求函数极值的方法
极值定义：设函数 f ( x) 在 x0 的某邻域内有定义，且对此邻域内任一点
x ( x x0 ) ，均有 f ( x) f ( x0 ) ，则称 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个极大值；同样如果
对此邻域内任一点 x ( x x0 ) ，均有 f ( x) f ( x0 ) ，则称 f ( x0 ) 是函数 f ( x) 的一个 极小值。函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点 x0 ，称 为极值点。
例 3 求函数 f ( x) 5 x 4 的极值。 解 令 f ( x) 0 ， 得 驻 点 x 0 ， 且 f (0) f (0) f (0) 0 ， 但
f 4 (0) 120 >0 所以有极小值 0.
2.2 利用拉格朗日乘数法求条件极值
“乘数法”所得到的点只是可能是极值点，到底是否是极值点要依据拉格朗 日函数 F 的二阶微分符号来判断。 例4 求函数 u x m y n z p 在条件 x y z a (m 0, n 0, a 0) 下的极值。
m m m d 2 F ( x, y , z ) p = 2 ( d x ) 2 2 ( d y ) 2 2 ( d z ) y z x
P
故 p 为 v 即 u 的极大值点，此时 up
m m n n p p a m n p (m n p) m n p
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求极值方法： （1）求一阶导数，找出导数值为 0 的点（驻点） ，导数值不存在的点，及端 点； （2）判断上述各点是否极值点 例 1 求函数 f ( x) x 3 6 x 2 9 x 的极值。
解法一 ： 因为 f ( x) x 3 6 x 2 9 x 的定义域为 (, ) , 且 f ' ( x ) 3x 2 12 x 9 3( x 1)( x 3) , 令 f ' ( x ) 0 ，得驻点 x1 1 , x2 3 ； 在 (,1) 内， f ' ( x ) 0 ， 在 (1,3) 内， f ' ( x ) 0 , f (1) 4 为函数 f ( x) 的极大值。 解法二： 因为 f ( x) x 3 6 x 2 9 x 的定义域为 (, ) ，
2
或
aibi
i 1
n
2
ai2
i 1
n
b
i 1
n
2 i
，
其中等号当且仅当 例9 解
3
a a1 a2 n 时成立。 b1 b2 bn
已知 a, b 为正常数，且 0 x 利用柯西不等式，得
a 2 3 b2
a b ,求 y 的极小值。 2 sin x cos x
例 2 求函数 f ( x) 2 ( x 1) 的极值． 解 所以
1 2 f ' ( x ) ( x 1) 3 3
2 3
因为 f ( x) 2 ( x 1) 的定义域为 (, ) ,且 f ( x) 在 (, ) 上连续，
2 3
2 3( x 1)
2.5 利用标准量代换法求函数极值
求某些有多个变量的条件极值时， 我们可以选取某个与这些变量有关的量做 标准量， 称其余为比较量， 然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来， 这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了。 如果给定条件是几个变量之和 的形式，一般设这几个量的算术平均数为标准量。 例7 解 则z 设 x y z a ，求 u x 2 y 2 z 2 的极小值。 取
2.3 不等式求极值
应用 n 个正数的算术平均数大于等于 n 个正数的几何平均数这个基本不等式 来处理，
a 2 b2 基本不等式是 a b 2ab ， ab 。 2
2 2
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例5
当 x 为何值，函数 y 9 x 2 6
4 取得极值。 x2
分析：函数解析式中被开方数含自变量的两项与倒数相联系，尝试用算术平 均数和几何平均数的关系来处理。
所以 u 的极小值为
2.6 配方法
对于解析式中主体部分为二次三项式的函数，一般都可以用此方法，中学大 部分求极值的问题都是采用这用方法。 例8 求函数 y
1 的极值。 cos x cos x 3
2
分析：不难看出函数 y 的解析式中分母是以 cos x 为主元的二次三项式，则 可以用配方法来解决这道题。
2
2
等号成立也是当且仅当 x arctg 3
a 时。 b
3
2 2 2 a b 从而 y a3 b3 ， sin x cos x 2 2 2 a b 3 于是 y 的极小值是 a b 3 。 sin x cos x 3
2.1 求导法
判别方法一： 设 f ( x) 在点 x0 连续，在点 x0 的某一空心邻域内可导。当 x 由小增大经过 x0 时，如果： (1) f ' ( x ) 由正变负，那么 x0 是极大值点； (2) f ' ( x ) 由负变正，那么 x0 是极小值点； (3) f ' ( x ) 不变号，那么 x0 不是极值点。 判别方法二： 设 f ( x) 在点 x0 处具有二阶导数,且 f '( x ) 0 , f ''( x) 0 。 (1)如果 f ''( x) 0 ，则 f ( x) 在点 x0 取得极大值； (2)如果 f ''( x) 0 ，则 f ( x) 在点 x0 取得极小值。 判别方法三： 设 f ( x) 在点 x0 有 n 阶导数，且 f ( x 0 ) f ( x 0 ) f
即 5 x 2 (4 z 2u ) 2 x (8 z 2 u 2 4 zu 4) 0 这个关于 x 的二次方程要有实根，则要
(4 z 2u ) 2 20(8 z 2 u 2 4 zu 4) 0
即 u 2 4 zu 9 z 2 5 0 解关于 u 的二次不等式得：
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解 令 u cos 2 x cos x 3 ，则
1 1 1 11 u cos 2 x cos x 3 cos 2 x cos x 3 (cos x ) 2 ， 4 4 2 4 1 y 取极大值的条件是 u 取最小值， u 1 y 取极小值的条件是 u 取最大值； u 1 1 umax (cos x ) 2 取最大值 cos x 1 则 y 的极小值为 ； 2 5 1 2 1 4 umin (cos x ) 0 cos x 则 y 的极大值为 。 2 2 11
b a a 2 3 b2 sin x cos x
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3
b a a sin x 3 b cos x sin x cos x

2 6 2 a b 6 3 3 a sin x b cos x a b sin x cos x
解 先求 v ln u m ln x n ln y p ln z ( x y z a )
' m Fx 0 x n ma na pa 令 Fy' 0 得驻点为 p ( , , ) y m n p m n p m n p ' n Fy 0 y 又由 FXX m m m '' '' '' 2 ， Fxy 2 ， FZZ Fxz Fyz 0， ， Fyy 2 x z y 0
1 4 4 解 (9 x 2 2 ) 9 x 2 2 6 2 x x 9x2 4 12 x2 4 9 x 2 6 2 18 x
式子两边都是非负数，分别去算术平均根，得
y 9x 2 6 4 18 3 2 x2 6 3
y min 3 2 此时 x
x yz a a a 为标准量，令 x ， y ， 3 3 3 3
a （ 、 为任意实数） ，从而有 3
a a a a2 u ( )2 ( )2 ( )2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 1 a2 a2 。 ( ) 2 2 2 （等号当且仅当 = = 0 即 x y z 时成立） 3 3 3 a2 。 3
2 z 5(1 z 2 ) u 2 z 5(1 z 2 ), 1 z 1
（2）
显然，求函数 u 的极值，相当于求
u 2 z 5(1 z 2 ), 1 z 1
或 u 2 z 5(1 z 2 ), 1 z 1
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2 3

3
a 2 3 b2
sin x cos x
2
a sin x 3 b cos x

2
等号成立的当且仅当
sin x
3
a

cos x
3
b a b
时；
即
3
x arctg 3
时，于是
a 2 3 b 2 3 a sin x 3 b cos x
再由柯西不等式，
3
2.7 柯西不等式求初等函数的极值
柯西不等式的一般形式为： 对任意的实数 a1 , a2 , , an 及 b1 , b2 , , bn 有
n n 2 n 2 a b i i ai bi i 1 i 1 i 1