第 十二 次课 2学时本次课教学重点： 特征函数的定义与性质 本次课教学难点：常见分布的特征函数的计算 本次课教学内容： 第四章 特征函数通过前面的讨论,我们已经知道如何去计算随机变量的数字特征，数字特征一般由各阶矩决定，随着阶数的增高，矩的计算总是较麻烦的，另一方面，由于随机现象错综复杂，一个随机现象往往需要多个随机变量来描述，甚至需要讨论一列随机变量依某种意义的收敛，从前面的讨论我们就看到，只利用分布函数和密度函数，求独立随机变量的和的分布都是较麻烦的（要计算密度函数的卷积），要解决复杂的多的问题，没有更优越的数学工具是不行的，在学习数学分析时我们就知道富里埃变换能把卷积运算变成乘法运算，它在数学中是非常重要而有效的工具，把富里埃变换引入到概率之中来，就产生了“特征函数”，可以毫不夸张地说，概率统计自从引进了特征函数以后，就把理论的研究推进到一个新的台阶。

第一节特征函数定义与性质 一、定义本章中1-=i定义4.1.1设ξ是定义在概率空间),,(P F Ω一个随机变量，分布函数为)(x F ，称()ξϕit Ee t =，∞<<∞-t （4.1）为ξ的特征函数。

有时也称为分布函数)(x F 的特征函数。

由定义()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎰∑∞∞-∞=dxx f e p e t itx k k ita k1ϕ（4.2） 由1=itxe，故（4.2）的级数或积分是绝对收敛，即ξ,,v r 的特征函数总存在。

由（4.2）看出，ξ..v r 的f c .是其概率函数或密度函数的富里埃变换，计算特征函数则需要进行复数求和或作实变量复值函数的积分。

作积分时有时会用到复变函数中的残数理当ξ～f （x ） 当论，但有时也可由欧拉公式ξξξt i t e it sin cos +=得()()()ξξϕξξt iE t E Ee t it sin cos +==即把求()t ϕ变成求两个实随机变量函数的期望。

注：因为对任意的，总是有界连续函数，故皆为有限数。

因此任意随机变量的特征函数总是存在的。

例1 求下列随机变量的特征函数（1）()1~==a P ξξ；（2）()kn k q P k n k P -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ξξ~，n k ≤≤0（3）()()λλξλξ-==e k k P P k!,~，k =0，1，…解：（1）()iat e t =ϕ （2）()()nit Pe q t +=ϕ（3）()()1-=ite e t λϕ例2 求下列随机变量的特征函数。

（1）[]1,0~U ξ；（2）()λξE ~；（3）()1,0~N ξ解：（1）()ite dx e t it itx110-==⎰ϕ（2）()()()⎰⎰⎰∞--∞+--∞===0dx e dx e dx e e t x it x it x itx λλλλλϕ为了易求出上面的积分，我们用如下结论： 对复数ib a z +=，只要0>a ，就有()rx r rzxr z r d e t zt dx ex Γ==⎰⎰∞--∞--t 1zx 0t 101，（0>r ） 故()()111-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-Γ=λλλϕit it t（3）()()⎰⎰∞∞---∞∞--==dxeeee t it x t x itx 22212222121ππϕ积分()⎰∞∞---dx e it x 22是复变函数22z e-，在复平面上，沿平行于实轴的直线t y -=（或it z -=）的积分，由闭路积分理论知，此积分等于同一函数沿实轴的积分⎰∞∞--=π222dx e x故()∞<<-∞=-t et t ,22ϕ同样可得，服从()2,~σξa N 时，则其特征函数为()∞<<-∞=-t et t iat ,222σϕ二、特征函数的性质性质1 ()t ϕ在()∞∞-∈,t 上一致连续，且()()10=≤ϕϕt ，()()t t ϕϕ=-，()t ϕ表示()t ϕ 的共轭。

性质2特征函数()t ϕ具有非负定性。

到此我们已看到特征函数较分布函数具有更加优良的分析性质：一致连续，非负定性及有界性。

可以证明：若实变元复值函数()t ϕ非负定，且()10=ϕ，则()t ϕ是某随机变量的特征函数。

性质3 设)(t ϕ是ξ的特征函数，则b a +=ξη的特征函数为()()at e t ibtξηϕϕ=证明略。

例3. ()2,~σμηN ，求()t ηϕ。

记22t e -=-=σμηξ，故()()22222t t i t ti eee t σμσμηϕ--==性质4设21,ξξ的f c .分别为()()t t 21,ϕϕ，又21,ξξ相互独立，则21ξξη+=的f c .为()()()t t t 21ϕϕϕη=证：()()()()()()t t Ee Ee e Ee Ee Eet t i t i t i t i t i ti 21212121ϕϕϕξξξξξξηη=====+用归纳法可证，若n ϕϕ,,1 分别为相互独立的n v r ξξ,,,.1 的f c .为()t k ϕ，则n ξξζ++= 1的f c .为()()∏==nk k t t 1ϕϕζ该性质之逆不真。

三、特征函数与矩的关系性质5设ξ..v r 的n 阶矩存在，则ξ的特征函数()t ϕ的k 阶导数)()(t k ϕ存在，且对任意n k ≤，有()()k k k E i ξϕ=0即()()kk kiE 0ϕξ=证：k xi k k itx k k x e x i e dt d ==+，而()⎰∞∞-∞<dx x P x k ，对n k ≤∴ ()()()dx x P e dtd itx kkk ⎰∞∞-=0ϕ0=t=⎰∞∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛itx kk e dt d ()dx x P t 0=()kk k k i dx x P x i ξE ==⎰∞∞- 性质5说明，可利用v r .的f c .的各阶微分来计算，v r .的各阶矩，这显然比用分布密度的积分来求矩阵方便得多。

例4 ()2,~σμξN ，求ξξD E ,解：已知()222t t i et σμξϕ-= ∴()()22212t t i et i t σμσμϕ--='()()[]2221222t t i et i t σμσσμϕ---=''得()μϕi ='0，()()220μσϕ+-=''∴()μϕξiE 0'=，()22220μσϕξ+=''=i E ，2σξ=D作业布置： P290 T1，2，3第 十三 次课 2学时本次课教学重点：反演公式及唯一定理内容的理解 本次课教学难点：反演公式及唯一定理的证明 本次课教学内容：第一节 一维特征函数的定义及其性质 四、反演公式及唯一定理由特征函数的定义看出，随机变量的特征函数由其分布函数完全确定，反之也能证明分布函数可由其特征函数完全确定。

即f d .与f c .是一一对应的，由f c .求f d .的式子叫“逆转公式”。

定理4.2.1(反演公式)设随机变量ξ的分布函数和特征函数分别为)(x F 和()t ϕ，对于)(x F 得任意连续点1x 和2x （∞<<<∞-21x x ），有 dt t ite e x F x F TTitx itx T )(21lim)()(2121ϕπ⎰---∞→-=- （4.2.1） 令02,22121>-=+=x x h x x a ，则（4.2.1）可改为 dt t e tth h a F h a F TT itaT )(sin 1lim)()(ϕπ⎰--∞→=--+推论1（唯一性定理）任意一个随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定。

由上可知()x F ξ ()x ξϕ，因而f c .也可用来描述随机变量的统计规律。

推理2 若随机变量ξ的特征函数()t ϕ于R 上绝对可积，则ξ为具有密度函数)(x f 的连续型随机变量，且⎰∞∞--=dt t e x f itx )(21)(ϕπ对取值整数的随机变量，有类似结论定理4.2.2 设ξ为取整数值及0的随机变量，其概率函数为{} ,3,2,1,0,1,2,3,---===k k P p k ξ，其特征函数为itkk kep t -∞-∞=∑=)(ϕ，则⎰--=ππϕπdt t ep itkk )(21证明略第 十四 次课 3学时本次课教学重点：相互独立的随机变量和的特征函数 本次课教学难点：多维随机变量特征函数及其性质 本次课教学内容：第二节 多维随机变量的特征函数 一、定义及例定义4.4.1设是()21,ξξ二维随机变量，其分布函数为),(21x x F ，21,t t 为任意实数，记⎰⎰∞∞-∞∞-++==),(][),(21)()(2122112211x x dF eeE t t x t x t i t t i ξξϕ),(21t t ϕ称为()21,ξξ的特征函数。

当()21,ξξ为离散型变量时：∑∑+=rst t i s r p et t ),(),()(212211ξξϕ，其中{},),(2211s r x x P s r p ===ξξ 当()21,ξξ为连续型变量时2121)(21),(),(2211dx dx x x f et t x t x t i ⎰⎰∞∞-∞∞-+=ϕ例1 设二维随机变量()21,ξξ的分布列为{}{}{}{}611,1,611,1,311,1,311,121212121=-=-===-==-=====ξξξξξξξξP P P P 计算()21,ξξ的特征函数 解：)sin cos 3(cos 3161613131),(112)()()()(2121212121t i t t e e e e t t t t i t t i t t i t t i +=+++=--+--+ϕ 例2二维随机变量()21,ξξ服从二维正态分布，它的密度函数为则它的特征函数为)2(21)(212222212121212211),(t t t t t t i eet t σρσσσμμϕ++-+=。

特别当1,02121====σσμμ时)2(2121222121),(t t t t et t ++-=ρϕ二、二维随机变量特征函数的性质2112221)[()1(21exp{121),(σμρρσπσ----=x y x f ]})())((22222211σμσμσμρ-+---y y x性质1随机变量()21,ξξ的特征函数为),(21t t ϕ，则()()()()()()()()2211212121212121,00,4,)3;,,)2;1)0,0(,,,1)0,0()1t t t t t t t t t t t t R t t ξξϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ===--=≤∈=；）于实平面上一致连续；且对于任意例3：如例2中，得222222221211112121)t ,0()(,)0,()(t it t it et e t t σμξσμξϕϕϕϕ--====由唯一性定理得，)(),(21t t ξξϕϕ分别为正态分布),(211σμN 及),(222σμN 的特征函数，又一次证明了二维正态分布的边缘分布也是正态分布的结论性质2：设2121,,,b b a a 皆为常数，二维随机变量()21,ξξ的特征函数为),(21t t ϕ，则随机变量),(222111b a b a ++ξξ的特征函数为),(2211)(2211t a t a eb t b t i ϕ+性质 3 两个二元分布函数),(),,(211211x x F x x F 恒等的充分必要条件是他们对应的特征函数),(211t t ϕ和),(212t t ϕ恒等性质4 随机变量1ξ与2ξ相互独立的充分必要条件为()21,ξξ的特征函数)()(),(212121t t t t ξξϕϕϕ⋅=性质5 设随机变量()21,ξξ的特征函数为),(21t t ϕ，b a a ,,21为任意常数，则b a a ++=2211ξξη的特征函数为()),(21t a t a e t itb ϕϕη=特别（1）1ξ与2ξ相互独立时，有())()(2121t a t a et itbξξηϕϕϕ⋅=（2）对于0,121===b a a ，则21ξξη+=的特征函数()),(t t t ϕϕη= 定理4.2.2 设()21,ξξ为二维随机变量，()2121,k kE ξξ存在，则其特征函数),(21t t ϕ的偏导数21212121)(),(k k k k t t t t ∂∂∂+ϕ存在且()2121,k k E ξξ=02121)()(21212121),(==++-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂t t k k k k k k t t t t iϕ第三节 相互独立的随机变量和的特征函数定理4.3.1设n ξξξ ,,21为n 个独立随机变量，令∑==ni i1ξη，则∏==ni t t i1)()(ξηϕϕ例1 设n ξξξ ,,21为n 个独立且同为服从两点分布的随机变量，求∑==ni i1ξη的特征函数。