城市空气质量的评估与预测一．问题的提出1.1背景介绍环境空气质量指标与人们的日常生活息息相关，同时也在城市环境综合评价中占有重要地位，根据已有的数据，运用数学建模的方法，对环境空气质量进行科学合理的评价，预测与分析是一个很具有实用价值的问题。

目前我国城市环境空气质量评价的主要依据是API值的二级达标天数，即根据已有的API分级制，计算城市的二级空气质量达标天数并以之作为该城市空气质量的评价。

然而，这种评价方法虽然有利于城市空气质量管理，但是API分级制具有统计跨度大且较为粗略的特点，不适合对城市的空气质量做综合客观的评价，因此，我们应该提出更为科学合理的评价方法。

关于环境空气质量已有多方面的研究，并积累了大量的数据，原题附录1-10就是各城市2010年1-11月空气质量的观测值，可以作为评价分析与预测的研究数据。

1.2 需要解决的问题1)利用附件中数据，建立数学模型给出十个城市空气污染严重程度的科学排名。

2)建立模型对成都市11月的空气质量状况进行预测。

3)收集必要的数据，建立模型分析影响城市空气污染程度的主要因素是什么？二、基本假设1.表中的API值是准确的，忽略仪器测量误差对测量数据造成的影响2.API值对不同污染物的危害程度具有可度量性，即：相同API值对应的不同污染物危害程度相等。

3.根据附录中的数据，API首要污染物为二氧化氮的天数在十个城市2010年的观测数据中仅出现一次，二氧化氮对空气质量的综合评价的影响忽略不计。

三、问题的分析3.1 提出新的空气质量评价方法对城市污染程度排名应该注意的问题。

总的来说，提出一种科学合理的评价方法，应该以各城市的空气污染指数（API）观测数据为基础，对不同城市空气质量进行量化综合评价，这个综合评价在符合空气质量实际的同时，应该较为细致与直观，既能够体现该城市空气质量的整体水平，又能够方便地对不同城市的空气质量进行合理客观的对比。

第一．传统的API指数评价制度具有较大的局限性，其主要原因是API空气质量分级制具有跨度较大的特点，举例来说，以可吸入颗粒物或二氧化硫为最大污染物计算，API数值51到100都属于二级,对应的日均浓度值是51到150微克/立方米。

这种分级制度对观测数据进行了较大幅度的简化，分级制的数据较为简洁，仅以级次衡量城市的空气质量水平，有利于部分问题的决策，但是，这种简化的级次评分制浪费了大量的观测信息，不适合对一个城市的空气质量进行长期的管理，评价，与预测，更不利于对城市空气质量进行细致客观的评价与城市之间污染程度的对比。

所以，新的评价体制应该充分地考虑到对信息的最大程度利用与对空气质量的综合客观分析。

第二．空气污染程度的评价最为直观与简便的方法是计算观测时间区间上的平均值，但是这种简便的数据处理方法具有较大的局限性，结合污染物种类与API 观测数据值分析，问题可以归结为基于API数据的综合评价问题，故可以引进综合评价问题的方法对平均值计算法进行适当的修正与改进，建立基于综合评价方法的评分体制，对空气质量进行评分与排序。

第三．这个对空气质量的综合排名问题以不同种类的污染物的API数值为基础，以对十个城市的污染程度进行综合排名为最终目的，具有一定的层次性，因此，还可以可以考虑建立以对十个城市的污染物排序为决策层，以不同种类的污染物API数据为准则层，以十个待评城市为方案层的选优排序问题，根据层次分析方法，确定方案层对决策层的“组合权重”，从而达到建立层次分析模型对十个城市污染程度进行综合排名的目的。

3.2 对成都11月份空气质量进行预测问题的分析1）对成都十一月空气质量进行合理的预测，我们应该对数据进行有效的分析处理，考虑多方面因素，建立数学模型进行综合预测，通过对数据的初步观测，并作出成都市自2005年1月1至2010年11月4日的月平均API值折线图（如图3-1所示），我们发现，数据不具有很好的规律性，无法用一个确定的函数去描述，又通过对问题的分析，我们认为对空气质量的预测问题是一个针对环境系统的预测问题，而环境系统具有系统内部作用因素较多，系统内部各因素作用关系复杂的特点，因此，针对数据和问题的特点，我们考虑建立灰色预测模型，利用灰色系统分析方法，对数据进行有效利用，并作出最合理的预测。

图3-13.3 关于确定空气污染程度的主要作用因素问题的分析由3.2的分析可知，空气环境系统是一个比较复杂的系统，所以，空气污染现象也一定是一个多因素共同作用的结果，不同的因素对污染程度的影响的大小不同，其中，对空气污染程度影响最大的作用因素，我们称之为“主要因素”。

而“影响”这个概念是一个模糊的，定性的概念。

因此，欲确定空气环境污染的“主要因素”就应该收集不同作用因素的数据，对数据进行分析处理，引入量化指标对其影响程度进行评估，并根据这个量化指标，最终确定其对空气污染程度影度大小。

根据相关的大气科学资料，我们确定了对城市空气污染程度影响较大的七个因素：1.工业发展程度，2.人口密度，3.交通发达程度，4.城市生活用煤气总量，5.绿化覆盖率，6.年均降水量7.环境治理投入额。

其中工业发展程度用城市工业年产值来衡量，交通发达程度以城市年运输总量来衡量（具体的数据在附录给出）根据对数据的初步观测，我们发现，拉萨的各项指标均具有较大的特殊性，这主要是由拉萨特殊的地理位置与社会发展情况决定的，为了使评价的结果具有一般性与普遍使用性，我们舍去拉萨的各项数据值。

四．符号的约定第j 个城市的第i 种污染物的平均值 ij x 第j 个城市的第i 种污染物的评价指标值 ij y一个城市的空气污染综合评价指数 j Y 第j 个城市的第i 种污染物为首要污染物的天数 ij t 附录中给出的各城市从2010年1月4日到11月4日有测量值的总天数 j T 每一种污染物的权重 i w每一种污染物的综合权重系数 i W 准则层第i 个元素对最高层的权重 i q 方案层第j 个元素对准则层第i 个元素的权重 ij r 2010年中第a 个月的API 平均值的最终预测值第j 个城市的第i 种作用因素的数据值 ij d 第j 个城市的第i 种作用因素数据值的相对值第j 个城市的空气污染严重程度指数 j S五、模型的建立aG ije5.1．空气质量排名的综合评价方法模型(问题1模型Ⅰ) 由3.1的分析，我们先求解出十个城市在11个月中的API 平均值（如下图所示）图5-1根据图表的分析，不难发现，1. 简单的求平均值的方法并未对不同种类的污染物影响进行有效的区分。

2.用平均值数值求解，极差为46.05φ=不能有效地反映出这组数据的总体差距。

在此基础上我们提出将污染物分类进行计算的综合评价方法模型。

首先计算各污染物指标在综合评价指数中所占权重，为了拉开各城市间综合评价指数的差距我们采用基于指标差异赋权方法中的突出整体差异的“拉开档次“方法。

我们定义不同种类的污染物在评价中的指标值为：ij ij ij jx t y T =其中：1,2,3i =时，分别代表，首要污染物为：可吸入微粒，二氧化硫，以及不报告首要污染物时的情况；1,2,310j = 依次代表图5-1中的十个城市。

十个城市三项污染物的指标值分别为：123(,,)j j j j y y y y =相应的权重系数向量为：123(,,)w w w w =（待定） 十个城市的客观综合评价指数值分别为：31j i ij i Y w y ==∑ (1,2,310j = )综合指数平均值：101110j j Y Y ==∑综合指数方差：10211()10j j S Y Y ==-∑ 5.1.1现为了使方差达到最大值，即数据整体差异最大，问题转化为求权重系数123(,,)w w w w =使方差S 有最大值。

上述方法是基于“指标差异”的赋权法（客观赋权法）虽然突出了综合指标的客观实际，但是完全忽略了评价者的主观信息，并不利于问题的决策，评价者的主观信息对于本问题的决策也存在一定的影响。

于是，我们应对其进行主观赋权。

根据对人们心理的分析，人们对坏空气质量的敏感程度要高于好的空气质量。

以此对其进行合理的主观因素赋权。

不妨使：'(0.4,0.4,0.2)i w =为了将主客观两种赋权法有机地结合起来，使所确定的赋权系数能够同时体现主观信息与客观信息的同时影响，我们采用加法集成赋权法，在本问题中，客观因素占主导地位，使排名更具有说服力。

所以令综合权重系数：'0.2*0.8*i i i W w w =+ 5.1.2因此，十个城市的最终综合评价指数为T j i j Y W y = 5.1.3最后我们根据综合污染指数对十个城市进行排序。

5.2空气质量排名的层次分析模型（问题1模型Ⅱ）层次分析法是一种定性与定量相结合的层次化，系统化的分析方法，通过使人们的思维过程层次化并逐层比较多种关联因素来为分析，决策，预测或控制事物提供定量依据，其最突出的特点是，分层比较，综合优化，根据3.1的分析，对十个城市的空气质量的合理排序问题，可以用这种层次化分析的方法来解决，所以，我们建立了层次分析模型。

利用层次分析法分析该问题，我们将此问题的各因素分为三层，目标层，准则层和方案层。

我们的目的是通过分析将十个十个城市的空气污染程度进行合理的排序，因此目标层只有一个元素，即十个城市空气污染程度。

衡量空气污染程度数据值，共分三种，即首要污染物分别为可吸入颗粒与二氧化硫API 数值与空气质量为优时（不报告首要污染物）的API 数值。

因此我们以API 的数据值作为准则层，共有三个元素，即三种API 数据值。

参与排序的为上述十个城市，因此我们将十个城市组成的集合作为方案层。

其中，最高层为目标层，中间层为准则层，最低层为方案层。

据此作出层次结构图如图5-2所示。

图5-2第一步：使用特征根法求解准则层对目标层的权重首先，根据准则层对目标层的影响，定义准则层对目标层的影响程度矩阵p ，结合本问题分析，我们将十个城市的三种API 数值在十一个月中出现的总天数分别 作为影响程度矩阵的元素，即有： 123(,,)p t t t =为衡量各种因素对目标层的影响大小，引入相对比较法，定义判断矩阵A对判断矩阵中的每个元素mn a 有：mmn nt a t =（其中1,2,3;1,2,3m n ==） 5.2.1 记权重向量123(,,)T Q q q q =显然，A 为一致性正互反矩阵，故有：1111n m mn a a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭123123111(,,)111(,,)A Q q q q AQ Q Q nQ q q q ===由线性代数的知识易知，事实上n 为矩阵A 特征多项式的特征根。

此时，记实特征根的最大值为max λ，可以将特征根最大值max λ所对应的特征向量做归一化处理后的向量近似地作为权重向量。