m n
容易看出来对任意 A = (aij)mn 都有
A a ij E ij ,
i 1 j 1
可见 Eij, i =1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n 这mn个矩阵组成 V 的一组 基, 自然 dim Mm,n(R) = mn.
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例2 求实数域 R 上全体 n 阶对称矩阵所构成的线 性空间 U 的一组基和维数. 解 容易看出实数域上全体 n 阶对称矩阵构成构成的 矩阵集合 U 是 V = Mm,n(R) 的子空间. 由对称矩阵定义不难得到如下的矩阵为 U 的基:
n ( x y , , x y )T ( ) ( xi yi ) i 1 1 n n i 1 X Y ( ) ( ) n (k ) k xi i (kx1 , , kxn )T kX k ( ). i 1 所以 V 同构于 Fn.
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综合例题
例1 实数域上全体 mn 实矩阵所构成的集合 V = Mm,n(R)在矩阵 的加法及数乘两种运算下构成实线性空间. 给出 Mm,n(R) 的一组 基, 并求dim Mm,n(R). 解 如果用 Eij 来表示 (i, j) 位置上的元素为 1, 其余位置上的元 素为 0 的mn矩阵, 容易证明这 mn 个矩阵作为 V 的向量组是 线性无关的.
f ( x ) ( x a1 )( x a 2 )( x a n ),
试证多项式组 f i ( x ) f ( x ) /( x ai ) ( i 1,2, , n) 是Rn[x]的一组基. 解 我们知道 dim Rn[x] = n, 只需要证明 fi(x) (i =1, 2,…, n) 线性 无关就可以了. 设 k1 f 1 ( x ) k i f i ( x ) k n f n ( x ) 0,
因为 P 可逆, 所以 R(A) 与 R(B) 同构.
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例3 F 上的 n 维线性空间 V 同构于 Fn. 证明 设 1 , , n 为 V 的一组基, V, 在 1 , , n 下的坐 标 X 是唯一确定的, 所以可定义 V 到 Fn 的映射 使得
( ) X , 显然 是双射, 且若 ( ) X ( x1 , , xn )T , ( ) Y ( y1 , , yn )T . 则
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(4) 同构的线性空间有相同的维数. 证明 由(3) 1,, n 线性无关 (1),, (n) 线性无关, 而 1,, n, 线性相关 (1),, (n), ( ) 线性相关, 所以 1,, n 是 V1 的基 (1),, (n) 是 V2 的基. 定义4 设 A, B 是两个非空集合, 是 A 到 B 的一个双射, 则 对每个 bB, 都有唯一的一个 aA, 使得 (a) = b, 故可定义 映射 1：B A，1 (b) a , 并称 -1 为 的逆映射. (5) 同构的逆映射还是同构映射. 证明 设 是 V1 到 V2 的同构映射, 1 , 2 V2 , 有 ( 1 ( 1 2 )) 1 2 ( 1 ( 1 )) ( 1 ( 2 )) ( 1 ( 1 ) 1 ( 2 ))
f i (ai ) 0, f i (a j ) 0 ( i j; i , j 1,2, , n).
由上式, 当 x = ai 时, 得到 ki fi(ai) = 0. 故 ki = 0 (i = 1, 2,…, n), 所以 f1(x), f2(x), …, fn(x) 线性无关, 从而 4 构成 Rn[x] 的基.
E i ,i Fi , j E i , j E j ,i i j; 1 i j n.
所以 dim U = 1+2+…+n = n(n+1)/2.
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例3 Rn[x] 是实数域 R 上次数小于 n 的多项式与零多项式所组 成的线性空间. 给定 n 个互不相同的数 a1, a2,, an, 令
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性质 (1) (0) (0 ) 0 ( ) 0
( ) ((1) ) (1) ( ) ( )
(2) 1 , 2 , , n V , k1 , k 2 , , kn n n ) k1 (1 ) k2 ( 2 ) k n ( n )
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例8. 设W 1和W 2是线性空间V的两个非平凡子空间，证明存在 aV，满足a W 1 ，a W 2 。 证明： 取 W 1, W 2 ， 若 W 2 或 W 1 则找到了满足条件的元素。 下面考虑 W 2 且 W 1 的情形 + 既不属于W 1 也不属于W 2
行 A 1 , 2 , , n 1 , 2 , , n B
则存在可逆矩阵 P 使得 PA = B, 故
n i 1 n i 1
P1 1 , P 2 2 , , P n n , P ki i ki i
进一步, (1) 若 A 中不同元素在 B 中有不同的象, 即若 a1 ,a2 A, 由 (a1 ) (a2 ) a1 a2 , 则称 为单射. (2) 若 B 中每个元素均有原象, 即若 (A) = {(a)|aA} = B, 则称 为满射. (3) 若 既是单射, 又是满射, 则称 是双射. 例1 设 A 是一个集合, A 上的映射 id : A A, id(a) = a 是 A 到 A 的一个双射, 称为 A 上的恒同映射, 亦记为 IA .
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例9. 设W 1,W 2 ,…, Ws是n维线性空间V的s个非平凡子空间，证明存 在 aV，满足a W i （i=1,2,…,s）。 证法2. 对s进行归纳，s=2时结论成立 假设对s-1个非平凡子空间结论成立， 则存在 V，且 W i （i=1,2,…,s-1） 若 W s则已找到符合条件元素，考虑 W s的情形 存在 W s，则对所有k F， k + W s 若k 1,k 2 F，且k 1≠ k 2，则k 1 + 与k 2 + 不会同时属于W i （i=1,2,…,s）。 取s个不同的值 k 1,k 2 ,…,k s, 则k i + 中必至少有一 个不属于任何一个W i （i=1,2,…,s）
第19讲，综合复习与线性空间的同构 关于线性空间的基本要求（一） 1. 判断给定的集合关于所定义的运算是不是线性空间 2. 熟练掌握线性空间中向量的线性相关、无关的概念与 判定, 知道线性空间同构的概念和相关定理. 3. 求给定线性空间的基和维数 4. 求不同基之间的过渡矩阵、求向量在指定基下的坐标 5. 知道子空间的交、和与直和定义及其直和的等价命题 6. 知道如何求子空间的交空间以及和空间的基与维数, 熟练掌握维数公式, 知道如何求子空间的补空间.
例7. 证明：所有n阶方阵空间Mn是线性子空间空间L 1和L 2的 直和，其中L 1是对称方阵子空间，L 2是反对称方阵子空间。 例8. 设W 1和W 2是线性空间V的两个非平凡子空间，证明存在 aV，满足a W 1 ，a W 2 。 例9. 设W 1,W 2 ,…, Ws是线性空间V的s个非平凡子空间，证明 存在 aV，满足a W i （i=1,2,…,s）。
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定义 设 V1 与 V2 是数域 F 上的两个线性空间, 如果存在从 V1 到 V2 的一个双射满足： (1) , V1 , 有 ( ) ( ) ( ), (2) V1 , k F , 有 (k ) k ( ), 则称 是同构映射, 称 V1 与 V2 是同构的. 例2 设矩阵 A 经过一系列初等行变换变为 B, 即:
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(3) 设 1,, n 是 V1 中向量, 则 V2 中向量 (1),, (n) 线 性相关 1,, n 线性相关.
证明 因为 是双射, 所以V1, () = 0 = 0, 所以 k11 kn n 0 (k11 kn n ) 0 k1 (1 ) kn ( n ) 由线性相(无)关的定义得证.
证明 对 n 归纳. 当 n = 1 时, 即定义1(2). 由定义1和归纳假 设有
(k11 k2 2 k n n )
(k11 k n1 n1 ) kn ( n ) k1 (1 ) kn1 ( n 1 ) kn ( n )
例4 证明 W = {f(x)|f(1) = 0, f(x)Rn[x]} 关于多项式加法和 数乘也作成线性空间, 求 W 的一组基和维数. 解 在例3中取 ai = i, (i =1, 2,…, n), 则 f1(x)W, 而其它多项 式 fi(x) (i = 2,…, n) 属于 W, 由此我们知道了 dim W = n-1, 且 fi(x) (i = 2,…, n) 就是 W 的一组基. 例5 设 W1, W2 是线性空间 V 的两个子空间, 则 W1 和 W2 的并是 V 的一个子空间 W1 包含 W2, 或 W2 包含 W1. 证明 充分性是显然的. 现证必要性: 用反证法: 若不然, 存在元素 u 属于 W1, 但不属于 W2, 元素 v 属于 W2 但不 属于 W1. 则 u+v 不属于 W1 与 W2 的并, 与 W1 和 W2 的 并是 V 的一个子空间矛盾.
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线性空间的同构
定义 设 A, B 是两个非空集合, 如果按照某种确定的 法则, 使对每个 aA, 都有唯一的一个 bB 与其对 应, 则称这个对应关系 为 A 到 B 的一个映射, 并记 作： ：A B，(a) b 或
：A B，a b
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称 b 为 a 的象, 称 a 为 b 的原象.
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例6 线性空间 V 的任意有限个子空间的并是 V 的一个子 空间 它们均包含在其中一个子空间之中. 证明 充分性是显然的. 现证必要性: 对子空间的个数归 纳: 设 V 有 s 个子空间, 分别记为 W1, W2,, Ws, 它们 的并是 V 的一个子空间, 若 Ws W1 Ws 1 , 则 W1 W s 1 是 V 的一个子空间, 由归纳假设它们均包 含在其中一个子空间之中, Ws 也包含在这个子空间中, 若必要性不成立可设 Ws W1 Ws 1 , 且 W1 W s 1 Ws , 则存在 Ws, W1 Ws 1 , 且存在 W1 Ws 1 , W s , 由例5必有 s > 2, 故 , , ( s 1) W s ,W1 Ws 是 V 的一个子空间 , , ( s 1) W2 W s 1 , 由抽屉原理其 中有两个属于同一个 Wi , 由此可知 Wi 6 与 W1 W s 1 矛盾.