指数函数及对数函数重难点根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n .②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n幂的有关概念：①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *， 2）)0(10≠=a a ，n 个 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ），2）r a aa sr sr ,0()(>=⋅、∈s Q ），3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用.例 求值（1）328（2）2125- （3）()521- （4）()438116-例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)(1)43a a ⋅ （２）a a a （３）32)(b a -（４）43)(b a + （５）322b a ab + （6）4233)(b a +例.化简求值（1）012132322510002.0827）（）（）（）（-+--+----（2）21153125.0525.2311.0)32(256)027.0(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-- （3）=⋅÷⋅--313373329a a a a（4）211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=（5）=指数函数的定义：①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数，1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞，3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数.提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2xy =-（4）x y π= （5）2y x = （6）24y x =（7）x y x = （8）(1)xy a =- （a ＞1，且2a ≠）例：比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ) 1.70.3与0.93.1例：已知指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.思考：已知0.70.90.80.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c .例 如图为指数函数xxxxd y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则d c b a ,,,与1的大小关系为（A ）d c b a <<<<1 （B ）c d a b <<<<1（C ）d c b a <<<<1 （D ）c d b a <<<<11、函数2121x x y -=+是（ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、既奇又偶函数D 、非奇非偶函数 2、函数121xy =-的值域是（ ） A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞3、已知01,1a b <<<-,则函数xy a b =+的图像必定不经过（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限例．求函数xx y +⎪⎭⎫ ⎝⎛=221的值域和单调区间例 若不等式3axx22->(31)x +1对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为______. .f (x )=]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈--∞∈---,1 231,( 2311x x x x ，则f (x )值域为______. 考查分段函数值域.【解析】 x ∈(－∞,1］时,x －1≤0,0<3x －1≤1, ∴－2<f (x )≤－1x ∈(1,+∞)时，1－x <0,0<31－x <1,∴－2<f (x )<－1 ∴f (x )值域为(－2,－1］ 【答案】 (－2,－1］ 例、已知2)(22-+=+--x x xxe e ee f ，则函数)(x f 的值域是_____________例 点（2，1）与（1，2）在函数()2ax b f x +=的图象上，求()f x 的解析式例.设函数11()2x x f x +--=，求使()f x ≥的x 取值范围．例 已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数。

（Ⅰ）求,a b 的值；（Ⅱ）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围；对数的概念：①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数.1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ，2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log 记作N ln ②基本性质：1）真数N 为正数（负数和零无对数），2）01log =a ， 3）1log =a a ， 4）对数恒等式：N aNa =log例 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1）54=645 （2）61264-=（3）1() 5.733m= （4）12log 164=- （5）10log 0.012=- （6）log 10 2.303e =例：求下列各式中x 的值（1）642log 3x =-（2）log 86x = （3）lg100x = （4）2ln e x -= 分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x .练习：将下列指数式与对数式互化，有x 的求出x 的值 .（1）125-=（2）x = （3）1327x =（4）1()644x= （5）lg 0.0001x = （6）5ln e x =例 利用对数恒等式N a N log a =，求下列各式的值：(1)5log 4log 3log 354)31()51()41(-+(2)2log 2log 4log 7101.0317103-+(3)6lg3log 2log 100492575-+(4)31log 27log 12log 2594532+-③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M NMa a alog log log -=； 3）∈=n M n M a na (log log R ）.④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1）1log log =⋅a b b a ， 2）.log log b mnb a na m =对数函数的运算规律例．用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式：（1）log a xyz ； （2）23log a x y z．解：（1）log a xyzlog ()log a a xy z =-log log log a a a x y z =+-；例．求下列各式的值：（1）()752log 42⨯； （2）5lg 100 ．解：（1）原式=7522log 4log 2+=227log 45log 2725119+=⨯+⨯=； （2）原式=2122lg10lg10555== 例．计算：（1）lg14-21g18lg 7lg 37-+； （2）9lg 243lg ；(3)(4)lg2·lg50+(lg5)2(5)lg25+lg2·lg50+(lg2)2（2）23log ax yz3log (log a a x y z =-23log log log a a a x y z =+112log log log 23a a a x y z =+-．解：（1）18lg 7lg 37lg214lg -+-2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)=⨯--+-⨯ lg 2lg72lg72lg3lg72lg3lg 20=+-++--=；（2）253lg 23lg 53lg 3lg 9lg 243lg 25===；例．计算：（1） 0.21log 35-； （2）4492log 3log 2log 32⋅+．解：（1）原式 =0.251log 3log 3555151553===； （2） 原式 = 2345412log 452log 213log 21232=+=+⋅．例．求值：(1)；(2) ； (3) (3).例．求值(1) log 89·log 2732(2)(3)(4)(log 2125+log 425+log 85)(log 1258+log 254+log 52)对数函数性质典型例题例．比较下列各组数中两个值的大小：（1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； 解：（1）对数函数2log y x =在(0,)+∞上是增函数，于是2log 3.4<2log 8.5；（2）对数函数0.3log y x =在(0,)+∞上是减函数，于是0.3log 1.8>0.3log 2.7；2、比较大小 （1）212log _________)1(log 22++a a (2)πa log ________)1(,log >a e a3若02log )1(log 2<<+a a a a ，则a 的取值范围是 （ ）（A ）)1,0( （B ）)21,0( （C ）)1,21( （D ）),1(+∞ 4 已知7.01.17.01.1,8.0log ,8.0log ===c b a ，则c b a ,,的大小关系是（ ）（A ）c b a << （B ）c a b << （C ）b a c << （D ）a c b << 例 比较下列各组数中的两个值大小： (1)log 23.4，log 28.5(2)log 0.31.8，log 0.32.7(3)log a 5.1，log a 5.9(a ＞0且a ≠1)例 如何确定图中各函数的底数a ，b ，c ，d 与1的大小关系？提示：作一直线y ＝1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数.∴0＜c ＜d ＜1＜a ＜b例 求下列函数的定义域.(1) y= (2) y=ln(a x -k ·2x)(a ＞0且a ≠1，k ∈R).例．求函数)32(log 221--=x x y 的单调区间解：设u y 21log =，322--=x x u ，由0>u 得0322>--x x ，知定义域为),3()1,(+∞⋃--∞又4)1(2--=x u ，则当)1,(--∞∈x 时，u 是减函数；当),3(+∞∈x时，u 是增函数，而u y 21log =在+R 上是减函数)33(212log --=∴x x y 的单调增区间为)1,(--∞，单调减区间为),3(+∞例 函数20.50.5log log 2y x x =-+的单调减区间是________。