二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、考点、热点回顾1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3．重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．知识拓展1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．2．最优解和可行解的关系最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个．二、典型例题例1、（1）分别画出不等式x+2y-4＞0和y≥x+3所表示的平面区域；（2）在平面直角坐标系中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14变式训练1、不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )考点二、含参数的平面区域问题例2、若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43变式训练2、已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2考点三、含绝对值符号的不等式（组）表示的平面区域例3、画出不等式+所表示的平面区域。
变式训练3、设实数x ，y 满足不等式组，试求点（x ，y ）所在的平面区域。
考点四、不等式组表示的平面区域的面积例4、若不等式组所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，求k 的值。
变式训练4、已知点M （a ，b ）在由不等式组确定的平面区域内，求点N （a+b ，a-b ）所在的平面区域的面积。
考点五、求线性目标函数的最值例5、设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0， 则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9变式训练5、设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x+6y 的最大值是（）A ．3B ．4C ．18D ．40考点六、非线性目标函数的最值例6、若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12变式训练6、（1）已知变量x ，y 满足，求z =x 2＋y 2的最大值和最小值。
（2）已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －6>0，y ≥12x －3，x ＋4y ≤12，则z ＝y －3x －2的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 B.⎝⎛⎦⎤－∞，－13 C.⎣⎡⎦⎤－12，－13 D.⎣⎡⎭⎫－13，＋∞考点七、求参数的值或取值范围例7、变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0.若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2变式训练7、已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a 等于( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3考点八、线性规划问题的实际应用例8、某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？变式训练8、某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．三、课后练习一、选择题（共12小题，每小题5分，60分）1.不等式 表示的平面区域（用阴影表示）是（ ）A. B. C. D.2.下列各点中，在不等式表示的平面区域内的是（ ） A. B. C. D.3.已知点P(x，y)的坐标满足条件,那么点P到直线3x－4y－13＝0的距离的最小值为( )A. B.2 C. D.14.若，满足，则的最大值为（）A.0B.3C.4D.55.实数满足，若的最小值为1，则正实数（）A.2B.1C.D.6.若不等式组表示一个三角形内部的区域，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.7.不等式组表示的平面区域的面积为( )A.7B.5C.3D.148.在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A.2B.1C.－D.－9.设，满足约束条件若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）A.或B.或C.或D.或210.已知点，动点的坐标满足，那么的最小值是（）A. B. C. D.111.已知变量满足约束条件，若目标函数的最小值为2，则（）A.2B.1C.D.12.已知实数,x y 满足约束条件00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则11y z x -=+的取值范围是（ ） A ．11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．11,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ 二、填空题（（共4小题，每小题5分， 20分）13.设D 为不等式组所表示的平面区域，则区域D 上的点与点 之间的距离的最小值为 ． 14.坐标原点与点 分别在直线2x −3y+ ＝0的两侧，则 的取值范围是 ．15.若不等式组0{24 24x x y x y ≥+≤+≥所表示的平面区域被直线4y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值为________16.若直线y ax =上存在点()x y ，满足条件30{230 1x y x y x +-≤--≤≥，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题（共6小题，共70分）17. （10分）已知实数x ， y 满足430,{35250, 1.x y x y x -+≤+-≤≥（1）设1y z x+=，求z 的最小值； （2）设222z x y y =++，求z 的取值范围．18. （12分）已知3≤x≤6， x≤y≤2x ，求x ＋y 的最大值和最小值．答案1.B2.C3.B4.C5.C6.C7.A8.C9.A10.B 11.C 12.B13. 14.(0,7)15.72- 16.[]12-，17.试题解析：如图，（1）1y z x +=表示点(),x y 与()0,1-的斜率，所以过点()5,2时，斜率最小， 即min 35z =； （2）()2222211z x y y x y =++=++-， ()2221d x y =++表示点(),x y 与点()0,1-的距离的平方，由图可知，过点()1,1时，距离最小， min 4z =；过点()5,2时，距离最大， max 33z =，z ∴的取值范围是[]4,33。
18.解析：原不等式组等价于作出其围成的平面区域如下图所示．将直线x＋y＝0向右上方平行移动，当其经过点(3，1)时，x＋y取最小值，当其经过点(6，12)时，x＋y取最大值．∴ (x＋y) min＝3＋1＝4，(x＋y)max＝6＋12＝18.即x＋y的最大值和最小值分别是18和4.。