故所求分布律为
X Y
0
1
2
0 3 28 9 28 3 28
1 3 14 3 14
0
2 1 28 0
0
例3 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2, 从 中任取一个, 不放回袋中,再任取一个,设每次取球时, 各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和 第二次取到的球上标有的数字,求 ( X, Y ) 的分布 律与分布函数.
P (Xxi,Yyj)pij
Y X
y1 y2 yj
x1
p11 p12
p1 j
x2
p21 p22
p2 j
xi
p i1 p i2
p ij
例1 设随机变 X在 量1,2,3,4四个整数中等可 取值 ,另一个随机Y在 变1量 ~X中等可能地取 整数.值 试求 (X,Y)的分布. 律
解 {Xi,Yj}的取值情 : i况 1 ,2 是 ,3 ,4 ,
1 O x
当 x 1 或 y 0 时 , f(x,y)0
xy
F (x ,y ) f(u ,v )d u d v 0 ;
当 1 x 0 ,0 y x 1 时 ,
y
yx1
1
xy
F (x ,y ) f(u ,v )d u d v
1 y1 x O x
y 1 u 1
xy
P {X 0 ,Y 1 }323 83, 011 2 14
P {X 1 ,Y 1 }323 83, 110 2 14
P {X 0 ,Y 2 } 323 81, 020 2 28
P {X 1 ,Y 0 }323 89, 101 2 28
P {X 2 ,Y 0 }323 83. 200 2 28
4 o 对( x 于 1 ,y 1 ) ( x 2 ,,y 任 2 )x 1 , x 2 ,意 y 1 y 2 ,
有 F ( x 2 , y 2 ) F ( x 2 , y 1 ) F ( x 1 , y 1 ) F ( x 1 , y 2 ) 0 .
证明 P { x 1 X x 2 ,y 1 Y y 2 } P { X x 2 ,y 1 Y y 2 } P { X x 1 ,y 1 Y y 2 } P { X x 2 ,Y y 2 } P { X x 2 ,Y y 1 } P { X x 1 ,Y y 2 } P { X x 1 ,Y y 1 } 0,
2 π σ 1 σ 21 ρ 2
( x , y ),
其 μ 1 ,μ 2 ,σ 1 中 ,σ 2 ,ρ 均 ,且 σ 为 1 0 ,σ 2 0 , 常 1 ρ 1 .数 则(X 称 ,Y)服从μ 参 1,μ 2,σ 数 1,σ2,ρ 为 的二 正态 .记 分 为 布
故 F ( x 2 , y 2 ) F ( x 2 , y 1 ) F ( x 1 , y 1 ) F ( x 1 , y 2 ) 0 .
4.二维随机变量的分类 二维离散型随机变量及其分布：分布律、分布函数 二维连续型随机变量及其分布：分布密度、分布函数
二、二维离散型随机变量及其分布
1. 定义若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有限 对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型随机 变量. 2. 二维离散型随机变量的分布律
例1 设二维随机变 (X,量 Y)具有概率密度
2e(2xy), x0, y0,
f(x, y) 0,
其他.
(1)求分布函F数 (x, y);(2)求概率 P{Y X}.
解
yx
(1 )F (x ,y ) f(u ,v )d u d v
0y
x2e(2uv)dudv,x0,y0,
0
0,
例2 从一个装有3支蓝色、2支红色、3支绿色圆珠 笔的盒子里, 随机抽取两支, 若 X、Y 分别表示 抽出的蓝笔数和红笔数,求 ( X, Y ) 的分布律. 解 ( X, Y ) 所取的可能值是
(0,0), (0,1), (1,0), (1,1), (0,2),(2,0).
P 抽{X 取抽两 取0 支一,Y 都支 是绿0 } 绿笔笔,一3支红2笔3 83, 002 2 28
解 ( X, Y ) 的可能取为 (1, 2), (2,1), (2,2).
P{X1,Y2}121, P{X2,Y1}211,
32 3
32 3
P{X2,Y2}211. 32 3
p 11 0, p 12 p21 p22 1 3, 故 ( X , Y ) 的分布为
YX
1 2
12 0 13 13 13
下面求分布函数.
(x, y) •
Xx,Yy
O
x
3. 分布函数的性质 1o F(x,y)是变 x和 量 y的不,减 即函 对数 于 意固y,当 定 x2 的 x1时 F(x2,y)F(x1,y), 对于任 x ,当 y 2 意 y 1 时 F ( 固 x ,y 2 ) 定 F (x ,y 1 的 ).
2 o 0F (x ,y)1 ,且有
二维随机变 . 量
•X(e)
图示
•e S
•Y(e)
实例1 炮弹的弹着点的位置 ( X, Y ) 就是一个二维 随机变量.
实例2 考查某一地区学前儿童的发育情况, 则儿童 的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ).
说明二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与 X 、Y 有 关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系.
(1 )当 x 1 或 y 1 时 , y
F(x,y) P {X x ,Y y } 2(1,2)
0;
(2 )当 1 x 2 ,1 y 2 时 , 1 (1,1)
F(x,y) p11 0;
o1
(3 )当 1 x 2 ,y 2 时 ,
F(x,y) p11p121 3;
(2,2)
j取不大 i的于正整 . 且数 由乘法公式得 P {X i,Yj} P { Y jX i} P { X i} 1 1 ,
i4 i1 ,2 ,3 ,4 , j i.
于是(X,Y)的分布律为
X Y
1
1
1
4
2
0
3
0
4
0
2 34
1
11
8
12 16
1
11
8
12 16
11
0 12 16
1 0 0 16

O
x
1. 3
二维均匀分布和二维正态分布
1. 二维均匀分布
定义 设 D 是平面上的有界区域,其面积为 S,若二 维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
f(x,y)S1, (x,y)D, 0, 其他 .
则称 ( X , Y ) 在 D 上服从均 匀分布.
例1 已知随机变量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布, 试求( X , Y )的概率密度及分布函数,其中D 为 x 轴, y 轴及直线 y = x+1 所围成的三角形区域 .
解
由 f(x,y) 10,S,
(x,y)D , 其.他
y yx1 1
得f(x,y) 0 2,,
(x,y)D , 其.他
其.他
得F (x ,y ) (1 e 0 ,2 x)1 ( ey)x ,其 0 ,y . 他 0 .
(2) 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标, 即有 { Y X } {X , ( Y ) G },
P { Y X } P { X ,( Y ) G } y
YX
3.1二维随机变量及其分布
一.二维随机变量及其分布函数 二.二维离散型随机变量及其分布 三.二维连续型随机变量及其分布
一、二维随机变量及其分布 1.二维随机变量的定义
设 E是一个随机,它 试的 验样本空S间 {是 e},
设X X(e)和Y Y(e) 是 定 义S在 上 的 随 机,变 量
由它们构成的一(X个,Y向 ),叫量作二维随机向量
(2,1)
2x
y
2 (1,2)
1 (1,1)
o1
(2,2)
(2,1)
2
x
(4 )当 x 2 ,1 y 2 时 , F ( x ,y ) p 1 1 p 2 1 1 3 ; (5 )当 x 2 ,y 2 时 ,F(x, y) p 1 1p 2 1p 1 2p 22 1.
所以( X ,Y ) 的分布为
0, x1或y1, F(x,y)13, 1x2,y2,或x2,1y2,
1, x2,y2.
说明
离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为
F(x,y)pij,
xixyjy
其中和式是x对 i x一 ,yj 切 y的 满 i,j求 足.和
三、二维连续型随机变量及其分布
1. 定义对于二维随机变(量 X,Y)的分布函数F(x, y),
xy
F (x ,y ) f(u ,v )d u d v
y 1 u 1
0y
d u 2 d vd u2 d v
1 0
y 1 0
(2y)y;
y yx1
1
注：先对u积分，再对v积分 1 y1 O x
更容易。
当 x 1 ,y 1 时 ,
yx
0
u1
F (x ,y ) f(u ,v)d u d v du 2dv1.
3. 说明
几何,上 zf(x,y)表示空间的一 . 个曲面
f(x,y)dxdy1,
表示介于 f (x, y)和 xOy 平面之间的空间区域的全部 体积等于1.
P {X (,Y ) G } f (x ,y )d x d y ,
G
P {(X,Y) G }的值G 等 为,于 以 底以 曲 zf(面 x,y) 为顶面.的柱体体积
对于任意固定的y, F (,y ) liF ( m x ,y ) 0 , x