二面角
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二面角
一、 二面角及二面角的平面角
1 、半平面—— 平面的一条直线把平面分为两部分， 其中的每一部分都叫做一个半平面。
α
l
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二面角
2、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半
α
平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
记作：
3、二面角的平面角
ι
β
P
以二面角的棱上任意一点为端点，
B
在两个半平面内分别作垂直于棱的两
面角P-A2B-C的正切值。
解：取AB 的中点为E，连PE，OE
P
∵O为 AC 中点， ∠ABC=90º
∴OE∥BC且 OE BC12
OE⊥AB ,∵PO⊥平面ABC ∴PE⊥AB
E
A
B
∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角
在Rt△PBE中，BE
在Rt△POE中， OE ∴ tan PEO 2
，，1222PPBO=1，PE12
3 2
O
C P
2
∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为
2 2
E
O
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二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
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二面角
练习1：已知Rt△ABC在平面α内，斜边AB在30º的二面 角α-AB-β的棱上，若AC=5，BC=12，求点C到平面β的距 离CO。
P
l
A
D
B
C
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解 ∵P是面PAB与PCD的一个公共点，
D Nβ
∴CO=a， DO= a ， PC
又∵∠MPN=60º
a， P2D
a 2
C
∴CD=PC a 2 OC2 OD2 CD2.
∴∠COD=90º
P aO
因此，二面角的度数为90º
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二面角
例3．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是
底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= ，求二
P
γ
思考: ∠ A`P`B` 与∠ APB是否相等? 相等(利用等角定理)
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β
B` A`
B A
α
注： 二面角的平面角的特点：
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
A
O
3）角的边都要垂直于二面角的棱
l
B
A
O B
(1) 10:01
(2)
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二面角
二.作二面角的平面角的常用方法
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
Bα
CA
D
β
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平面与平面垂直的判定定理
1.面面垂直的定义：如果两个面所成的二面角是直二
面角，称两个平面垂直.记作： .
b
2.判定定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么
经过这条直线的平面与已知平面垂直.
书面语言：
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b b
.
3.如图:Rt△ABC中, ∠C=Rt∠, PA⊥平面ABC,图中有哪 些平面互相垂直?
1.求证：平面PAC 平面PBC.
(2)请找(作)出不互相垂直 P 的
D B
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如图所示, △ABC为正三角形,EC⊥平面 ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M为EA的中点,
请作出平面EAD和平面BAC所成的二 面角的平面角 E
D
C
B
F
G
A
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思考题 （2001年高考题）
在 α 、 β 内 引 射 线 PM 、 PN ， 且 ∠ MPN=60º
∠BPM=∠BPN=45º ，求此二面角的度数。
解：在PB上取不同于P 的一点O，
在α内过O作OC⊥AB交PM于C，
C Mα
在β内作OD⊥AB交PN于D，
APO
B
连CD，可得
∠COD是二面角α-AB-β的平面角 设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º
A
条射线，这两条射线所成的角叫作二
α
面角的平面角.如图
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注：二面角的平面角取值范围是: [ 00,1800]
直二面角：平面角是直角的二面角.
思考: 一个平面垂直于二面角 的棱，并与两半平
面 分 别 相 交 于 射 线 PA 、 P B 垂足为P，则∠APB是二面
ι
P`
γ`
角 l 的平面角吗？是
如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD
中，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，AD= 1 2
SA=AB=BC=1，求：
S
面SCD与面SBA所成
B
C
二面角的正切值。
2
2
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A
D
E
练习1
如图，四棱锥P—ABCD的底面是正方形， PA⊥平面ABCD，2·PA=AB，求平面PAB与 平面PCD所成的二面角的正切值的大小。
PMC是二面角P-AB-C的 A
C
平面角.
在VABC中，CM=ACgsin 60 3.
M
在VPAB中，PM PAgsin 60 3,
B
又Q PC 3,VPCM是正三角形.
PMC 60.二面角P-AB-C的大小为60.
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二面角
例2.如图，已知P是二面角α-AB-β棱上一点，过P分别
结 ②点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③点P在二面角内 —垂面法
ι
α
β
p
A
B
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pβ
α
B
A
ι
β
B
p
O
α
ι
A
④ cos sVAOB PO 面AOB
sVPAB
⑤ 向量法
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二面角
作业:
A为二面角α– CD –β的棱CD上一点，AB 在平面α内且与棱CD成45º角，又AB与平 面β成30º，求二面角α– CD – β的大小。
ι
α
β
p
A
B
B
ι
pβ
β
B
p
α
A O
α
ι
A
④ cos sVAOB PO 面AOB
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sVPAB
⑤ 向量法
二面角
基础练 习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P 直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
C
∠ACP
A
B
2、已知P为二面角 内一 点，且P到两个半平面的距离都等
C
α
β
O
AD
B
O
练习2：已知棱长为1正方体ABCD-A1B1C1D1,求二面角C1BD-B1的余弦值的大小。
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二面角
一、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半
α
平面所组成的图形叫做二面角
ι
二、二面角的平面角
β
1、定义
小 2、求二面角的平面角方法 ①点P在棱上 —定义法
ι αβ
γP
B A
β
B
p
于P到棱的距离的一半，则这个二
面角的度数是多少？ 60º
O
Aα
ι
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例1.已知三棱锥P-ABC,VABC与VPAB是正三角形，
AB 2 3, PC 3, 求二面角P-AB-C的平面角的大小.
解：取AB的中点为M ,
P
连PM ,CM .
Q PA PB, AB PM.
Q AC BC,CM AB.