C
A力矩 Md
2 0


2 0
1 l mgl cos d mg 2 2
mg
由刚体定轴转动的动能定理
1 1 1 2 2 2 A力矩 J J 0 J 2 2 2 mgl mgl 3g l 1 2 mg J 1 2 J l 2 2 ml
作业题：3.7
F mg kxm
F mg xm k
1 2 ( F mg )2 E p kxm 2 2k
?
1 2 由质点系的功能原理： ( F mg ) xm kxm 2 2( F mg ) xm 得： k
1 2 2( F mg )2 E p kxm 2 k
4.已知：匀质杆M 子弹 m 求： 撞击后瞬间匀质杆的质心速度 c 解： 对M,m 系统 系统动量守恒 ? M 轴外 0 设杆长为 l
系统角动量守恒
水平速度 v0 从下缘射入不复出
v ?
O
l
M
1 2 mv0l (ml Ml ) m 3 3m v0 v0 3m M l 是否动量一定不守恒？ 3mv0 l vc 有没有特例？ 2 2(3m M )
h h
系统的总角动量为
L Rmv1 Rmv2
v1
v2
：
：
m1
m2
左边小孩向上的速度；
右边小孩向上的速度；
此系统所受外力矩只有两个小孩所受重力矩，二者大小相等， 方向相反，彼此抵消，系统角动量守恒。
设两个小孩起初都不动
v10 v20 0
以后，虽然 v1 ,v2 不再为零，但总角动量继续为零（角动量守 恒），即 v1 , v2 随时保持相等，所以他们将同时到达滑轮。 若两个小孩重量不等， 系统所受外力矩 系统总角动量
1 1 2 A外 Ek J 2 J 12 2 2
系统所受的对某一固定轴的合外力矩为零时， 系统对此轴的总角动量保持不变
(5) 机械能守恒定律
只有保守力做功时，
Ek E p 常量
三、题型以及例题
求特殊形状刚体的转动惯量
刚体转动定律以及牛顿第二运动定律的应用 刚体定轴转动的动能定律、机械能守恒以及角动量 守恒的应用
1 R R I 2 m2 ( ) 2 m2 ( ) 2 (3) 2 2 2
R/2
O`
由平行轴定理，半径为 R/2 的小圆盘对 O 点的转动惯量为
1 m2 m (4) 式中小圆盘的质量 3 13 总转动惯量 I I1 I 2 mR 2 24
2. 均匀圆柱体，在水平恒力 F 作用下做纯滚动，下列说法
(B)摩擦力一定与 F 同向，
3. 一长为 l 质并可绕其转动 . 由于此竖直放 置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时， 细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动 .试计 算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度 . 解 细杆受重力和
J11 J 22 ( J1 J 2 ) J11 J 2 2 共同角速度
J1 J 2
L0 L C
1
2
啮合过程机械能损失： 1 1 1 2 2 2 ( J J ) ( J J ) E E0 E 2 1 1 2 2 2 2 1 2 J1 J 2 (1 2 ) 2 2( J1 J 2 )

1. 从一个半径为 R 的均匀薄圆板上挖去一个半径为 R/2 的圆板，所形 成的圆洞的中心在距圆薄板中心 R/2 处，所剩薄板的质量为 m 。求此时薄 板对通过圆中心与板面垂直的轴的转动惯量。
半径为 R 的圆盘对 O 点的转动惯量为
R
O
1 I1 MR 2 (1) 2 1 式中整个圆盘的质量 M m m (2) 3
l 1 2 选O点为重力势能零点 0 mg J 2 2 mgl mgl 3g 1 2 J l ml 3
mg
9.
一个质量为 m1，长为
L 的均匀细杆。一端固定于
水平转轴上，开始使细杆在铅直平面内与铅直方向
成 60 0 角，并以角速度 0 沿顺时针转动。当细杆 转到竖直位置时，有一质量 m2 的细小油灰团以速 度 v 0水平迎面飞来，并与细杆上端发生完全非弹性 碰撞。碰撞后细杆再次转到与铅直方向成 60 0 角时 角速度为多大？

d
0 0

3g cos d 2l
3g sin l
3g l
8. 一细杆的质量为m，长为l， 一端支以枢轴而能自由旋转，设 此杆自水平静止释放，求：当杆过铅直位置时的角速度。 N 解二： 1 O m l M mgl cos
2
考虑杆从水平静止转到铅直位置 的过程，角速度从0 - ω ┴
3g 1 2L
2 0
0
60 0
v0
O
第二阶段，细杆在铅直位置与油灰团发生完全非弹性碰撞。
取细杆与油灰团为一系统，在碰撞过程中所受的合外力矩
为零，所以系统的角动量守恒。设顺时针方向为正方向， 于是有
J 1 m2 v0 L ( J m2 L )2
2
J 1 m2 v0 L 2 J m2 L2 12.5 s 1
0
60 0
v0
O
解：整个运动过程可分为三个阶段。第一阶段，细杆由初
始位置转到竖直位置时，取细杆和地球为一系统，设
O 点为重力势能零点。由于转轴的支持力不做功，
所以系统的机械能守恒。则有
1 L 2 0 E1 J 0 m1 g cos 60 2 2 L 1 2 E2 m1 g J 1 2 2 1 2 J m1 L 3 由 E1 E2 得
8. 一细杆的质量为m，长为l， 一端支以枢轴而能自由旋转，设此 杆自水平静止释放，求：当杆过铅直位置时的角速度。 N 解三： O m l 因为在转动过程中，N不作功， 重力是保守力，所以系统的机械 C 能守恒。
E 恒量 1 1 2 (mghc mv J 2 ) 2 2
M
l
碰撞时刻，角动量守恒
1 2 mlv0 J mlv Ml mlv 3
3m(v0 v) Ml
2
（2）若子弹嵌入棒中，求棒的最大旋转角 碰撞时刻，角动量守恒
1 2 mlv0 J m l M m l 3

棒旋转过程，机械能守恒
铰链对细杆的约束力 F N
作用，由转动定律得
1 mgl sin J 2
1 2 式中 J ml 3 3g sin 得 2l
由角加速度的定义
d d d d dt d d t d
代入初始条件积分 得
3g d sin d 2l
3g (1 cos ) l
2
c
vc ?
（1）若子弹穿棒而过，速度为 ，求棒的旋转角速度
5. 由一根长为 l ，质量为 M 的静止的细长棒，可绕其一端在水平面内转动。 若以质量为 m ，速率为 0 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射向棒的 另一端。 O
（2）若子弹嵌入棒中，求棒的最大旋转角
以 m , M 为系统，以 O 为参考点。 v m
m1 m2 M 合外 （m2 m1 ) gR L (m1v1 m2v2 ) R
dL （m2 m1 ) gR dt
仍设起初两个小孩都不动， v10 由角动量定理 若 m1 m2 ,
v20 0
M 合外
轻的升得快
dL 0 有 m1a1 m2a2 0, a1 a2 , 即v1 v2 dt dL m1 m2 , 0 有 m1a1 m2a2 0, a1 a2 , 即v1 v2 dt
类似的例题
由一根长为 l ，质量为 M 的静止的细长棒，可绕其一端在 水平面内转动。质量为m、速率为 v0 的木块，水平面内碰 竖直杆的另一端再返回，木块碰后速度减少一半。求棒的 最大旋转角？
o
1）碰撞时刻，角动量守恒
2）棒旋转过程，机械能守恒
l
v0
6. 两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分别 为 1 、2，求两飞轮啮合后共同的角速度 。啮合过 程机械能损失。 J1 J2 解：两飞轮通过摩擦达到共同速度,合 外力矩为0，系统角动量守恒。
7. 两个同样重的小孩 ，各抓着跨过滑轮绳子的两端。一 个孩子用力向上爬，另一个则抓住绳子不动。若滑轮的质量 和轴上的摩擦都可忽略，哪一个小孩先到达滑轮处？若两个小 孩重量不等，情况又如何？ 解：把每个小孩看成一个质点，以滑轮的 轴为参考点，把两个小孩和滑轮看成系统。 R 规定向里为角动量和力矩的正方向。
3 13.1 s 1
0
60 0
v0
O
10. 质量为 m，半径为 R 的均匀圆柱体沿倾角为θ的粗糙斜 面，在离地面为 h0 处从静止开始无滑下滚（纯滚动）。 试求： 1 ) 圆柱体下降到高度为 h 时它的质心速度 vc 和转动角速度； 2）最大静摩擦系数应满足的条件。
y
R
解: 对圆柱体进行受力分析
f
h0
m
r
N

A
h
选A为瞬时转动中心，转动惯量为： 3 2 J mR vc 2 转动定理：
x
mg
由 A 点瞬时速度为零，对于质心有：
3 mgR sin mR 2 2
A c R 0, vc R, ac R
力学部分习题（二）
姜桂铖 2015.4.10
刚体的定轴转动
一、描述刚体定轴转动的物理量
角位移 角速度 角加速度
2 1 d
v2 角量和线量的关系 v r , at r , an v r 2 2 J r J mi ri 转动惯量 dm