最后冲刺【高考预测】1.复数的概念2.复数的代数形式及运算3.复数概念的应用4.复数的代数形式及运算易错点 1 复数的概念1．（2020精选模拟）若z 1=a+2i,z 2=3-4i,且21z z 为纯虚数，则实数a 的值为___________. 【错误解答】 ∵z 1+a+2i,z 2=3-4i, ∴.25462583169)46(83)43)(43()43)(2(43221i a a i a a i i i i a i a z z ++-=+++-=+-++=-+= 又∵21z z 为纯虚数。
∴,02583=-a ∴a=38.∴填38。
【错解分析】∵复数z=a+bi(a,b ∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b ≠0.因此上面解答虽【错误解答】 选C ∵z=i -11=1+i.∴z 为纯虚数为1-i【错解分析】z=i -11=1+i 是错误的，因为（1-i ）(1+i)=1-(i)2-z ≠1【正确解答】 选B ∵z=i -11=.212121)1)(1(1i i i i i +=+=+-+∴z=i -11的共轭复数是21-21i 。
3．（2020精选模拟）已知复数z 1=3+4i ，z 2=t+i,,且21z z •是实数，则实数t= （ ）A ．43B ．34C ．-34D ．-43【错误解答】 选 C ∵z1·2z ∈R ⇔2121z z z z +=0。
即（3+4i ）(t-i)+(3-4i)(t+i)=0⇒t=-34.【错误解答】 设z=x+yi(x,y ∈R),∵z+2i=x+(y+2)i由题意得 y=-2.∵51222=--=-i i x i z (x+2)(2+i)=51(2x+2)+51(x-4)i.由题意得x=4,∴z=4-2i.∵(z+ai)2=[4+(a-2)i]2=(12+4a-a 2)+8(a-2)i∵(z+ai)2在复平面上的点在第一象限，∴,.0)2(8,04122⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-+a a a 解得2≤a ≤6. ∴实数a 的取值范围是[2，6]。
【错解分析】 复数z=a+bi(a 、b ∈R)对应点（a 、b ）在第一象限的充要条件是a>0,b>0.∵a=0对应点在虚轴上；b=0对应点在实轴上，不属于任何象限，因此，a ≠2，b ≠6。
【正确解答】 设z=x+yi(x 、y ∈R).∵z+2i=x+(y+2)i由题意得，y=-2. 又∵51)2)(2()2(2=+-+=-i i i z i z (2x+2)+51(x-4)i.由题意得：x=4,z=4-2i.∵(z+ai)2=(12+4a-a 2)+8(a-2)i根据条件，可知⎪⎩⎪⎨⎧>->-+0)2(804122a a a 解得2<a<6. ∴实数a 的取值范围是（2，6）。
【特别提醒】1．深刻理解复数、实数、虚数、纯虚数、模、辐角、辐角主值、共轭复数的概念和得数的几何表示——复数z=a+bi(a,b ∈R)与复平面内的点（a 、b ）及向量OP 是一一对应的，在对概念的理解时要善于利用数形结合的思想，如纯虚数与虚轴上的点对应，实数与实轴上的点对应，复数的模表示复数对应的点到原点的距离。
2．要善于掌握化虚为实的转化方法，即设复数z=a+bi(a,b ∈R)，但有时给许多问题的求解带来不必要的运算困难，而若把握复数的整体性质运用整体运算的思想方法，则能事半功倍，同时要注意复数几何意义的应用。
【变式训练】1 若复数i ia 213++(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为 （ ）A ．-2B ．4C ．-6D ．63 设复数z 满足i z z =+-11，则|1+z|= （ ）A ．0B ．1C ．2D ．2答案： C 解析：由.2)1(11,112i i i i z i z z -=-=+-=∴=+-∴|1+z|=|1-i|=..21122C 选=+4 已知复数z 1满足（1+i ）z 1=-1+5i ，a 2=a-2-i.其中i 为虚数单位，a ∈R 。
若|z1-2z |<|z 1|，求a 的取值范围。
答案：解：由题意得于是,321511i i i z +=++=.13||,4)4(|24|||1221=+-=+-=-z a i a z z 由.078,134)4(22<+-<+-a a a 得∴1<a<7.易错点 2复数的代数形式及运算1．复数i i 2123--= （ ）A ．iB ．-iC ．-22-iD ．-22+i【错误解答】 选C ∵.2212221)21)(2(2122123i i i i i ii i --=-+=-+-=--=--【错解分析】 上面解答错误认为i 2=1.导致结果错误。
【错解分析】上面解答似乎很有“道理”，但（-21+i 23）5=[（-21+i 23）3]35是错误的∵z mn =(z m )n 在数范围内，必须是m 、n 均正整数时才成立，这一错误是机械地照搬实数集中分数指数幂运算法则，所以对于数学中的有关定理、定义、法则、性质等，在应用时，必须注意成立的条件，否则会产生错误。
【正确解答】 选A 。
原式=).2321(16222)2()2321(2)2321(255555i w w w w w w w i i +-=-=•-=-=+•+-令3 满足条件|z-i|=|3+4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是 （ ）A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆【错误解答】 选A 。
由|z-i|=|3+4i|知z 在复平面上对应的图形是点（0，1）和（3，4）的垂直平分线。
【错解分析】以上解答错在两边取模的计算，因为|z 1+z 2|=|z 1|+|z 2|，只有当z 1=λz 2（λ∈R +）时成立，而从题设条件中是无法得到这一条件的。
【正确解答】 原方程化简为|z|2+（1-i ）z-（1+i ）z=1-3i.设z=x+yi(x,y ∈R),代入上述方程得：x 2+y 2-2xi-2yi=1-3i∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)2(322)1(122y x y x将（2）代入（1），整理得8x2-12x+5=0 (*)∵△=-16<0,∴方程（*）无实数解。
∴原方程在复数范围内无解。
【特别提醒】1．复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行2．求解计算时，要充分利用i 、w 的性质，可适当变形，创造条件，从而转化i 、w 转化的计算问题。
3．在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和运用。
【变式训练】 1 =++-i i i 1)21)(1( （ ）A ．-2-iB ．-2+iC ．2-iD ．2+i5 设i 是虚数单位，复数z 和w 满足zw+2iz-2iw+1=0若z 和w 又满足w -z=2i ，求z 和w 值。
答案：012)2)(2(01222,2=+-+-=+-+-=∴=-iw i w i w iw iz zw iw z i z w 中得代入Θ025605)(2)(4))((),,(.052422=-+++⇒=+-++--+∈+==++-∴xi y y x yi x i yi x i yi x yi x R y x yi x w w i iw w w 则上式可变为设 .3,5,5,0100205622i z i w i z i w y x y x x y y x =-=-=-=∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-==∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+++∴或或 （2）求证：如果|z|=3，那么|w-4i|的值是一个常数，并求这个常数。
答案：由wz+2iz-2iw+1=0有z(w+2i)=2iw-1∴|z||w+2i|=|2iw-1|设w=x+yi,则有44)2(|)2(||2|2222+++=+=++=+y y x y x i y x i w14444)12(|212||12|2222+++=++=+--=-y y x x y xi y iw 又|z|=3,故①式可变为3(x 2+y 2+4y+4)=4x 2+4y 2+4y+1,∴x 2+y 2-8y=11. .33,|4|331116168)4(|)4(||4|2242且等于的值是常数i w y y x y x i y x i w -∴=+=+-+=-+=-+=-∴【知识导学】难点 1复数概念的应用下列命题中：（1）两个复数不能比较大小；（2）若z=a+bi ，则当且仅当a=0,b ≠0时，z 为纯虚数；（3）（z1-z2）2+（z2-z3）2=0，则z1=z2=z3；（4）x+yi=1+i ⇔x=y=1;（5）若实数a 与ai 对应，则实数集与纯虚集一一对应。
其中正确的命题的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3点们于第三象限。
【解析】 讨论此类问题时，首先将原式化为复数z=a+bi(a,b ∈R)的形式，然后根据复数的分类求解。
（4）log 2(x 2-3x-3)-ilog 2(x-3)=log49-i,根据两个复数相等的条件：⎪⎩⎪⎨⎧=-=--1)3(log 49log )33(log 2422x x x（2）原式=.2)()22(])12[(321)321(1003100310032i i i i i i i i i =-+=+=-+++2．设复数z=i i i +-++2)1(3)1(2，若z 2+az+b=1+i,求实数a 、b 的值。
【解析】 与实数集中求值问题类似，应先化简后代入求值。
【答案】z=.1555)2)(2()2)(3(232)1(322)1(3)1(2i i i i i i i i i i i i i i -=-=-+--=+-=+-+=+-++将z=1-i 代入z 2+az+b=1+i 得（1-i ）2+a(1-i)+b=1+i即(a+b)-(a+b)i=1+i∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=+-=+43.1)2(,1b a a b a 解得 3.若z ∈c ，且|z+2-2i|=1,则|z+2-2i|的了小值是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】运用数形结合的思想求解。
【答案】 B ∵|z+2-2i|=1,即|z-(2+2i)|=1∴点z 的轨迹是以（-2，2）为圆心，以1为半径的圆|z-(2+2i)|表示圆上一点到定点A∴a 2+b 2=1,即|z|=1。
∵w=2a,-1<w<2.∴z 的实部的取值范围是（-21，1） （2）u=.1)1(21)1()1()1()1(11112222i a b b a b b a bi a bi a bi a bi a bi a bi a z z +-=++---=-+-+=++--=++--=+-又∵a ∈(-21，1), b ≠0,∴u 为纯虚数。