确定性动态模型的数学处理
• 正问题—模型方程组的求解 • 逆问题—模型参数的估计 • 过程系统的定性分析
正问题—模型方程组的求解
• 所有的参数（包括设计、物性、传递和操作参数等）都已 给定，利用模型来预测系统的状态分布及其在时间域的运 动（变化）情况。
预测给定操作条件下系统的性能，对系统的操作性能 进行模拟；
dCA dt
F V
(CA, f
CA ) k0 exp(
E RgT
)C
A
dT dt
F V
(T f
T ) UA
VCp
(T
TC
)
(
H
Cp
)k0
exp(
E RgT
)CA
t o时，CA CA,0 ,T T0.
(3- 26) (3- 27) (3- 28)
• 对于任意给定的某一初始条件（3－28），利用适当的求 解常微分方程组初值问题的方法，可以得到式（3－26）、 （3－27）的数值解：
3.3 精馏塔的动态特性 3.3.1 动态数学模型 3.3.2 模型的数学处理与应用
3.4 变压吸附过程的模拟与分析
3.1 化工过程系统的动态模型
过程系统的动态特征
★动态特性是化工过程系统最基本的特性之一
间歇过程、连续过程的开停工、 连续过程本征参数依时变化、 控制系统的合成、过程系统局部与全局特性分析 利用人为非定常态操作强化过程系统性能和实现技术目标
Fo＝k·H
Fi
H Fo
图3-1. 敞口搅拌罐示意图
解答
质量累积速率＝质量流入速率－质量流出速率
质量累积速率＝d（V） A dH
dt
dt
Fi
质量流入速率＝ Fi
质量流出速率＝ Fo
A dH
dt
Fi
- Fo
H Fo
图3-1. 敞口搅拌罐示意图
dH Fi - k H dt A A
在这个空间内的一个点，表示一个状态，或者说定义了 一个状态向量，这个点也称为相点
相点的轨迹称为相轨线，简称轨线，它反映了从某个特 定的初始状态出发，状态演变的历史
由众多的轨线构成、反映了在所关心的状态变量变化范 围内，系统所有动态学定性特征的图形称为相轨线图， 简称相图
怎样获得相图
• 假定讨论单个一级不可逆反应A→B的特殊情况。这时， 只有一个着眼组分，设为A
模型化(Modeling)是现代化学工程方法论的重要组成部分， 尤其是过程动态学的核心。
模型的分类
•根据对过程系统中状态变量分布特征的不同描述方式：
集中参数模型 分布参数模型 多级集中参数模型
•根据建立模型的不同方法：
统计模型（经验模型） 确定性模型 （机理模型） 介于两者之间的半经验模型
根据对过程系统中状态变量分布特征的不同描述方式
• 对于一般的连续搅拌罐式反应器，除总物料衡算和组 分物料衡算外，还存在着伴随化学反应的热效应以及 反应罐本身的热衡算。
• 对于这种复杂的过程，是不太可能通过数学方法精确 求解的，一般要通过数值方法进行积分运算，方可求 得过程的解。
普遍性的CSTR问题
• 通常假定反应罐内处于 分子级理想混合，且为 液相均相反应，因此可 以认为反应混合物的温 度和组成在反应区里是 均匀的，
处理的是更一般的情况，模型普遍适用性更强。
化工过程系统确定性动态模型的数学表达形式
模型类型 集中参数模型 分布参数模型
模型表达形式 代数—常微分方程组 代数—偏微分方程组
多级集中参数模型 代数－常微分方程组
混合模型
上述二～三类模型的混合形式
应用例 理想搅拌罐反应器动态模型，等 填料塔、管式反应器动态模型等 板式塔动态模型，串连 CSTR 动 态模型，等 多个单元过程组合而成的系统
• 从不同的初始条件出发，仿照上述方法可以作出不同的轨 线。
• 由足够多的轨线就可以绘出相平面图。
A和B是局部稳定的，C是 不稳定的。 整个状态空间分为两部分： A的稳定域和B的稳定域。
在A的稳定域或者B的稳定域中，以任意一种状态 为开工状态，系统能自动达到该定常态A或B。
3.3 精馏塔的动态特性
(3 - 22)
在t 0时，ci ci,0 ,T T0 (3 - 23)
V
dci dt
F (ci, f
ci ) VRi
(3- 20)
VC p
dT dt
FC p (Tf
T ) UA(T TC ) V
N j
R j (H j )
(3 - 21)
Ri
i, j Rj
j
j
i,
j
R
j
C,
A表示反应液体与冷却剂之间的总传热面；
Tc表示冷却剂平均温度； 、Cp分别代表反应混合物的平均密度与比热容； （－Hj）表示第j个反应的热效应； Rj表示第j个反应的速率； Ri表示因化学反应引起的第i个组分浓度的变化速率
系统中化学反应速率
Ri
i, j Rj
j
j
i
,
j
R
j
C
,
T
初始条件的约束
第三章 化工过程系统动态模 拟与分析
3.1 化工过程系统的动态模型 3.1.1 化工过程系统的动态特性 3.1.2 化工过程系统的动态模型 3.1.3 确定性动态模型的数学处理
3.2 连续搅拌罐反应器的动态特性 3.2.1 动态数学模型 3.2.2 模型的数学处理与应用（Ⅰ） 3.2.3 模型的数学处理与应用（Ⅱ）
非线性过程系统的操作、设计和控制等工程实际问题， 定态多重性、定态稳定性、参数敏感性等系统定性分 析的内容；
诸如间歇过程的优化、变压吸附、变温吸附、化学反 应器强制周期操作等人为非定态操作技术的发展;
过程系统的动态模型
解决上述问题，最核心、最本质的知识，是如何科学地 描述过程系统动态特性的规律，这意味着必需选择或者建立 一种既能反映过程系统本质特性，又相对简单明了的数学模 型。
★动态特性还可以用于辨识某些系统的结构、过程的机 理和估计描述系统性能的模型参数，甚至作为诊断过程 系统运行故障的手段
精细化学品生产中: 间歇蒸馏、间歇反应、半连续 反应；
连续过程的开、停工阶段;
某些连续过程，由于催化剂迅速失活或者催化剂在系 统内循环的过程中次第经过处于不同操作条件的区域， 如循环流化床催化反应器中的过程和催化剂迅速失活 的固定床催化反应器中的过程；
H
-0.7
-0.5
0 1
0
5
10
15
20
25
Time
图3-2. 搅拌罐中液位高度随时间的变化关系图
例3－2：搅拌槽内含盐量的动态模型
Fi
初始情况是槽内盛有V0的水， 把浓度为Ci的盐水以恒定流量Fi加 入槽内，与此同时完全混合后的盐
水以恒定流量Fo排放，试求槽内盐 H
水浓度C的变化规律。
Fo
图3-1. 敞口搅拌罐示意图
t 0 t1 t2 ．．． tL．．． t CA CA,0 CA,1 CA,2 ．．． CA,L．．． CA,s T T0 T1 T2．．． TL．．． Ts 其中 下标S表示定常态（Steady State）
• 将CA和T的瞬时数据标注在相平面上并连成标注了运动方 向的光滑曲线就得到一条相轨线。
由统计、关联输入输出数据而得，表达方式简单， 只需少量计算就能得到结果
弱点:不能或者可以略作小范围的外推
• 确定性模型（机理模型）
通过对系统或者系统内某个微元，列出质量、能 量和动量守恒关系式，系统（或微元）内外质量、能 量和动量交换速率系数计算式，相关的相平衡关系， 化学反应速率表达式和化学反应平衡常数计算式。
• 模型参数估计就是为了确定参数向量µ的最优值，使限制 下的解最大限度地逼近已采集到的状态变量在不同时刻的 离散数据。
NM
Min F
i
(uid, j uic, j )2 f ( )
j
其中 F称为最优化的目标函数，或评价函数。 udi,j代表第i个状态变量在j时刻的采集数据。 uci,j代表第i个状态变量在j时刻的模型计算值，即在j
在化工生产中经常会遇到一些具有相似的多级系统， 最典型的就是多级串联的CSTR反应器和板式精馏塔。
◆ 逆问题—模型参数估计
★ 例1：已知一套管换热器，用120°C饱和水蒸 气加热水，水的流量，进、出口温度可测出， 求总传热系数K。
例2：对CSTR的开工过程
du f (u, )
dt t 0时，u u(0) u0
其中u、u0 分别代表任一时刻和起始时刻的状态向量， μ代表未知而且待估计的参数向量。
ln(Fi
-
kH)
-
k A
t
c
将初始化条件：t=0时，H=H0代入式，并化简可得：
H
1 k
((kH
0
kt
- Fi )e A
Fi )
排液量与时间的变化关系为：
kt
Fo (kH 0 - Fi )e A Fi
当 k 为不同值时 高度变化图
结论：不管 k 为 何值，最终会达 到一个近似的稳 定值，F0=Fi。
dV dt Fi - Fo
dC dt
Fi V
(Ci
- C)
积分并利用初始条件，得到 V (Fi Fo ) t V0
1 dC
Fi
dt
Ci C
(Fi Fo )t V0
积分得：ln(C i
-
C)
-
Fi
Fi
Fo
lnFi
-
Fo
t
V0
B
代入初始条件
Fi
C Ci - Ci V0Fi Fo
作盐水溶液的总物料衡算关系，有：