三、填空题 Ⅲ（本题共有 3 小题，每题 8 分）
13. 甲、乙两数的最小公倍数是 170，甲、丙两数的最小公倍数是 204，乙、丙两数的最小公倍数是 60， 那么甲、乙、丙三个数的和最小是 __________．
14. 算式 1 8 15 22 L 2010 的乘积末尾有 _______个连续的 0．
以 d 3 ， 约数方面考虑，甲既要是 170 的约数，又要是 204 的约数，所以甲是 170,204 34 的约数；类
似的，乙是 10 的约数，丙是 12 的约数．另一方面，甲、乙的最小公倍数是 170，要求甲有约数 17，乙有约数 5，且甲、 乙至少一个是 2 的倍数；甲、丙的最小公倍数是 204，说明丙一定是 12 的倍数，只能是 12．于是甲、乙、丙三个数的 和最小是 17 5 2 12 39 ．
1 58
个 5，第二次除掉了 395 10 1 12 35
个 5，最后还剩两个因数 5．说明 1 8 15 22 L 2010 含有 58 12 2 72 个
约数 5，由于其中含有的约数 2 是足够多的，因而乘积末尾连续的 0 的个数就等于约数 5 的个数，是 72 个．
15. 答案：28．解答：由题意可得： 4 5 6 L n （ n 3 ）的末两位是 00，因而是 100 的倍数．即
数 171 是 9 的倍数．
9. 答案： 469．解答： A
2
2
2
210 2010 2 3 5 7 67
A ，所以 A 最小是 7 67 469 ．
10. 答案：3456．解答：要使乘积最大，每个合数应该尽量小，
27 4 4 4 6 9 ，乘积最大是
3
4 6 9 3456 ．
11. 答案： 40、22、18、30 或 24、．解答：甲含有约数 2、 5 的情况与否，会影响最终的约数个数，分情况讨论，可得约
6. 两个自然数的最大公约数是 然数的和是 ________．
100，最小公倍数是 20100 ，这两个自然数的差是 6400，那么这两个自
7. 已知 a 是质数， b 是偶数，且
2
a b 2010 ，则 a b _______．
8. 萱萱家的门牌号是一个三位回文数 的门牌号是 ________．
整除性质，说明 a 1 2 3 2 是 9 的倍数， a 1 ．
（ 2）答案： 36．解答：由 10 20 b 1 a 2 10 20 63 ab 是 99 的倍数，所以 ab 36 ．
6. 答案： 7000．解答：设这两个自然数分别为 100x 和 100y （ x y ），则 x, y 1 ， x, y xy 20100 100 201，
x y 6400 100 64 ．只能是 x 67 ， y 3 ，两个自然数分别是 6700 和 300，它们的和是 7000．
7. 答案： 4012．解答： b 是偶数，说明
a 也是偶数，又 a 是质数，所以 a 2
2，
b
2010
a
2
2006 ， a b
4012 ．
8. 答案： 171．解答： ab 和 ba 都是质数，说明 ab 只能是 13、31、17、71、 37、 73、 79、 97，其中只有 17 对应的三位
（ 2） 23.4& 56.7& ________．
3. 把 2 化成循环小数，小数点后第 7
2010 个数字是 _______．
4. 2010 的全部约数有 _______个，这些约数的和数是 _______．
5. （ 1）如果 a123b 能被 72 整除，则 ab _______． （ 2）如果 2010a2010b2010 能被 99 整除，则 ab _______．
15. 已知和数 1 2 3 L n 的个位数为 6，十位数为 0，百位数不为 0．则 n 最小是 ________．
第十一讲 数论综合练习
1. 答案：（1） 441；（2） 300．解答：（1）
12321 1 256 2 64 3 16 2 4 1 441 ；（2）短除法． 4
2.
答案：（1）4；（2）2
4 n n 3 是 100 2
的倍数，所以 4 n n 3 是 200 的倍数．又因为 4 n 、 n 3 两数互质，因而两个数中必有一个数是 8的倍数，也
一个数是 25 的倍数．于是有四种情形：
84 n
8n 3
、
25 n 3
25 4 n
84 n
、 25 4 n
最小 n 的值分别是 28、 171、196、 203．所以所求的最小值是 28．
4. 答 案 ： 16 、 4896 ． 解 答 ： 2010 2 3 5 67 ， 约 数 有 1 1 1 1 1 1 1 1 16 个 ， 约 数 之 和 是
1 2 1 3 1 5 1 67 4896 ．
5. （ 1）答案： 12．解答：要被 72 整除，要求同时是 8 和 9 的倍数．由 8 的整除性，说明 23b 是 8 的倍数， b 2 ．由 9 的
14. 答案： 72．解答：乘数 15、50、85、 L 、2010 中含有因数 5，都除以 5 得到 3、10、17、 L 、402；其中 10、45、 L 、
395 还含有因数 5，都除以 5，得到 2、9、16、L 、79．其中 30、65 里还含有因数 5．我们第一次除掉了
2010 15 35
aba ，其中 ab 和 ba 都是质数，且 aba 是 9 的倍数，那么萱萱家
二、填空题 Ⅱ（本题共有 4 小题，每题 7 分）
9. 三个自然数 A 、 210、2010 的乘积是一个完全平方数，则 A 最小是 _______．
10. 将 27 表示成一些合数的和，这些合数的积最大是 _______．
11. 自然数甲有 10 个约数，那么甲的 10 倍的约数个数可能是 __________________________ ．
12. 小高家的电话号码是一个六位数， 其中左边三个数字是由小到大的 3 个连续自然数， 右边三个数字
都相同， 6 个号码的数字之和恰好等于末尾的两位数，这个电话号码是
_______．
数个数有五种可能： 40、22、18、 30 和 24．例如： 29 、
4
4
4
9
2 5 、 2 7 、 2 7 、 7 的 10 倍分别有 22、18、24、30、
40 个约数．
12. 答案： 789333．解答：设六位数为 abcddd ，则 dd a b c 3d ，即 11d b 1 b b 1 3d ， 8d 3b ．所
8 n 3 必有
、 25 n 3
．每种情形对应的
第十一讲 数论综合练习
【学生注意】 本讲练习满分 100 分，考试时间 70 分钟．
一、填空题 Ⅰ（本题共有 8 小题，每题 6 分）
1. 进位制的换算：
（ 1） 12321 ( _______) 10 ； 4
（ 2）
75 ( _______)
5．
10
2. 求整数部分与小数部分 : （ 1） 3.3332 2 ________；
9
．解答：（1）用 10 3
替代 3.333 进行计算，可估算 3.3332
2 是略大于 4 的数；（2）只要关心 23.4& 56.7&
的小数部分即可，小数部分之和为
47 99
2 1 9
，所以结果为
2． 9
3. 答案： 4．解答： 2 0.285714
& & ，是循环小数，循环节长度是 6．小数点后第 2010 个数字是 4． 7