ﻩﻩﻩ
即ﻩﻩ
从而有
ﻩﻩﻩ
对 两边取行列式,有
ﻩ
若A可逆, ,故 ，于是有
若Ａ不可逆，则 , 的秩小于或等于1,故 ,仍有
ﻩ
（2）对 两边取行列式,有
ﻩ
若A可逆，所以 ,从而有 ,于是可知
ﻩﻩﻩ
若A不可逆,则
例７设A、B是同阶方阵,已知B是可逆矩阵,且满足 ，证明A和 都是可逆矩阵,并求它们的逆矩阵．
ﻩ
ﻩﻩﻩ
故
ﻩ
(６)因为 ,故Ａ可逆,并且

ﻩﻩﻩ
类似于(5)可知 的代数余子式为 ，故
例2设A是ｎ阶非零矩阵，并且Ａ的伴随矩阵 满足 ，证明A是可逆矩阵．
证根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式,有
ﻩﻩﻩ
反证,假设A不可逆，故有 ，由上式及条件 ,有
ﻩﻩ ﻩﻩﻩﻩ（2-6）
ﻩﻩ
故ﻩ 是可逆矩阵.
ﻩﻩﻩﻩ
ﻩﻩ
故ﻩﻩ
同理可证ﻩ .
（2）因为
ﻩﻩﻩﻩﻩﻩ
ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ
故
同理可证ﻩ .
可逆矩阵判定典型例题
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典型例题(二）方阵可逆的判定
例1设A是n阶方阵,试证下列各式：
（1)若 ,则 ;
(２）若Ａ、B都是n阶可逆矩阵,则 ;
（3) ；
（4）若 ，则 ；
ﻩﻩ
因此有
ﻩﻩﻩ
ﻩﻩﻩﻩ
ﻩﻩﻩﻩ
所以ﻩ
故 是不可逆矩阵．
例5设A是ｎ阶方阵且对某个正整数k满足 ,证明 是可逆矩阵,并求 .
证由于
ﻩﻩﻩ
故对于方阵A的多项式,仍有
注意到 ,故有
ﻩﻩﻩﻩ
因此 可逆，并且
例６设A是 阶方阵， 是A的伴随矩阵 的伴随矩阵,证明：
（1) ；
（2） .
证(1）利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系，有
证因为 ,由于
ﻩﻩ
所以 ,
因而有 可逆.
由ﻩ ﻩ可知
由ﻩ ﻩ可知 .
例8设Ａ、Ｂ均是n阶方阵，且 可逆,则 也可逆,并且
ﻩ
证考察两个矩阵的乘积
ﻩﻩﻩﻩ
ﻩﻩﻩﻩ
ﻩﻩﻩﻩ
因此 可逆,并且
ﻩﻩﻩ
例９设n阶矩阵A、Ｂ和 均可逆,证明：
（1） 也可逆，且
(2）
证(1）因为
ﻩﻩ
两边取行列式有
ﻩﻩ
因为A、Ｂ、 可逆,故 ﻩ 所以有
设矩阵Ａ为
ﻩ
由式(2－6)可知
ﻩﻩﻩ
ﻩﻩ
比较上式两边矩阵对角线上的元素有
ﻩﻩﻩ
故
因此有A=O,与A是n阶非零矩阵矛盾,故A是可逆矩阵.
例３设Ａ、B都是n阶可逆矩阵,证明:
ﻩ 的充要条件是
证必要性：因为
因此ﻩﻩ
即ﻩﻩﻩ
充分性:因为 ,故
ﻩﻩ .
例４设Ａ是一个ｎ阶方阵,n为奇数,且 ，证明 不可逆.
证因为 ,故
ﻩ
（３)设n阶方阵A为
ﻩﻩ
于是可得A的伴随矩阵 为
ﻩﻩ
注意到A的转置矩阵为
ﻩﻩ
可推出 的伴随矩阵为
ﻩﻩﻩﻩ
比较 与 可知
ﻩ
（4)因为 ,故A可逆，A的逆矩阵为 ，并且由 可知
ﻩﻩ
由于 , 可逆且 可得
ﻩﻩ
另一方面,由
ﻩﻩﻩ
由矩阵可逆的定义知, 可逆,并且
ﻩﻩﻩﻩ
（5)对于(3)给出的矩阵A,有
ﻩﻩ
即 的代数余子式为
（5) ;
（6）若 ,则 （l为自然数)；
(７) .
证（1）因为 ,故Ａ是可逆矩阵,且
ﻩ
两边同时取转置可得
ﻩﻩ
故由可逆矩阵的定义可知 是AT的逆矩阵.
即
ﻩﻩ
(２)利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有
ﻩ ﻩﻩﻩﻩﻩ（2-7)
另一方面
ﻩﻩ
ﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩ（2-８）
比较式(2－7)、(2－8）可知
ﻩﻩﻩ
又因为A、B均可逆,所以（AB）也可逆,对上式两端右乘 可得