§6 确定隶属函数的方法综述
一、确定隶属函数的几种主要方法
1.F统计方法 确定“青年人”的隶属函数.
以年龄为论域 U , A是“青年人”在 U上的F集. 选取u0 27岁, 用F统计实验确定u0对A的隶属度. 选择若干（n）合适人选，请他们写出各自认为 “青年人”最适宜、最恰当的年限，即将模糊概念 明确化。
隶属频率
m/n
0.6 0.7 0.77 0.78 0.78 0.76 0.76 0.78 0.76 0.76 0.75 0.79 0.78
m A(27) 0.78 n 将论域U分组,每组以中值为代表，分别计算各组
隶属频率.(见表2 2)
表2-2 分组计算隶属频率（实验次数129）
分组
频数 隶属频率
1
33.5~34.5 26 0.202
22.5~23.5 129
1
34.5~35.4 26 0.202
23.5~24.5 129
1
35.5~36.5 1 0.008
24.5~25.5 128 0.992
连续描出图形，可得到“青年人”隶属函数曲线。
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0 15 20 25 30 35
设进行了n次试验,第k次试验的映射为ek .
令
aik
(u)
1 0
ek (u) Ai ek (u) Ai
aik (u)为元素u在第k次试验划归Ai的次数
u对Ai的隶属频率
Ai
(u)
1 n
n
aik
(u)
k 1
m
Ai
i 1
(u)
m1 i 1n
n
aik
(u)
k 1
1 n
m
n
aik
i 1k 1
(u)
0 b x
1
0a
x
1
0 ab
x
(2)半梯形分布与梯形分布
①偏小型
1 xa
1
A( x)
b b
x a
0
a xb b x
0
ab
x
②偏大型
0
A(
x)
x b
a a
xa a xb
1
1 b x
0 ab
x
③中间型
0
x
a
A(
x
)
b
1
a
d x d c
0
xa a xb b xc c xd dx
17.5~18.5 124 0.961 29.5~30.5 77 0.597
18.5~19.5 125 0.969 30.5~31.5 27 0.209
19.5~20.5 129
1
31.5~32.5 27 0.209
20.5~21.5 129
1
32.5~33.5 26 0.202
21.5~22.5 129
类似地
A3( x) P{ x}
x
P ( x)dx
其中P ( x)和P ( x)分别是随机变量和的概率密度，即
A2( x) 1 A1( x) A3( x) 按概率方法计算，得
A1
(
x)
1
x a1
1
A3
(
x
)
x
a2
2
从而
这里
பைடு நூலகம்A2
(
x
)
x
a1
1
x
a2
2
x
( x)
若n次实验中覆盖27岁的年龄区间的次数为m，
则称m/n为27岁对于（青年人）的隶属频率。
表2-1 27岁对（青年人）的隶属频率
实验次数n 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130
隶属次数m 6 14 23 31 39 47 53 62 68 76 85 95 101
1
t2
e 2 dt
2
用这种方法确定三相隶属函数的方法，叫做三分法.
3.F分布 实数R作为论域的情况. 实数R上F集的隶属函数称为F分布.
列出典型F分布, 根据问题性质选择适当分布.
(1)矩形分布或半矩形分布
1 ①偏小型
A(
x)
1 0
xa xa
0a
x
②偏大型
A(
x)
0 1
xa xa
③中间型
0 x a A( x) 1 a x b
分组
频数 隶属频率
13.5~14.5
2
0.016 25.5~26.5 103 0.798
14.5~15.5
27 0.210 26.5~27.5 101 0.783
15.5~16.5
51 0.395 27.5~28.5 99 0.767
16.5~17.5
67 0.519 28.5~29.5 80 0.620
A(u0 )
区 别：
若把概率统计比喻为“变动的点”是否 落在“不动的圈”内，
则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否 盖住“不动的点”.
二相F统计: 设有二相集P2 { A, Ac }
每次F试验确定一个映射： e : U P2 这是对U的一次划分,是两个相反的模糊概念 在U中竟选的结果。隶属函数A(u)与Ac (u)满足
即
e(
,
)(
x)
A1( A2 (
x) x)
x x
A3( x) x
概率P{ x }是随机变量落在区间[ x,b)的可能大小.
若x增大，则[ x,b)变小，从而落在区间 [ x,b)的可能性
也变小. 概率P{ x }的这个特性与矮个子F集相同 .
所以有
A1( x) P{ x } x P ( x)dx
1 0a b c d x
: 矮个子与中等个子的分界点
:中等个子与高个子的分界点
矮个子,中等个子和高个子的区间是随机区间,
从而和是随机变量.它们服从正态分布.
~
N
(a1
,
2 1
),
~
N
(a2
,
2 2
)
A1( x)
A2( x)
A3( x)
0
a1
a2
x
数对( , )确定映射
e( ,) : U { A1, A2, A3}
1 n
nm
aik
k 1i 1
(u)
1 n
n
1
i 1
1 n
•
n
1
2.三分法 用随机区间的思想处理模糊性（模糊性的清晰化）
建立矮个子A1 ,中等个子A2 ,高个子A3的隶属函数 设 P3 { A1, A2, A3}, U [0,3] (单位：m) 每次F试验确定U的一次划分,每次划分确定 一对数（ ,）.
u U , A(u) Ac (u) 1
多相F统计: 设有多相集Pm { A1, A2 , , Am } Ai F (U ) i 1,2 m.每次试验都确定一个映射
e : U Pm 多项F统计的结果,可确定各相在U上的隶属函数 它们满足
u U , A1(u) A2(u) Am (u) 1
岁
上述F统计试验说明了隶属程度的客观规律.
中年人
F统计与概率统计区别：
随机试验： 在每次试验中，A是确定的，
基本事件是随机变动的. 做n次试验
A发生的频率 “ A”的次数 P( A)
n
F统计试验：在每次试验中，u0是确定的， 集合A 是随机变动的 . 做n次试验
u0 对A的隶属频率
“u0
A”的次数 n