戈 >0)k=1,2有两个峰值然后按指数或正弦衰减0.6(1 > 0, -2 < 0, r > 0 , T2 <0)(1 > 0, -2 < 0, > 0 ,住 >0)(1 > 0, -2 < 0, > 0)k=1有峰值然后按指数或正弦衰减0.8(1 > 0 , r > 0, < 0)1.00.80.60.40.20.0-0.2-0.4-0.6-0.8(1 > 0 , T1 > 0, 丁 > 0)k=1,2有两个峰值然后按指数或正弦衰减0.80.6 i0.4 ,-.■0.20.0 「El E E-0.2 |-0.4 |-0.6 |-0.8[ 曰 UI 〜」(朗0.82 4 6 8 10 12 14> 0 ,⑰< 0 , 6i > 0 , 6? <0)「0.4 [,：i n-0.4 ,-0.8 ,用—■:(1 > 0 , ；2 < 0 ,十 > 0 ,龙〉0 )•估计OLS 方法在时间序列分析中的问题:■考虑下面简单的线性回归模型：乙八X t eE X t Z t■ OLS 估计量"二一-为一致估计且为最优线性无 、X t 2t丄偏估计量的条件为：E(X t e t ^ 0■但时间序列模型 乙二Zt_< et 中可能无法满足以上 条件。
它取决于误差项e t 的性质。
n' Z tv Zt'ty - tn Z t^( Z t 「e t )=2n二 Z tv e t_ ■ ■ . t^2■n n—+ 1T Z 2' Z 2' Z 2t 2t=2t =2■情形 1： e t = 5■情形 2： q = (1 - 日L)q ，E(Z t_i e t )二E(Z t_i (U t - 5))二极大似然估计法：■假设随机变量x t 的概率密度函数为f(x),其参数 用二｛ 1, 2,。
， k ｝表示，似然函数定义为：L( /xj = f(x,)-6 a■对于一组相互独立的随机变量x t, (t= 1,2, T),, 当得到一个样本(x1, X2,…X T)时，似然函数可表示为L ( | X1, X2,…X T) = f(X1| ) f (X2| )…f(X T | )T=IT f(xt | )t *■对数似然函数是Tlog L = v log f (x t | )t=1■ 一般来说似然函数是非线性的。
极大似然估计量(MLE)具有一致性和渐近有效性。
■首先讨论怎样对如下线性回归模型y t =卩0 + 1 X tl + 卩 2 X t 2 + …+ k-1 X t k -1 + U t , t = 1,2,…T,进行极大似然估计。
■假定N(0, - 2),甘 N(E(yt)r 2)■似然函数是2L( ,「| y1, ,y2,…y" = f( yj f( y2)--f( y"■每个y t的概率密度函数为f( yt )=占exp【-T】.■对于样本(y1, y2,…y",对数似然函数为T T T 2 1 T 2logL = iog f( y t )=盲log 2「-^log 二-十' A- E( y t )】2 22° t=1t=1■选择~使T 2 T■- (y t - -o - 1X t 1 - 2 X t 2 - •…-k」X t k ・1) = ■- ~t11t d■这种估计方法恰好与OLS法相同，所以在这个例子中［的MLE估计量~与OLS估计量?完全相同，即~= ?■ ~2= T -1v ~t2，有偏。
t 4■对于非平稳过程y t:'(L) d y t = :：J (L) x t = 0 (L) u t.■使x t与其拟合值?t的残差平方和' (X t _x t)2= 、?最小t t①(L)■ U t =苑X t ■ [ ?/ = S (化：也，3，…0q) ■首先假定模型为纯自回归形式，：J (L) x t = u t或x t = 1 X t-1 + …+ p X t-p + U t■这是一个线性回归模型，极大似然估计与OLS估计结果近似相同■当模型中含有移动平均项，那么对于移动平均参数来说，是一个非线性函数，必须采用非线性估计方法估计。
•诊断检验:(1)t检验(2)检验特征根是否落在单位圆之外(3)Q检验-原假设：P1 = P2 =…=P K = 0「是残差序列的自相关系数-Q统计量：Q = T(T+2)'E 大致会服从2( K- p - q)k T分布，其中r k为估计到的残差序列的自相关系数，p 为AR部分的阶数，q为MA部分的阶数-当样本很小或k值很高的时候仃+2)/ (T- k)变得非常大，Q值不太容易通过Q检验-如果残差序列不是白噪声过程，残差项的自相关系数不是零以至于Q值会非常大-判定规则：如果Q ＜児(K - p - q)，贝U接受H o，否则拒•预测下面先以ARMA (1, 1)模型为例具体介绍点预测方-设对时间序列样本{X t }, t= 1,2,T ；所拟合的模型是：X t =1 X t-1 + u t + u t-1-则理论上T + 1期X t 的值应按下式计算X T+1 =1 X T + U T+1 + " 1 U T-X T 1 = ? X T + % U T-理论上X T +2的预测式是X T+2 = 1 X T+1 + U T+2 + 二 1 U T+1-则X T +2的实际预测式是：给+2= °?塔+1-对于AR (p)过程，预测式永远是 AR (p)形式的，对 于MA (q)过程，当预测期超过q 时，预测值等于零。
-若上面所用的x t 是一个差分变量，设 y t = x t ，则得到的预测值相当于也乩(t = T +1, T+2 ,…。
)因为?T 3 =?T 2y t = y t-i + y t-% 1= y T+ y i-^/T i = ?T i-1 + y i , i = 2, 3, …-静态预测和动态预测•下面介绍AR(1)、MA(1)和ARIMA(1,1,0)过程的区间预测。
这些结论也可用于更高阶ARIMA模型的预测。
-对于AR(1)过程，x t = i畑+ ： +u t,预测误差是e r+k = X T+k -禽*= U T+k+ 1 U T+k-什…+ ' 1k 1U T+1-预测误差的方差是E(e T+k)2= (1+ 12+ …+ 12k-2y u2-预测误差的方差随预测期k的增加而增加。
这种增加在初期比较显著，当k充分大时，增加越来越慢。
-对于MA(1)过程，x t =：+u t+ru t-i,预测误差是e T+1 = X T+1-X T 1= U T+1e T+k = X T+k - X T k = U T+ k + " 1 U T+ k -1, k - 2-预测误差的方差是E(e T+1)2=二u2E(e T+k)2 = (1+ 二 12)「u2, k -2-当k =1时，预测误差的方差是J2。