求极值与最值的方法1 引言在当前的数学教育中，求初等函数的极值与最值占有比较重要的位置，由于其解法灵活，综合性强，能力要求高，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，能综合运用各种数学技能，灵活选择合理的解题方法。

下面我们将要介绍多种求初等函数的极值和最值的方法。

2 求函数极值的方法极值定义：设函数()f x 在0x 的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点x 0()x x ≠，均有0()()f x f x <，则称0()f x 是函数错误!未找到引用源。

的一个极大值；同样如果对此邻域内任一点x 0()x x ≠，均有错误!未找到引用源。

，则称0()f x 是函数错误!未找到引用源。

的一个极小值。

函数的极大值与极小值统称为函数的极值。

使函数取得极值的点0x ，称为极值点。

2.1 求导法判别方法一：设()f x 在点0x 连续，在点错误!未找到引用源。

的某一空心邻域内可导。

当 x 由小增大经过错误!未找到引用源。

时，如果：(1)'()f x 由正变负，那么0x 是极大值点；(2)错误!未找到引用源。

由负变正，那么0x 是极小值点； (3)错误!未找到引用源。

不变号，那么0x 不是极值点。

判别方法二：设()f x 在点0x 处具有二阶导数,且'()0f x =,''()0f x =。

(1)如果''()0f x <，则()f x 在点0x 取得极大值；(2)如果''()0f x >，则()f x 在点0x 取得极小值。

判别方法三：设()f x 在点0x 有n 阶导数，且0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n0)(0)(≠x fn ，则：（1）当为偶数时，)(x f 在0x 取极值，有0)(0)(<x f n 时，)(x f 在0x 取极大值，若0)(0)(>x fn 时，)(x f 在0x 取极小值。

（2）当为奇数时，)(x f 在0x 不取极值。

求极值方法：（1）求一阶导数，找出导数值为0的点（驻点），导数值不存在的点，及端点；（2）判断上述各点是否极值点例 1 求函数32()69f x x x x =-+的极值。

解法一 ： 因为32()69f x x x x =-+的定义域为错误!未找到引用源。

, 且'2()31293(1)(3)f x x x x x =-+=--, 令'()0f x =，得驻点11x =, 23x =；在错误!未找到引用源。

内，错误!未找到引用源。

，在错误!未找到引用源。

内，'()0f x <,(1)4f =为函数()f x 的极大值。

解法二： 因为错误!未找到引用源。

的定义域为错误!未找到引用源。

， 且错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

令错误!未找到引用源。

,得驻点错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

又因为错误!未找到引用源。

,所以，错误!未找到引用源。

为)(x f 极大值。

错误!未找到引用源。

,所以错误!未找到引用源。

为)(x f 极小值． 例 2 求函数错误!未找到引用源。

的极值．解 因为错误!未找到引用源。

的定义域为(,)-∞+∞,且()f x 在(,)-∞+∞上连续，所以1'31322()(1)(1)33(1)f x x x x --=--=≠-，当1x =时, '()f x 不存在,所以错误!未找到引用源。

为()f x 的可能极值点．在(,1)-∞内, '()0f x >；在(1,)+∞内, '()0f x <, ()f x 在错误!未找到引用源。

处取得极大值(1)2f =。

例3 求函数45)(x x f =的极值。

解 令0)(='x f ，得驻点0=x ，且0)0()0()0(='''=''='f f f ，但120)0(4=f >0 所以有极小值0.2.2 利用拉格朗日乘数法求条件极值“乘数法”所得到的点只是可能是极值点，到底是否是极值点要依据拉格朗日函数F 的二阶微分符号来判断。

例4 求函数m n p u x y z =在条件x y z a ++=(0,0,0)m n a >>>下的极值。

解 先求ln ln ln ln ()v u m x n y p z x y z a λ==+++++=令'''000x y y mF x nF y nF y λλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎨⎪⎪=+=⎪⎩得驻点为(,,)ma na pa p m n p m n p m n p ++++++ 又由2x m F XX-=''，2y m F yy -=''，2zm F ZZ -=''，''''''0xy xz yz F F F ===，),,(2z y x F d p =⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-)()()(22222z y x d z md y m d x m 0<P故p 为v 即u 的极大值点，此时()m n p m n pp m n pm n p a u m n p ++++∣=++ 2.3 不等式求极值应用n 个正数的算术平均数大于等于n 个正数的几何平均数这个基本不等式来处理，基本不等式是222a b ab +>，222a b ab +<。

例5 当x为何值，函数y = 分析：函数解析式中被开方数含自变量的两项与倒数相联系，尝试用算术平均数和几何平均数的关系来处理。

解 649)49(212222=•≥+xx x x224912x x∴+≥ 2249618x x++≥式子两边都是非负数，分别去算术平均根，得y =≥=∴23min =y 此时36±=x 2.4 利用二次方程判别式的符号来求初等函数的极值例6 若2221x y z ++=，试求函数22u x y z =-+的极值。

解1(2)2y x z u =+-，带入2221x y z ++=得2221(2)14x x z u z ++-+=即22225(42)(844)0x z u x z u zu +-++--=这个关于x 的二次方程要有实根，则要222(42)20(844)0z u z u zu ∆=--+--≥即224950u zu z -+-≤ （2） 解关于u 的二次不等式得：2211z u z z ≤≤-≤≤ 显然，求函数u 的极值，相当于求211u z z ≤-≤≤或211u z z ≥-≤≤ （3） 的极值。

由（2）得 224950u zu z -+-= （4） 这个关于z 的二次方程要有实数根，必须221636(5)0,u u ∆=--≥即290u -≥解此关于u 的二次不等式，得33u -≤≤。

所以u 的极大值是3，极小值为3-。

2.5 利用标准量代换法求函数极值求某些有多个变量的条件极值时，我们可以选取某个与这些变量有关的量做标准量，称其余为比较量，然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来，这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了。

如果给定条件是几个变量之和的形式，一般设这几个量的算术平均数为标准量。

例7 设x y z a ++=，求222u x y z =++的极小值。

解 取33x y z a ++=为标准量，令3a x α=-，3ay β=-， 则3az αβ=++（α、β为任意实数），从而有 222222()()()2223333a a a a u αβαβαβαβ=-+-+++=+++22222()33a a αβαβ=++++≥（等号当且仅当α=β=0即13x y z ===时成立）。

所以u 的极小值为23a 。

2.6 配方法对于解析式中主体部分为二次三项式的函数，一般都可以用此方法，中学大部分求极值的问题都是采用这用方法。

例8 求函数21cos cos 3y x x =-+的极值。

分析：不难看出函数y 的解析式中分母是以cos x 为主元的二次三项式，则可以用配方法来解决这道题。

解 令2cos cos 3u x x =-+，则22211111cos cos 3cos cos 3(cos )4424u x x x x x =-+=-+-+=-+，1y u =取极大值的条件是u 取最小值，1y u=取极小值的条件是u 取最大值；2max 1(cos )2u x ⇔-取最大值cos 1x ⇒=- 则y 的极小值为15；2min 1(cos )02u x ⇔-= 1cos 2x ⇒= 则y 的极大值为411。

2.7 柯西不等式求初等函数的极值柯西不等式的一般形式为： 对任意的实数12,,,n a a a 及12,,,n b b b 有222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 或22211nni iii i a bb==≤∑∑，其中等号当且仅当1212nna a ab b b ===时成立。

例9 已知,a b 为正常数，且02x π<<,求xb x a y cos sin +=的极小值。

解 利用柯西不等式，得()22sin cos x x =+)2x x ≥+=时；即 x =时，于是x x ≥+再由柯西不等式，sin cos ab x x ⎫+⎪⎭)sin cos ab x x x x ⎛⎫≥++ ⎪⎝⎭222233a b ⎛⎫≥=+ ⎪⎝⎭ 等号成立也是当且仅当3baarctg x =时。

从而x bx a y cos sin +=322233a b ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭， 于是x bx a y cos sin +=的极小值是322233a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭。

3 求初等函数最值的方法3.1 判别式法若函数()y f x =可化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程:2()()a y x b y x +()0c y +=。

在()0a y ≠时,由于,x y 为实数,则有2()4()()0b y a y c y ∆=-≥,由此可以求出y 所在的范围,确定函数的最值。

例10 实数,x y 满足224545x xy y -+=,设22s x y =+,则maxmin11s s +的值为_______。

解 由题意知, 415xy s =-,故224()(1)5xy s =- 又22x y s += ∴22,x y 是方程224(1)05t st s -+-=的两个实根.222439324(1)405255s s s s ∴∆=--=-+-≥解得1010133s ≤≤，即min max 101013,3s s == maxmin1185s s ∴+= 3.2 函数的单调性法当自变量的取值范围为一区间时，常用单调性法来求函数的最值。