汽车控制理论参考答案
一. 解释下列名词：
1. 传递函数：（3）
在外界输入作用前,输入、输出的初始条件为零时，线性定常系统的输出)(t y 的拉氏变换)(s Y 与输入)(t x 的拉氏变换)(s X 之比，称为该系统的传递函数。

2. 频率特性：（3）
输出信号与输入信号的幅值比为频率ω的非线性函数，叫做系统的幅频特性；而输出信号与输入信号的相位差ϕ也是频率ω的非线性函数，叫做系统的相频特性；幅频特性和相频特性总称为系统的频率特性。

3. 传递函数极点：（3）
使系统传递函数)(s G 的分母为零，)(s G 取极值的点，叫做传递函数的极点。

4. 状态方程：（3）
对于一个连续控制系统，通过向量表示法，可以将描述系统n 阶动态特性的微分方程表示成一阶矩阵微分方程，若向量分量是选定的状态变量，则上述一阶矩阵微分方程称为连续系统的状态方程。

5. 可控性：（3）【粗略地讲:可控性是指控制输入影响每一状态变量的能力；
可控性严格上说有两种，一种是系统控制输入U(t)对系统内部状态X(t)的控制能力，另一种是控制输入U(t)对系统输出y(t)的控制能力。

但是一般没有特别指明时指的都是状态的可控性。

】 如果在有限时间区间f t t t <<0内，存在一个任意取值的控制)(t u ，能使系统从初始状态值转移到任何另一状态，则称系统在0t t =是状态可控的；如果在有限时间内，对于任何0t 下的初态都可控，则称系统是完全可控的；如果有一个或n 个状态变量不可控，则称状态不可控。

6.状态转移矩阵（3）
表征系统从初始状态转移到任意状态的转换矩阵称为状态转移矩阵。

二 判断下列控制系统的可控性和可观性
1. 解：由题意 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2101A ，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=01B ，
则⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=11AB (2分)
可控性判断矩阵： []⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-==1011AB B
θ （4分） rank(θ)=2 故系统可控 （2分）
2. 解：由题意⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=2001A ，[]01=C ，
则[]01-=CA （2分）
可观性判断矩阵：⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0101CA C θ （4分）
rank(θ)=1, rank(θ)<2, 故系统不可观测 （2分）
三 写出下列微分方程的状态空间表达式
1. u y y y =++42
； 解：设状态变量：y x =1，y
x =2 则有21x y x
== （1） 12222
1
21)4(21x x u y y u y
x --=--== （2） 将（1）和（2）写成矩阵形式：
u x x x x X ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=210212102121 （3） （6分） []⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡==21101x x x y （4） （4分）
式（3）为状态方程，式（4）为输出方程
2. u u y y y
+=++25 解：对方程两边进行拉氏变换得：
1
25)()(22+++=
s s s
s s U s Y （1） 引入中间变量Z ，得：
1
25)()()()(22+++=
s s s s s Z s U s Z s Y （2）
分解上式得：
1
251
)()(2++=s s s U s Z （3） s s s Z s Y +=2)
()
( （4） 对（3）和（4）式求逆拉氏变换得： u z z z
=++ 25 （5） z z y
+= （6） 选取变量：z x =1，z
x =2 由（5）得状态方程：
u x x x x X ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=510525
1
102
121 （6分） 由（6）得输出方程：
u x x z z u z z z u z z
y 5
1
535
1
515351)2(5121+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-+=+--=+= （4分）
四. 已知线性定常系统状态方程
)(1143102121t u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ，且⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=00)0(x ，试求系统状态变量)(t x 对单位阶跃函数1)(=t u 的状态响应。

解：已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4310A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11B ，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=00)0(x
由拉氏变换关系求系统的状态转移矩阵：
[]
11)()(---==A sI L e t At φ
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-=-431s s A sI
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+++=
--s s s s A sI 314)3)(1(1
)(1
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡+-+---=--------t t t
t t t t t e e e e e e e e t 33332321232321212123)(φ （1）（8分） 状态响应为：⎰
-+=t
t A At d Bu e X e t X 0
)()()0()(τττ （2）
将（1）式代入（2）式得：
τττττττττd e
e e e e e e e t X t t t t t t t t t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+-+---=⎰
----------------112321232
32
1212123)(0)(3)()
(3)()(3)()
(3)( ⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-+-+-=----t t t t
e e e e 33213
1235 (8分)
五 图中所示为汽车半主动悬架的2自由度模型,试根据运动微分方程，写出系统的状态方程和输出方程。

说明如何判断系统的稳定性。

d
状态变量：
21z x =，22z
x =，13z x =，14z x =
T x x x x X )(43
21=
输出变量：
21z
y = ，122z z y -=，013z z y -=
解：根据牛顿第二定律可写出系统的动力学方程为：
)()(12122z z c f z z k z
m s d s s -----= （1） )()()(1212011z z
c f z z k z z k z m s
d s t u -++-+--= （2） 根据设定的状态变量，有：
221x z x
==
)()(423122x x m C
m f x x m k z
x s
s s d s s -----== 413x z x == )()()(42310314x x m c
m f x x m k z x m k z
x u
s u d u s u t -++-+--== s
d s s m f
x x m k y ---
=)(311 312x x y -= 033z x y -= 状态方程为：
Ed Bf AX X d ++= Fd Df CX Y d ++=
其中 ： ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣⎡-+---=u s u
s t
u s u
s s
s s s s s s
s m c m k k m c m k m c m k m c m
k A 1000001
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=u s m m B 1010 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=u t m k E 000 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡--
-=01
000101
s s s s s s s s
m c m k m c m
k C ⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=001s m D ⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100F （12分） 如果矩阵A 的特征根均在复平面的左半平面内，则系统是稳定的。

（3分）
六、设某控制系统可用如下状态方程来描述
)()()(t t t Bu Ax x
+= （初始条件为：)0(x ） )()(t t Cx y =
若目标函数为
[]⎰
⎰∞
∞=+=
),()()()()
(2
1
dt F dt t t t t J T
T
u x Ru u Qx x
式中：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=
5665301A ，I B =，⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=400231Q ，I R =，[]01=C
试设计一个最优状态调节器
解：判定系统的可控性 (4分) 系统可控的充要条件：
[]
AB B =θ=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡
--6151
51611
001
　,rank(θ)=2,系统可控 由黎卡提方程求解矩阵 L (4分)
设⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=2221
1211
L L L L L ，将其代入黎卡提方程：01=-+---Q L B LBR L A LA T T 解得⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=1001L 求解反馈矩阵 K (4分)
L B R K T
1
-=解得⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=1001K ,KX U -==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21x x
模型的框图为： (4分)。