近世代数的基础知识初等代数、高等代数与线性代数都称为经典代数(Classical algebra),它的研究对象主要就是代数方程与线性方程组)。

近世代数(modern algebra)又称为抽象代数(abstract algebra),它的研究对象就是代数系,所谓代数系,就是由一个集合与定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。

近世代数主要包括:群论、环论与域论等几个方面的理论,其中群论就是基础。

下面,我们首先简要回顾一下集合、映射与整数等方面的基础知识,然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。

3.1 集合、映射、二元运算与整数3.1.1 集合集合就是指一些对象的总体,这些对象称为集合的元或元素。

“元素a 就是集合A 的元”记作“A x ∈”,反之,“A a ∉”表示“x 不就是集合A 的元”。

设有两个集合A 与B,若对A 中的任意一个元素a (记作A a ∈∀)均有B a ∈,则称A 就是B 的子集,记作B A ⊆。

若B A ⊆且A B ⊆,即A 与B 有完全相同的元素,则称它们相等,记作B A =。

若B A ⊆,但B A ≠,则称A 就是B 的真子集,或称B 真包含A,记作B A ⊂。

不含任何元素的集合叫空集,空集就是任何一个集合的子集。

集合的表示方法通常有两种:一种就是直接列出所有的元素,另一种就是规定元素所具有的性质。

例如:{}c b a A ,,=;{})(x p x S =,其中)(x p 表示元素x 具有的性质。

本文中常用的集合及记号有:整数集合{}Λ,3,2,1,0±±±=Z ;非零整数集合{}{}Λ,3,2,10\±±±==*Z Z ; 正整数(自然数)集合{}Λ,3,2,1=+Z ;有理数集合Q,实数集合R,复数集合C 等。

一个集合A 的元素个数用A 表示。

当A 中有有限个元素时,称为有限集,否则称为无限集。

用∞=A 表示A 就是无限集,∞<A 表示A 就是有限集。

3.1.2 映射映射就是函数概念的推广,它描述了两个集合的元素之间的关系。

定义1 设A,B 为两个非空集合,若存在一个A 到B 的对应关系f,使得对A 中的每一个元素x,都有B 中唯一确定的一个元素y 与之对应,则称f 就是A 到B 的一个映射,记作y=f(x)。

y 称为x 的像,x 称为y 的原像,A 称为f 的定义域,B 称为f 的定值域。

定义2 设f 就是A 到B 的一个映射(1) 若A x x ∈∀21,与21x x ≠均有)()(21x f x f ≠,则称f 就是一个单射。

(2) 若B y ∈∀均有A x ∈使y x f =)(,则称f 就是满射。

(3) 若f 既就是单射又就是满射,则称f 就是双射。

3.1.3 二元运算3.1.3.1 集合的笛卡儿积由两个集合可以用如下方法构造一个新的集合。

定义3 设A,B 就是两个非空集合,由A 的一个元素a 与B 的一个元素b 可构成一个有序的元素对(a,b),所有这样的元素对构成的集合,称为A 与B 的笛卡儿积,记作B A ⨯,即{}B b A a b a B A ∈∈=⨯,),(。

用笛卡儿积还可定义一个集合中的运算。

定义4 设S 就是一个非空集合,若有一个对应规则f,对S 中每一对元素a 与b 都规定了一个唯一的元素S c ∈与之对应,即f 就是S S S →⨯的一个映射,则此对应规则就称为S 中的一个二元运算,并表示为c b a =•,其中“•”表示运算符,若运算“•”就是通常的加法或乘法,b a •就分别记作b a +或ab 。

由定义可见,一个二元运算必须满足:(1) 封闭性:S b a ∈•;(2) 唯一性:b a •就是唯一确定的。

定义5 设S 就是一个非空集合,若在S 中定义了一种运算•(或若干种运算+,•,⨯等),则称S 就是一个代数系统,记作(S,•)或(S,+,•)等。

3.1.3.2 二元关系我们经常需要研究两个集合元素之间的关系或者一个集合内元素间的关系。

定义6 设A,B 就是两个集合,若规定一种规则R:使对A a ∈∀与对B b ∈∀均可确定a 与b 就是否适合这个规则,若适合这个规则,就说a 与b 有二元关系R,记作aRb ,否则就说a 与b 没有二元关系R,记作b R a '。

3.1.2.3 等价关系与等价类等价关系就是集合中一类重要的二元关系。

定义7 设～就是集合A 上的一个二元关系,满足以下条件:(1) 对A a ∈∀,有a ～a ; (反身性)(2) 对A b a ∈∀,,有a ～b b ⇒～a ; (对称性)(3) 对A c b a ∈∀,,,有a ～b 与b ～c a ⇒～c 。

(传递性)则称～为A 中的一个等价关系。

子集{}a x A x x a ~,∈=即所有与a 等价的元素的集合,称为a 所在的一个等价类,a 称为这个等价类的代表元。

例如:设n 就是一取定的正整数,在整数集合Z 中定义一个二元关系)(mod n ≡如下: )()(mod b a n n b a -⇔≡,这个二元关系称为模n 的同余(关系),a 与b 模n 同余指a 与b 分别用n 来除所得的余数相同。

同余关系就是一个等价关系,每一个等价类记作{})(mod ,n a x Z x x a ≡∈=称为一个同余类或剩余类。

3.1.4 整数在近世代数中整数就是最基本的代数系。

这里仅重述有关整数的基本性质与常用概念。

3.1.4.1 整数的运算整数的运算包括加、减、乘、除、开方、乘方、取对数等,这些运算及其性质这里不再赘述。

在整数运算中有以下两个基本的定理:带余除法定理 设Z b a ∈,,0≠b ,则存在唯一的整数q ,r 满足: b r r qb a <≤+=0,。

当0=r 时,称a 能被b 整除,或b 整除a ,记作a b ;当0≠r 时,称a 不能被b 整除。

只能被1与它本身整除的正整数称为素数;除1与本身外,还能被其它整数整除的正整数称为合数。

算术基本定理 每一个不等于1的正整数a 可以分解为素数的幂之积:s s p p p a εεεΛ2121=,其中s p p p ,,,21Λ为互不相同的素数,),2,1(,s i Z i Λ=∈+ε。

除因子的次序外分解式就是唯一的。

此分解式称为整数的标准分解式。

3.1.4.2 最大公因子与最小公倍数设Z b a ∈,,不全为0,它们的正最大公因子记作),(b a ,正最小公倍数记作[]b a ,。

设+∈Z b a ,,由算术基本定理可将它们表示为:s x s x x p p p a Λ2121=,s y s y y p p p b Λ2121=, 其中s p p p ,,,21Λ为互不相同的素数,i x ,),,2,1(s i y i Λ=为非负整数,某些可以等于0。

令:{}),,2,1(,m in s i y x i i i Λ==α,{}),,2,1(,m ax s i y x i i i Λ==β,则s s p p p b a αααΛ2121),(=,[]s s p p p b a βββΛ2121,=,且有 []b a b a ab ,),(•=。

最大公因子还有以下重要性质:最大公因子定理 设Z b a ∈,,b a ,不全为0,),(b a d =,则存在Z q p ∈,使d qb pa =+。

3.1.4.3 互素若Z b a ∈,,满足1),(=b a ,则称a 与b 互素。

关于整数间的互素关系有以下性质:(1)Z q p b a ∈∃⇔=,1),(,使1=+qb pa 。

(2)bc a 且c a b a ⇒=1),(。

(3)设Z b a ∈,,p 为素数,则有:a p ab p ⇒或b p 。

(4)1),(=b a ,1),(1),(=⇒=bc a c a 。

(5)c a ,c b 且c ab b a ⇒=1),(。

(6) 欧拉函数:设n 为正整数,)(n ϕ为小于n 并与n 互素的正整数的个数,小于n 并与n 互素的正整数的集合记为:{})(2,,,1n n r r P ϕΛ=。

若n 的标准分解式为:s s p p p n εεεΛ2121=, 则)11()11)(11()(21sp p p n n ---=Λϕ。

3.2 群近世代数的研究对象就是代数系,最简单的代数系就是在一个集合中只定义一种运算,群就是由一个集合与一个二元运算构成的代数系,它在近世代数中就是最基本的一个代数系。

3.2.1 群的基本概念定义1 设G 就是一个非空集合,若在G 上定义一个二元运算•满足:(1)结合律:对G c b a ∈∀,,,有)()(c b a c b a ••=••。

则称G 就是一个半群,记作),(•G 。

若),(•G 还满足:(2)存在单位元e 使对G a ∈∀,有a e a a e =•=•;(3)对G a ∈∀有逆元1-a ,使e a a a a =•=•--11,则称),(•G 就是一个群。

当二元运算“•”为通常的加法时,),(•G 称为加法群或加群;当二元运算“•”为通常的乘法时,),(•G 称为乘法群或乘群。

定义中条件(2)可改为:有一个左单位元L e (或右单位元R e ),使a a e L =•(或a e a R =•),对G a ∈∀成立。

因为由此可推出R R L L e e e e =•=。

定义中条件(3)可改为:对G a ∈∀,有一个左逆元1-L a (或右逆元1-Ra ),使e a a L =•-1(或e a a R =•-1)成立。

因为由此可推出11111111)()(--------=•=••=••=•=R R R L R L L L a a e a a a a a a e a a 。

定理1 半群),(•G 就是群的充要条件就是:对G b a ∈∀,,方程b ax =与b ya =在G 中均有解。

定理2 半群),(•G 就是群的充要条件就是左、右消去律都成立:y x ay ax a =⇒=≠,0,y x ya xa a =⇒=≠,0。

如果半群中含有单位元,则称为含幺半群。

如果群),(•G 适合交换律:对G b a ∈∀,,有a b b a •=•,则称G 为可换群或阿贝尔(Abel)群。

通常把群的定义概括为四点:封闭性、结合律、单位元与逆元。

如果一个群G 就是个有限集,则称G 就是有限群,否则称为无限群。

G 的元素个数G 称为群的阶。

元素的倍数与幂定义为:4434421Λan a a a na 个+++=,43421Λan n a a a a 个•••=,n 为正整数,并规定e a =0。

且有: nab nb a b na ==)()(,m n m n a a a +=,nm m n a a =)(,当ba ab =时有n n n b a ab =)(。