假设共有5000个 DD 为2.33的企业，在一年后有50个企业违约，则：
50 经验违约率 = = 1% 5000
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二、KMV模型的信用资产 组合管理方法
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信用资产收益率的估计
在缺少信用资产收益的历史数据和信息时，要计算给定事件范围内信 用资产组合中第 i 种信用资产的预期收益率 Rit ，可以用下面公式：
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KMV公司的预期违约率
当假定资产价值服从几何布朗运动时，将违约距离DD代入累计标准 正态分布函数Φ（·）中，即的预期违约率EDF = Φ（-DD） 介绍两种更为一般的计算预期违约率EDF的方法： 一是基于资产价值分布（如正态分布）的EDF的计算，称为理论EDF 二是基于历史违约数据的EDF的计算，称为经验EDF
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资产价值
股权价值 S 可用下式表示：
S t = h (V t , σ V , r , D , τ )
即股价 S 由公司资产价值 V、公司资产收益率波动系数 σV、无风险利 率 r、负债 D 和到期期限 τ （τ = T – t，T 为到期日，t 为当前时刻）决 定 其中参数S、r、D、τ的值可以通过市场直接观察到 显然，要确定 V 和 σV，还需要另外一个关系式。KMV公司找到了可 观察到的公司股票收益率的波动系数 σS 和不可观察到的公司资产收益 率的波动系数 σV 之间的关系式，可用一般形式表示为：
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第二步：违约距离（DD）的计算
按照Merton（1974）模型的假设，公司的资产价值 V 服从几何布朗运 动，即
dV t = µ d t + σ dZ t , dZ t = ε dt Vt σ2 于是： Vt = V0 exp ( µ − )t + σ tε 2
我们假设企业只有一种负债，所以可直接用到期时的债务价值 D 近似 代替临界值 VDEF，用以计算违约概率 PD，即
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例：经验EDF的计算
某公司当前资产的市场价值为V0 = 1000万元，资产的每年增长率预计 为20%，公司资产价值的波动性为100万，公司1年后的违约临界值为 967万 于是：
VT − V DEF 1.2 × 1000 − 967 DD = = = 2.33 σ 100
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信用资产风险的计量
信用资产组合中第 i 种信用资产的风险，可以用信用资产损失率的标 准差，即未预期损失率 RULi 来度量， RULi 反映了信用损失率的不确 定性程度 未预期损失率RULi 的计算如下：
R U L i = D i (η i × L G D i )
其中， Di (ηi × LGDi ) 表示第 i 种信用资产损失率 η i × LGDi 的标准差 ， ηi 即KMV模型计算的预期违约率（EDFi）
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第十五讲 KMV模型
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KMV模型
信用监控模型（Credit Monitor Model），即KMV模型，是基于Merton （1974）提出的运用期权定价理论对风险债券和贷款等非交易性信用 资产进行观测和估值的模型 该模型运用期权定价思想，通过可观测的公司股市价值来推测公司资 产价值以及资产收益的波动性等，据此估计公司的违约概率 KMV模型的基本思想是：债务人的资产价值变动是驱动信用风险产生 的本质因素，所以只要确定了债务人资产价值变动所遵循的规律和模 型（例如服从某个随机方程），就可实现估计违约率的目的 KMV模型最适用于上市公司，首先由股票市场公开的数据和信息来确 定公司权益的价值，再据此确定公司资产的价值，进而估计违约率 当然，KMV模型是建立在债务人公司股票价格被正确评估的基础上， 如果不能正确评估股票价格或者股票市场处于非正常情形时，基于 KMV模型的结论就可能产生较大偏差
事实上，公司的所有者权益本质上是对公司资产的或有索偿权 当债务到期时，公司资产价值 VT 大于借款 D，公司偿还债务以后， 股权所有者将保有资产的的剩余价值为 VT – D，而且公司资产价值越 大，股权所有者所保有的资产剩余价值就越大；否则，公司的股权所 有者将无法偿还贷款，在经济上失去清偿能力 因此，我们可以将公司股权所有者持有的股权价值 ST 看作是一份执 行价格为 D 的公司资产的欧式看涨期权 于是，只要确定了资产价值服从的随机方程，就可以利用期权定价方 法得到股权价值
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KMV公司的违约距离（DD）
由于公司资产价值并不一定服从几何布朗运动，公司资本结构的简化 也会导致估测的失真，所以KMV公司给出了一个直接计算距离的方法 ，即
VT − VDEF DD = σ
其中，VT 表示 T 时的预期资产价值，VDEF仍为 T 时的违约临界值， σ 表示 T 时段内资产价值的波动系数
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理论EDF的计算
假设某公司年初的违约距离 DD 为2.33，且公司资产价值分布服从正 态分布 于是，若该企业下一年违约，那么资产价值将在违约临界值 VDEF 的基 础上下降2.33个标准差 也就是说，公司在下一年的资产价值将在违约临界值 VDEF 的基础上降 低2.33个标准差的概率为：
Rit = (价差i + 收费i ) − 预期损失率i = (价差i + 收费i ) − （EDFi × LGDi）
其中，收益率的第一部分是这项信用资产的收益率超过某基准利率（ 如LIBOR）的那部分价差，再加上预期给定时间段内（如1年）可直 接从这项资产中赚取的各项收费，然后再减去信用资产的预期损失率 EDFi 可运用前面的KMV模型来计算 LGDi 可用利用评级公司的数据来计算，也可以直接利用银行内部的 数据库来计算
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σ2 PD = P (Vτ < D ) = P (Vt exp(( µ − )τ + σ τ ε ) < D ) 2 2 σ ln(Vt D ) + ( µ − )τ 2 ) = Φ (− d ) = P (ε < − 2 2 σ τ σV ln(Vt D ) + ( µV − )τ 2 违约距离（DD）为： DD = d = 2 σV τ
η S ,V =
∆S S
∆S ∆V ∆V ⇒ = η S ,V ⇒ σ S = η S ,V σ V V S V
其中， ηS,V 由下式计算可得：
η S ,V =
∂S V V = Φ ( d1 ) ∂V S S
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计算V和σV
利用上面两式，可以计算V和σV
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相关性的观测
关于信用资产组合中任何两种资产之间的相关系数 ρij 的估计，可以应 用前面基于多因素股票收益率模型的相关系数的计算方法得到
Jeffrey 量与边际风险贡献量分析
设信用资产组合为X = （x1，x2，…，xn），x1 + x2 + … + xn = 1 利用计算给出的资产 i 和资产 j 之间的相关系数 ρij ，就可以得到信用 资产组合 X 的协方差矩阵 ∑ = （∑ij）n×n，其中
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第三步：利用违约距离推导出预期违约率
当假定公司资产价值服从几何布朗运动时，利用公式：
2 σV ln(Vt D) + ( µV − )τ 2 DD = σV τ
代入公式：
P D = Φ (− d 2 )
即得到预期违约率：
EDF = Φ (− DD)
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St = Φ(d1 )Vt − De − rτ Φ(d 2 )
其中：
d1 =
ln(V0 / D ) + (r + 1/ 2σ 2 )τ
σ τ ln(V0 / D) + (r -1/ 2σ 2 )τ d 2 = d1 − σ τ = σ τ
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函数 g（·）的确定
关于函数 g（·）的确定，可利用股权价格关于资产价值的弹性 ηS,V 公 式得到，即有
Φ ( − D D ) = Φ ( − 2.33) = 1%
该概率即为理论违约率
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经验EDF的计算
假设拥有大量的企业违约与不违约的历史数据和信息，可以估计出期 初在某给定违约距离 DD 的所有企业中，在期末 T 时实际发生违约的 企业比例数，即
期初违约距离为DD、期末发生违约的企业数目 经验EDF = 期初违约距离为DD的企业总数
∑ij = RULi ρij RUL j
进而得到信用资产组合 X 的风险或未预期损失 UCL
UCL = X T ∑ X
利用上式可以得到第 i 种信用资产的边际风险贡献量 MRCi：
MRCi = xi
∂UCL ∂xi
银行可以用第 i 个借款人的边际风险贡献来确定是否向该借款人发放 贷款、发放额度以及发放贷款所需要的经济资本等
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一、KMV模型运用程序
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KMV模型的运用步骤
第一步，公司资产价值和资产收益率波动性的估计 第二步，违约距离的计算 第三步，利用违约距离推导出预期违约率
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第一步：资产价值和资产收益率波动性的估计
σ S = g(σV )
通过上面两式即可求得V 和 σV，问题是函数 h（·）和 g（·）的形式如 何确定
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函数 h（·）的确定