《实数复习课》教学设计
教学目标
1.使学生进一步理解一个数的平方根、算术平方根及立方根的意义；
2.理解无理数和实数的意义；
3.熟练地求出一个正数的平方根、算术平方根和实数的立方根；
4.会对实数分类以及进行实数的近似计算.
教学重点和难点
重点：平方根、算术平方根、实数的概念及其计算.
难点：算术平方根、实数的综合运算和代数与几何的综合运用. 教学过程设计
一、复习基本概念
1.什么叫一个数a的平方根，怎样表示?什么叫数a的算术平方根?怎样表示?其中a可以分别表示什么数?
2.什么叫一个数a的立方根?怎样表示?其中a可以表示什么数?
3.任何实数都有平方根吗?都有立方根吗?
4.什么叫无理数?什么叫实数?实数与数轴的点有什么关系?
答：1.如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，表示为±a数.的非负的平方根叫做算术平方根，表示为a，其中a≥0.
2.如果一人数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根，表示为3a，其中a为任意实数.
3.正数和0有平方根，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，任何实数都有一个立方根.
4.无限不循环小数叫做无理数.有理数和无理数统称为实数.实数与数轴上的点一一对应.
二、例题例1 a为何值时，下列各式有意义?
(1)a2；(2)－a；(3)a+2；(4)3 a－1；(5)a+－a；(6)3 2a+1 a.
要判断a为何值时各式有意义，首先要弄清各式都表示什么，成立的条件是什么.
(1)，(2)，(3)式都表示算术平方根，(5)为两个算术平方根的和，各式被开方数都应为非负数，(4)，(6)式都表示立方根.
任何实数都可以进行立方运算，但应注意，当被开方数是分数时，分数的分母不能为0.
解 (1)因为a为任何实数时，a2≥0，所以a为任意实数时，a2有意义.
(2)因为要使－a有意义，必须使－a≥0，即a≤0，所以当a≤0时，－a有意义.
(3)因为要使a+2有意义，必须a+2≥0，即a≥－2，所以当a≥－2时，a+2有意义.
(4)因为3 a－1有意义，a－1可取任意实数，即a为任意实数，所以当a为任意实数时3a－1的意义.
(5)因为要使a有意义，必须使a≥0；要使－a有意义，必须使－a≥0，即a≤0，所以要使a+-a 有意义，a必须等于0.因此仅当a=0时，a+-a有意义.
(6)因为2a+1a是分式，当a≠0时有意义，所以当a≠0时，3 2a+1a有意义.
例2 计算：
(1)求5的算术平方根与2的平方根之和；(保留三位有效数字)
(2)｜2－5｜－｜5+2｜；(精确到0.01)
(3)｜a－π｜+｜2－a｜(2<a<π).(精确到0.001)
上列各题是进行实数运算.
问：计算各式的思路和方法是什么?
答：根据各题的要求分别取其近似值，转化为有理数进行计算.含有绝对值的式子应先
根据实数绝对值的意义，去掉绝对值的符号，再进行计算.
解 (1)因为5的算术平方根为5，2的平方根是±2.所以5的算术平方根与2的平方根之和为5±2.又因为5≈2.236，2≈1.414，所以
5+2≈2.236+1.414=3.65，
5－2≈2.236－1.414≈0.82.
(2)因为2＜5所以2－5=－(5－2).所以
｜2－5｜－｜5+2｜=5－2－5－2
=－22≈－2×1.414≈－2.83.
(3)因为2＜a＜π，所以
｜a－π｜=－(a－π)=π－a,｜2－a｜=－(2－a)=－2+a.
因此｜a－π｜+｜2－a｜=π－a－2+a=π－2≈3.142－1.414=1.73.
指出：
1.例2中的有关运算实际是进行实数运算，有理数的运算律和运算性质，在实数范围内仍然成立.
2.无理数的运算，可以转化为用相应的(或题目指定)近似有限小数进行，有的题目可根据问题的要求取其近似值，转化成有理数进行运算.
例3 (1)如图，已知正方形ABCD的面积是4a2，E，F，G，H分别为正方形四条边的中点，依次连结E，F，G，H得到一个正方形.求这个正方形的边长(用带根号的数表示).
(2)当a=4时，正方形EFGH的边长是多少?(精确到0.01).
分析：求正方形EFGH的边长，首先应求出正方形ABCD的边长.由于正方形的面积等于它的一边的平方，所以它的一条边是面积的算术平方根.
已知E，F，G，H是正方形ABCD的各边的中点，所以BF=BE,再在直角三角形EBF中，用勾股弦定理可求出EF的长.
解 (1)在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=DA,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
因为正方形ABCD的面积=AB2抽以AB2=4a2.
因为4a2＞0,a＞0，所以AB=4a2=2a.
同理，BC=2a.
因为E是AB中点，F是B中点，所以BE=12AB=a，BF=12BC=a. 在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2=a2+a2=2a2,所以
EF=2a2=2a(a＞0).
(2)当a=4时，EF=42≈4×1.414=5.66.
三、小结
1.在解答有关被开方数是字母的式子是否有意义的问题，要根据所涉及的概念的意义去考虑，如例1中的(1)，(2)，(3)，(5)各式都表示算术平方根，因此被开方数必须是非负数，从这个意义去考虑使式子有意义的字母的取值范围.
2.在进行实数运算时，可根据各题的要求分别取无理数的近似值，转化成有理数进行计算.对于含绝对值的式子，应先根据实数的绝对值的意义，去掉绝对值的符号再进行计算，有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然成立.
3.在代数中解答几何题，是代数和几何的综合，是数和形的结合，在解答过程中一定要结合图形的几何性质，把论证和计算结合起来.。