B
P
A
a
【变式1】如图，在t R ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，过点A 的任一直线AN ，BD AN ⊥于D ，BD AN ⊥于E
求证：DE BD CE =-
N
E
D
C
B
A
【变式2】如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ，
求证：DE AD BE =+.
E
D
C
B
A
专题 三角形的尺规作图
知识点解析
作三角形的三种类型：
① 已知两边及夹角作三角形： 作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形： 作图依据------ASA ③ 已知三边作三角形： 作图依据------SSS
典型例题
【例1】作一条线段等于已知线段。
已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a .
【例2】作一个角等于已知角。
已知：如图，∠AOB 。
求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB
【例3】已知三边作三角形
已知：如图，线段a，b，c.
求作：△ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.
作法：
【例4】已知两边及夹角作三角形
已知：如图，线段m，n, ∠α.
求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n.
【例5】已知两角及夹边作三角形
已知：如图，∠α，∠β，线段c .
求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c.
随堂练习
1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（）
A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角
C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定
2．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（）
A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角
C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角
D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角
3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边
C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角
4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（）
A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半
C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线
专题利用三角形全等测距离
知识点解析
一、利用三角形全等测距离
目的：变不可测距离为可测距离。
依据：全等三角形的性质。
关键：构造全等三角形。
二、方法
（1）延长法构造全等三角形；（2）垂直法构造全等三角形。
三、步骤
利用已有的全等三角形，或者是构造出全等的三角形，利用全等三角形的性质把难以测量或不能直接测量的线段(或角)转化为易测的线段(或角)．
四、模型
典型例题
例1 如右图，要测量河岸相对两点A，B的距离，可以从AB的垂线BF上取两点C，D.使BC=CD，过D作DE⊥BF，且A，C，E三点在一直线上，若测得DE=30米，则AB的距离为多少，请你说明理由.
例2 为在池塘两侧的A，B两处架桥，要想测量A，B两点的距离，有以下两种方法：（1）如图所示，找一处看得见A，B的点P，连接AP并延长到D，使PA=PD，连接BP并延长到C，使PC=PB．测得CD=35m，就确定了AB也是35m，说明其中的理由；
随堂练习
1、在△ABC 中，∠B ＝∠C ，与△ABC 全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC 中与这100°角对应相等的是（ ） A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B 或∠C
2、使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A ．一锐角对应相等
B ．两锐角对应相等
C ．一条边对应相等
D ．两条直角边对应相等 3、在△ABC 和△A'B'C'中有①AB=A'B'，②BC=B'C'，③AC=A'C'，④∠A=∠A'， ⑤∠B=∠B'，⑥∠C=∠C'，则下列各组条件中不能保证△ABC ≌△A'B'C'的是 （ ） A 、①②③ B 、①②⑤ C 、①②④ D 、②⑤⑥
4、如图，△ABC ≌△ADE ，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC 的度数为（ ） A. 40° B. 80° C.120° D. 不能确定
5、如图，AE ＝AF ，AB ＝AC ，EC 与BF 交于点O ，∠A ＝60°，∠B ＝25°，则∠EOB 的度数为（ ）
A ．60°
B ．70°
C ．75°
D ．85°
6、如图，已知AB ＝DC ，AD ＝BC ，E.F 在DB 上两点且BF ＝DE ，若∠AEB ＝120°，∠ADB ＝30°，则∠BCF= ( )
A. 150°
B.40°
C.80°
D. 90°
7、①两角及一边对应相等 ②两边及其夹角对应相等 ③两边及一边所对的角对应相等 ④两角及其夹 边对应相等；以上条件能判断两个三角形全等的是( )
A ．①③
B ．②④
C ．②③④
D ．①②④ 8、下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（ ） A ．三条边对应相等 B ．两边和一角对应相等
C ．两角及其一角的对边对应相等
D ．两角和它们的夹边对应相等 9、如图，已知MB ND =，MBA NDC ∠=∠，下列条件不能判定是ABM CDN ≌△△的是（ ）
A ．M N ∠=∠ B. A
B CD =
C ．AM CN = D. AM CN ∥
10、在△ABC 与△DEF 中，已知AB=DE ；∠A=∠D ；再加一个条件，却不能判断△ABC 与△DEF 全等的是（ ） A ． BC=EF B ．AC=DF C ．∠B=∠E D ．∠C=∠F 11、如图，点CF 在BE 上，ACB DFE BC EF ∠=∠=，，
请补充一个条件，使ABC DEF ≌△△,补充的条件是 .
M N
D
C B A F E
D
C B A
12、如图，90E F ∠=∠=︒，B C AE AF ∠=∠=，，给出下列结论：
①CAD BAD ∠=∠ ②BE CF = ③ACN ABM ≌△△ ④CD DN =其中正确的结论是_________ _________
13、如图：AE=DE ，BE=CE ，AC 和BD 相交于点E ，求证：AB=DC
14、已知：如图，C D BAC ABD ∠=∠∠=∠，，求证：OC OD =
O
D
C
B
A
15、已知：如图，点E 、F 在线段BD 上，AB ＝CD ，∠B ＝∠D ，BF ＝DE ． 求证：（1）AE ＝CF （2）AF//CE
16、已知，如图：AB=AE ，∠B=∠E ，∠BAC=∠EAD ，∠CAF=∠DAF ，求证：AF ⊥CD
N
M
F
E
D
C
B A
C
D
A
B
E
F
17、已知：如图ABC △和ECD △都是等边三角形，且B C D ，
，在一条直线上。
求证：BE AD = E
D
C B A
18、如图，OAB △和COD △均为等腰直角三角形，90AOB COD ∠=∠=︒， 连接AC BD 、
．求证：AC BD =
O
D
C
B
A
19、 如图所示，也可先过B 点作AB 的垂线BF ，再在BF 上取C ，D•两点，•使BC=CD ．接着过点D 作BD 的垂线DE 交AC 的延线长于E ，则测出DE 的长即为A ，B 的距离．•你认为这种方案是否切实可行，请说出你的理由．作BD ⊥AB ，ED ⊥BF 的目的是什么？若满足∠ABD=∠BDE≠90°，此方案是否仍然可行？为什么？。