2020年江西省抚州市临川一中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|(x−2)(x+1)>0}则C R A=()A. {x|−1<x<2}B. {x|−1≤x≤2}C. {x|x<−1}∪{x|x>2}D. {x|x≤−1}∪{x|x≥2}2.已知复数z=1+i，则|z2−1|=()A. 5B. 2√5C. √5D. 23.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图的曲线部分是四分之一圆弧，该几何体的表面上的两点M，N在正视图上的对应点分别为A(中点)，B，则一质点自点M沿着该几何体的侧面绕行一周到达点N的最短路径长为()A. √(π+4)2+1B. √π2+1C. √4π2+1D. √374.函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图像经过四个象限的一个充分但不必要条件是()A. −43<a<−13B. −1<a<−12C. −65<a<−316D. −2<a<05.已知△ABC的三个顶点是A(−a,0)，B(a,0)和C(a2,√32a)，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 斜三角形6.下列函数图象不是轴对称图形的是()A. y=1xB. y=cosx，x∈[0,2π]C. y=√xD. y=lg|x|7.如图是一个2×2列联表，则表中m，n的值分别为()y 1 y 2 合计 x 1 a 35 45 x 2 7 b n 合计m73SA. 10，38B. 17，45C. 10，45D. 17，388. 一个圆经过以下两个点B(−3,0)，C(0,−2)，且圆心在y 轴上，则圆的标准方程为( )A.B. x 2+(y ±54)2=(134)2 C. x 2+(y −54)2=134D. x 2+(y −54)2=(134)29. 已知F 1(−8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|−|PF 2|=10，则P 点的轨迹是( )A. 双曲线B. 双曲线的一支C. 直线D. 一条射线10. 向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为( )A. 3518 B. 2536 C. 25144 D. 257211. 如图，直三棱柱ABC −A 1B 1C 1，AC ⊥BC ，且CA =CC 1=√2CB ，则直线BC 1与直线AB 1所成角的余弦值为( )A. √55B. √53C. 2√55D. √151512. 已知函数f(x)=k(x −lnx)−e x x，若f(x)只有一个极值点，则实数k 的取值范围是( )A. (−e,+∞)B. (−∞,e)C. (−∞,e]D. (−∞,1e ]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.f(x)=(2−x)e2x的单调递增区间是__________．)5的展开式中x4的系数为________．14.(x2+2x15.如图，江岸边有一观察台CD高出江面30米，江中有两条船A和B，由观察台顶部C测得两船的俯角分别是45o和30o，若两船与观察台底部连线成30o角，则两船的距离是__________．16.已知函数f(x)=axlnx−e x(其中e为自然对数的底数)存在唯一的极值点，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设f(x)=6cos2x−√3sin2x．(1)求f(x)的最大值及最小正周期；α的值．(2)若锐角α满足f(α)=3−2√3，求tan4518.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC，F为A1B1的中点．求证：(1)B1C//平面FAC1；(2)平面FAC1⊥平面ABB1A1．19.已知函数(1)当a=−1时，求f(x)的单调区间；(2)当x∈[1,e]时，求f(x)的最小值．20. 已知函数，f(x)=log 2x −x +1，(x ∈[2,+∞))，数列{a n }满足a 1=2,a n+1a n=2,(n ∈N ∗)．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式a n ； (Ⅱ)求f(a 1)+f(a 2)+⋯+f(a n ).21. 设M 点为圆C ：x 2+y 2=4上的动点，点M 在x 轴上的投影为N.动点P 满足2PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，动点P 的轨迹为E ． (Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)设E 的左顶点为D ，若直线l ：y =kx +m 与曲线E 交于两点A ，B(A,B 不是左右顶点)，且满足|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，求证：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1−√32ty =−√3+12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=√22． (1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P(1,−√3)，直线l与曲线C相交于两点A，B，求1|PA|+1|PB|的值．23.设函数f(x)=|x−a|．(1)当a=−1时，解不等式f(x)≥7−|x−1|；(2)若f(x)≤2的解集为[−1,3]，m+2n=2mn−3a(m>0,n>0)，求证：m+2n≥6．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查一元二次不等式的解法和补集及其运算.化简集合A，结合数轴即可求出结果．解：由(x−2)(x+1)>0得x>2或x<−1，∴A={x|x<−1或x>2}，∴C R A={x|−1≤x≤2}．故选B．2.答案：C解析：本题主要考查了复数的四则运算，复数的模，属于基础题.先求出z2−1，再根据复数模的求法即可求得结果．解：由复数z=1+i，得z2−1=(1+i)2−1=2i−1，所以|z2−1|=√22+(−1)2=√5．故选：C．3.答案：A解析：本题考查几何体的三视图和多面体和旋转体上的最短距离(折叠与展开图)，属中档题，关键是根据三视图确定几何体的形状与尺寸，并将空间最短路径问题转化为侧面展开图的直线距离问题解：如图是由三视图得到的几何体，是有一个棱长为2的正方体去掉以一条棱为轴的底面半径r=2的圆柱的四分之一得到，×2π×r=π，圆柱部分的底面弧长为14其展开图如图所示，是长为4+π，宽为2的矩形，质点自点M沿着该几何体的侧面绕行一周到达点N的最短路径长为展开图中M、N的直线距离为，故选A．4.答案：B解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的导数，研究函数的极值是解决本题的关键．据选择项只要判断当a<0时的函数的导数，研究函数的极值，结合函数的图象特点进行求解即可解：根据选择项只要判断当a<0时，即可，函数的导数f′(x)=ax2+ax−2a=a(x−1)(x+2)．若a<0，当x<−2或x>1，f′(x)<0，当−2<x<1，f′(x)>0，即当x=−2时，函数取得极小值，当x=1时函数取得极大值，要使函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图象经过四个象限，则有f(−2)<0，且f(1)>0，∴−65<a<−316，即函数的图象经过四个象限的充要条件为−65<a<−316，则对应的充分但不必要条件为(−65,−316)的真子集，则−1<a<−12满足条件，故选：B．5.答案：C解析：本题主要考查了两点间的距离公式以及勾股定理判断，熟练掌握相关知识点和方法是解决此类问题的关键．解：由坐标可知|AB|=2a，|AC|=a2)(√3a2)=√3a，|BC|=a2)(√3a2)=a，所以|AB|2=|AC|2+|BC|2，则△ABC是直角三角形，故选C．6.答案：C解析：解：对于A，y=1x为轴对称图形，其对称轴y=x，或y=−x，对于B：y=cosx在x∈[0,2π]为轴对称图形，其对称轴x=π，对于C：y=√x不是轴对称图形，对于D：y=lg|x|为轴对称图形，其对称轴x=0，故选：C．根据常见函数的图象即可判断本题考查了函数的图象和性质，属于基础题7.答案：B解析：本题考查2×2列联表，考查推理能力和计算能力，属于基础题． 由联表中数据即可求解．解：根据2×2列联表可知a +35=45，解得a =10，则m =a +7=17，又由35+b =73，解得b =38，则n =7+b =45，故选B ．8.答案：D解析：本题考查圆的标准方程的求法，训练了利用待定系数法求解圆的方程，是基础题．设圆心坐标为(0,b)，半径为r ，可得圆的方程为x 2+(y −b)2=r 2，把已知点的坐标代入，求解b 与r 值，则圆的方程可求．解：设圆心坐标为(0,b)，半径为r ， 则圆的方程为x 2+(y −b)2=r 2， 则{9+b 2=r 2(b +2)2=r 2, 解得b =54，r 2=16916，∴圆的标准方程为x 2+(y −54)2=(134)2． 故选D ．9.答案：D解析：F 1，F 2是两定点，|F 1F 2|=10，所以满足条件|PF 1|−|PF 2|=10的点P 的轨迹应为一条射线.故选D ．10.答案：C解析：根据几何概率的求法：镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、含面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解：观察这个图可知：阴影部分是一个小三角形，在直线AB 的方程为6x −3y −4=0中， 令x =1得A(1,23)， 令y =−1得B(16,−1)． ∴三角形ABC 的面积为S =12AC ×BC =12×(1+23)(1−16)=2536∵图中正方形的面积为4，∴飞镖落在阴影部分(三角形ABC 的内部)的概率是：25364=25144．故选：C ．11.答案：D解析：本题考查利用空间向量解决异面直线所成角的问题，向量夹角余弦的坐标公式，要清楚两异面直线的方向向量的夹角和这两异面直线所成角的关系．设CA =1，由条件及建立的空间直角坐标系，可求出点A ，B ，B 1，C 1几点的坐标，从而得到向量BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由向量夹角余弦的坐标公式即可求出cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >，从而便得出直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值．解：设CA =1，建立空间直角坐标系，如图，根据条件可求以下几点坐标：A(1,0，0)，B 1(0,1，√22)，B(0,0，√22)，C 1(0,1，0)；∴BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√22),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−1,1,√22)；∴cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1−12√1+24×√1+1+24=√1515．∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为√1515．故选D ．12.答案：C解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，是中档题． 求出函数的导数，令f ′(x)=0，解得x =1，或k =e x x，令ℎ(x)=e x x，根据函数的单调性结合ℎ(x)=e x x的图象，求出k 的范围即可． 解：函数f(x)=k(x −lnx)−e x x(k ∈R )，∴f ′(x)=(x−1)(kx−e x )x 2，x ∈(0,+∞)；令f′(x)=0，解得x =1，或k =e x x，设，则ℎ′(x)=e x x−e xx 2=e x (x−1)x 2，由ℎ′(x)>0，得x >1； 由ℎ′(x)<0得0<x <1．当x =1时，ℎ(x)取得极小值ℎ(1)=e ． 作出函数ℎ(x)=e x x的图象如图所示：结合函数ℎ(x)的图象，则k <e 时，函数f(x)只有一个极值点x =1；k=e时，函数f(x)也只有一个极值点x=1，满足条件；k>e时不满足条件，舍去．综上所述，实数k的取值范围是(−∞,e]．故选C．13.答案：(−∞,32)解析：f′(x)=−e2x+2(2−x)e2x=e2x(3−2x)，因为e2x>0恒成立，所以令f′(x)=e2x(3−2x)>0得x<32.即f(x)的单调递增区间为(−∞,32)．本题考察导数的基本计算和函数单调性的求解，属于基础题．14.答案：40解析：本题考查二项展开式的特定项与特定项的系数．求出二项展开式的通项，计算可得结果．解：根据题意得，T r+1=C5r(x2)5−r(2x)r=C5r2r x10−3r，令10−3r=4，得r=2，∴(x2+2x)5的展开式中x4的系数为C5222=40．故答案为40．15.答案：30米解析：本题给出实际应用问题，求观察台旁边两条小船间的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．利用直线与平面所以及俯角的定义，化为两个特殊直角三角形的计算，再在底面△DAB中用余弦定理即可求出两船距离．解：如图，设C处观测小船A的俯角为45°，设C处观测小船B的俯角为30°，连接DA、DB，Rt△CDA中，∠CAD=45°，可得DA=CD=30米，Rt△CDB中，∠CBD=30°，可得DB=√3CD=30√3米，在△DAB中，DA=30米，DB=30√3米，∠ADB=30°，由余弦定理可得：AB2=DA2+DB2−2DA·DBcos30°=900．∴AB=30米(负值舍去)．故答案为30米．16.答案：解析：本题考查了利用导数求函数的极值问题，求出函数的导数，由已知条件结合零点存在定理进行判断即可．解：f′(x)=a lnx+a−e x=a(lnx+1)−e x，令f′(x)=0，即a(lnx+1)−e x=0，解得x=0，∴f(x)在x=0处存在极值为，f(0)=−e0=−1<0，又∵函数存在唯一的极值点，∴只需要f′(x)=a(lnx+1)−e x<0即可，∵e x在R上恒大于0，则只需a<0即可，∴a的取值范围为，故答案为．−√3sin2x17.答案：解：(1)f(x)=61+cos2x2=3cos2x −√3sin2x +3 =2√3(√32cos2x −12sin2x)+3=2√3cos(2x +π6)+3故f(x)的最大值为2√3+3；最小正周期T =2π2=π(2)由f(α)=3−2√3得2√3cos(2α+π6)+3=3−2√3， 故cos(2α+π6)=−1又由0<α<π2得π6<2α+π6<π+π6，故2α+π6=π，解得α=512π． 从而tan 45α=tan π3=√3．解析：本题考查三角函数的图象与性质即三角函数的恒等变换，解决问题的关键是：(1)利用三角函数的二倍角公式及公式asinx +bcosx =√a 2+b 2sin(x +θ)化简为只含一个角一个函数名的三角函数，利用有界性及周期公式求出最大值最小正周期． (2)列出关于α的三角方程，求出α，求出正切值．18.答案：解：(1)证明：如图所示取AB 的中点E ，连接CE ，EB 1，∵F 为A 1B 1的中点，∴C 1F//CE ，AF//B 1E ，且C 1F ∩AF =F ，CE ∩B 1E =E ， ∴面B 1CE//平面FAC 1，∵B 1C ⊂B 1CE ， ∴B 1C//平面FAC 1(2)证明：直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1A ⊥面A 1C 1B 1，∵C 1F ⊂面A 1C 1B 1，∴A 1A ⊥C 1F ， ∵AC =BC ，F 为A 1B 1的中点，∴A 1B 1⊥C 1F ，且AA 1∩A 1B 1，∴C 1F ⊥面AA 1C 1B 1B ，C1F⊂面A1C1B1，∴平面FAC1⊥平面ABB1A1．解析：(1)如图所示取AB的中点E，连接CE，EB1，可得面B1CE//平面FAC1，即B1C//平面FAC1 (2)只需证明C1F⊥面AA1C1B1B，即可得平面FAC1⊥平面ABB1A1．本题考查了线面平行、面面垂直的判定，关键是空间位置关系的判定与性质的应用，属于中档题．19.答案：解：(1)当a=−1时，，∴f′(x)=x−1x =x2−1x(x>0)，由f′(x)>0，解得x>1；由f′(x)<0，解得0<x<1，故f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,+∞)．(2)f′(x)=x−(a+1)+ax =x2−(a+1)x+ax=(x−1)(x−a)x(x>0)，当a≤1时，f(x)在[1,e]上为增函数，∴f(x)min=f(1)=92−a；当1<a<e时，f(x)在(1,a)上为减函数，在(a,e)上为增函数，；当a≥e时，f(x)在[1,e]上为减函数，∴f(x)min=f(e)=e22−(a+1)e+5+a，综上所述，当a≤1时，f(x)min=92−a；当1<a<e时，；当a≥e时，f(x)min=e22−(a+1)e+5+a解析：本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，属于中档题．(1)求出导函数，由f′(x)>0解得单调递增区间，由f′(x)<0解得单调递减区间；(2)求出导函数，由f′(x)=0的两根的的大小，分类讨论，求得函数在[1,e]上的单调性，得到最小值．20.答案：解：(I)∵a n+1a n =2，a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列∴a n=2×2n−1=2n；(II)由(I)可得f(a n)=log22n−2n+1=(n+1)−2n，∴f(a1)+f(a2)+⋯+f(a n)=[2+3+⋯+(n+1)]−(2+22+⋯+2n]=n(n+3)2−2n+1+2．解析：(I)根据a n+1a n=2，a 1=2，利用等比数列的定义可得数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列{a n }的通项公式a n ；(II)由(I)可得f(a n )=log 22n −2n +1=(n +1)−2n ，利用等差数列与等比数列的求和公式，可得结论．本题考查等比数列的定义，考查等差数列与等比数列的求和公式，属于中档题．21.答案：解：(Ⅰ)设P(x,y)，M(x 0,y 0)，则N (x 0,0)，∴PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−x,−y )，MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−y 0)， ∵2PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x 0=x ，y 0=2√3y3， 代入圆的方程得，x 2+43y 2=4， 即x 24+y 23=1，故动点P 的轨迹E 的方程为：x 24+y 23=1；证明：(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知，D (−2,0)， ∵|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗ −DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴DA ⊥DB ，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，由{y =kx +m x 24+y 23=1，消去y 得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0， ∴x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，…①∴y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+mk (x 1+x 2)+m 2，…② 由DA ⊥DB 得：y 1x 1+2×y 2x 2+2=−1， 即−y 1y 2=x 1x 2+2(x 1+x 2)+4，…③由②③得：(k 2+1)x 1x 2+(2+mk )(x 1+x 2)+m 2+4=0，…④ 把①代入④并整理得：7m 2−16km +4k 2=0，得： (7m −2k )(m −2k )=0，即m =27k 或m =2k ，故直线l 的方程为y =k (x +27)，或y =k (x +2)， 当直线l 的方程为y =k (x +27)时，l 过定点(−27,0)；满足Δ>0当直线l 的方程为y =k (x +2)时，l 过定点(−2,0)，这与A ，B 不是左右顶点矛盾． 故直线l 的方程为y =k (x +27)，过定点(−27,0)．解析：本题考查了轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，难度较大．(Ⅰ)设P(x,y)，M(x 0,y 0)，由已知条件建立二者之间的关系，利用坐标转移法可得轨迹方程； (2)由向量条件结合矩形对角线相等可得DA ，DB 垂直，斜率之积为−1，再联立直线与椭圆方程，得根与系数关系，逐步求解得证．22.答案：解：(1)因为，所以，将，ρ2=x 2+y 2，代入上式，可得x 2+2y 2=8，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2+2y 2=8； 因为直线l 的参数方程为{x =1−√32ty =−√3+12t, 消去参数t 得x +√3y +2=0，所以直线l 的普通方程为x +√3y +2=0； (2)易知点P(1,−√3)在直线l 上，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程， 可得5t 2−12√3t −4=0，设A,B 两点所对应的参数分别为t 1,t 2， 则t 1+t 2=12√35，t 1t 2=−45， 于是1|PA|+1|PB|=|PA|+|PB||PA||PB|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=4√2.解析：本题考查的知识点是椭圆的极坐标方程，直线的参数方程，直线参数方程中参数的几何意义，难度中档．(1)利用三种方程的转化方法，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，可得5t 2−12√3t −4=0，利用参数的几何意义，求1|PA |+1|PB |的值．23.答案：解：(1)a =−1时，f(x)=|x +1|，f(x)≥7−|x −1|，即|x +1|+|x −1|≥7，故{x ≥1x +1+x −1≥7或{−1<x <1x +1+1−x ≥7或{x ≤−1−x −1+1−x ≥7, 解得：x ≥72或x ≤−72，故不等式的解集是(−∞,−72]∪[72,+∞)；(2)令f (x )≤2，即|x −a|≤2，解得−2+a ≤x ≤2+a ， 由f (x )≤2的解集是[−1,3]，易得a =1，m +2n =2mn −3， ∵m >0,n >0，由均值不等式可得m +2n ≥2√2mn ， 当且仅当m =2n =3时“=”成立， 故(m+2n 2)2≥(m +2n)+3，∴m +2n ≥6．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．(1)通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可； (2)求出a 的值，根据基本不等式的性质证明即可．。