的直径。对每一个这样的划分 作如下黎曼和：
n
S() f ( i )xi，i [xi1, xi ], i 1
如果当 0 时极限 lim S() 存在，且与划分 的具 0
体选取无关，也与 i 的选取无关，则称函数 f (x) 在 [a,b]
上是黎曼可积的，并称上述极限为 f (x) 在 [a,b] 上的定积分，
T2
t tn1
n
n
(3) 作和： S si v( i )ti
i 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi 1
n
S (4) 取极限：记
t
max {
1in
ti
},
lim
t 0
i 1
v( i
)ti
二、定积分的定义
设 f (x) 是定义在 [a,b] 上的有界函数，在 [a,b] 上任意取分 点a x0 x1 xn b，我们称之为区间 [a,b] 的一个划分， 记作 ，同时记 xi xi xi1，x m1iaxn {xi}，称之为划分
S( ') S(), S( ') S().
证明： 不是一般性，设 ' 就比 多一个分点 x '，且
不妨设 x ' (xk1, xk ) ，则
n
k 1
n
S() Mixi Mixi Mk xk Mixi
i 1
i 1
ik 1
k 1
S( ') Mixi (x ' xk1) sup f (x)
记作：
b
f (x)dx
，
即
a
b
n
a
f (x)dx
lim S()
0
lim
0 i1
f (
i )xi.
f (x) 在 [a,b] 上黎曼可积也简称可积。
注：在上面的定义中我们假定 a b，如果 a b， 则作如下约定
b
a
a f (x)dx b f (x)dx.
积分上限
b a
n
f ( x)dx lim x0 i 1
若是匀速直线运动， 路程 = 速度
时间.
(1) 分割: T1 t0 t1 ti1 ti tn T2,
ti ti ti1, (i 1,2, , n)
(2) 近似： 任取 i [ti1, ti ],
si v( i )ti (i 1,2, , n)
T1
t1 t2
i
t ti1 i
分点为：a x0 x1 x2 xi1 xi xn b,
xi xi xi1 ( i 1,2, n ).
（2）近似：任取 i [ xi1 , xi ],
y
Si f (i )xi ( i 1,2, ,n )
y f (x)
f ( ) i
（3）作和：
n
n
S Si f ( i )xi
割圆术
割之弥细，所失弥少；割之又割， 以至于不可割，则与圆周，体而 无所失矣.
——刘徽
阿基米德（Archimedes， 约前287—212 ）
球体、圆柱体的体积和表面 积的计算公式，提出了抛物 线所围成的面积和弓形面积 的计算方法。最著名的还是 求阿基米德螺线（ρ=α×θ ）所围面积的求法，这种螺 线就以阿基米德的名字命名。
i 1
x[ xk1 ,x ']
n
(xk x ') sup f (x) Mixi
问题：求曲边梯形的面积。
y f (x)
a0
b
基本思想：分割---〉求和
f x0
f x2 f x1
f x3
x0 a x1
x2
x3 x4 b
n 8 的情形
n 16 的情形
n 32 的情形
一、引例
例1. 曲边梯形的面积
y
y f (x)
oa
bx
(1) 分割: 将区间[a,b]任意分为 n个子区间，
与达布小和。
显然有
n
S() f (i )xi S(), i [xi1, xi ], i 1, 2, , n. i 1
现设 , ' 都是区间 [a,b] 的划分，如果 的每一个 分点都包含在 ' 之中，则称 ' 是 的加细划分， 记作 ' 。
引理7.1.1 设 f (x) 是定义在区间 [a,b] 上的有界函数， , ' 是 [a,b] 的两个划分，且 ' ，则
在 [0,1] 上的可积性。
解：对于 [0,1] 的任何一个划分 : 0 x0 x1 xn 1，
每一个小区间 [xi1, xi ] 上既有有理数又有无理数，
如果每一个 i 都取有理数，则
n
n
n
S() D(i )xi 1• xi (xi xi1) 1,
i 1
i 1
i 1
如果每一个 i 都取无理数，则
i 1
i 1
a o
b x x1
x 2
3
xi1•xi
x
（4）取极限：
记
x
max {
1 i n
xi
},
i
n
S lim x0 i 1
f ( i )xi
例2. 变速直线运动的路程
设物体作直线运动, 已知速度 v v(t)是时间间隔 [T1,T2 ]上的连续
函数，且 v(t) 0 , 计算在这段 时间内物体所经过的路程.
f (i )xi
积分下限
被
积
函
数
积
被 积 式
分 变 量
[a,b]叫做积分区间
“ ”语言定义：
设函数 f (x) 在区间 [a, b] 上有界，如果存在常数 I
使得对任意的正数 总存在一个正数 使得对于区
间 [a, b] 的任何分划 ；a x0 x1 xn b，
只要
x
max
1i n
对于 [a,b] 的任何一个划分 : a x0 x1
xn b，记
Mi sup f (x),
x[ xi1,xi ]
mi
inf
x[ xi1,xi ]
f
(x),
i 1, 2, , n
n
S() Mixi , i 1
n
S() mixi , i 1
S()与 S() 分别称为划分 的达布（Darboux）大和
n
n
S() D(i )xi 0 • xi 0，
i 1
i 1
因此
lim S()
0
依赖于
i
的选取，
D(x) 在 [0,1] 上不可积。
三、黎曼可积的条件
设 f (x) 是定义在 [a,b] 上的有界函数，记
M sup f (x),
m inf f (x),
x[ a ,b ]
x[a,b]
xi
，则不论
i
在 [ xi1, xi ] 中怎
样选取，总有
n
f (i )xi I
i 1
成立，则称 I 是 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分，
记作：b f (x)dx a
比较：定积分与不定积分有何区别？
例7.1.1
讨论Dirichlet函数
1, D(x) 0,
x为有理数， x为无理数