静安区2019学年第二学期教学质量检测高三数学试卷参考答案与评分标准一. 1．31； 2．2-； 3．20； 4．()2,2-；5．2021； 6．4； 7．π； 8．0；9．5.26； 10．1； 11．41．二、12．B ．13．A ．；14．C ．三、15．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题满分7分）如图所示，圆锥的底面⊙O 半径为2，A 是圆周上的定点，动点B 在圆周上逆时针旋转，设()πθθ20<<=∠AOB ，C 是母线SB 的中点．已知当2πθ=时，AC 与底面所成角为515arctan． （1）求该圆锥的侧面积；（2）若⊥AC OB ，求θ的值． 解：（1）OB OA AOB ==∠,2π，设D 为OB 中点，联结CD ，则SO CD //．SO ⊥Q 平面AOB ，CD ∴⊥平面AOB ，515arctan=∠∴CAD ， ……………..2分 在Rt AOD ∆中，2,2π=∠=AOD OA ，得5=AD ． ……….1分 得⨯=5CD 3)515tan(arctan=，32=SO ，．……….1分 故，4=SA ． ………………..1分.842221ππ=⨯⨯⨯=S …………..2分 （2）解法一：如图建立空间直角坐标系xyz O - ...1分则()0,0,2A ，()0,sin 2,cos 2θθB ，()32,0,0S ，()3,sin ,cos θθC ，()3,sin ,2cos θθ-=AC ，()0,sin 2,cos 2θθ=OB ． ……….2分由题意，21cos 0=⇔=⋅θOB AC ……….2分πθ20<<Θ，.353ππθ或=∴ ……….2分DDxyzE解法二：设D 为OB 中点，联结CD ，则SO CD //．OB CD ⊥∴． ……….2分 又⊥AC ΘOB ，可得⊥OB 平面ADC OB AD ⊥⇒，AB OA =∴． ……….2分 AOB ∆∴是等边三角形． ………1分故，3πθ=或35π． ……….2分解法三：设E 为SO 中点，联结CE ，AE ，CE AC ⊥∴． ………1分 设D 为OB 中点，联结CD ，AD ，AD CD ⊥∴． ………1分在ADO ∆中，由余弦定理，有θcos 452-=AD ， ………1分所以，在ADC Rt ∆中，θcos 482-=AC ．在AOE ∆中，有72=AE ，所以，在ACE Rt ∆中，222CE AC AE +=，即得21cos =θ． ………2分πθ20<<Θ，.353ππθ或=∴ ………2分16．（本题满分14分；第1小题6分，第2小题8分）若函数()()sin (0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>>≤<满足下列条件：①()f x 的图像向左平移π个单位时第一次和原图像重合；对任意的R x ∈都有()26f x f π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭成立． （1）求()f x 的解析式；（2）若锐角ABC ∆的内角B 满足()1f B =，且B ∠的对边1b =，求ABC ∆的周长l 的取值范围． 16．解：（1）由题意，可得最小正周期T π=，由2T ππω==，解得2ω=． ………………..2分()26f x f π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭Q ，2A ∴=， ………………..2分2262k ππϕπ+=+g ，26k πϕπ∴=+，（Z k ∈） 又0ϕπ≤<Q ，6πϕ∴=． ………………..2分故()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）2sin 216B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭Q ，3B π∴=， ………………..1分又02B A ππ<--<Q ，02A π<<， 62A ππ∴<<．………………..1分sin sin sin 3b a c B A A ππ==⎛⎫-- ⎪⎝⎭Q，22sin A a c π⎛⎫- ⎪∴==22sin 12sin 16A l A ππ⎛⎫- ⎪⎛⎫∴=+=++ ⎪⎝⎭．………………..4分 2,633A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Q ．所以，周长(1l ⎤∈⎦． ………………..2分17．（本题满分19分，第1小题5分，第2小题7分，第3小题7分）已知抛物线Γ：24y x =的焦点为F ，若ABC ∆的三个顶点都在抛物线Γ上，且0FA FB FC ++=u u u r u u u r u u u r r，则称该三角形为“核心三角形”．（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为(0,0)和(1,2)？请说明理由； （2）设“核心三角形”ABC 的一边AB 所在直线的斜率为4，求直线AB 的方程； （3）已知ABC ∆是“核心三角形”，证明：点A 的横坐标小于2． 解：（1）第三个顶点的坐标为3(1,0)(0,0)(1,2)(2,2)--=-．但点(2,2)-不在抛物线Γ上所以这样的“核心三角形”不存在．（反证法叙述同样给分） ………………..5分 （2）设直线AB 的方程为t x y +=4，与24y x =联立，得02=+-t y y ． …..2分设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y.241)2(41,1212121tt y y x x y y -=-+=+=+ 由()()123123,3,0x x x y y y ++++=得41123+=t x ，31y =-．……………..3分代入方程24y x =，解得5m =-，所以直线AB 的方程为450x y --=．…..2分 （3）设直线BC 的方程为x ny m =+，与24y x =联立，得2440y ny m --=．..1分因为直线BC 与抛物线Γ相交，故判别式()2160n m ∆=+>． ……………..1分234y y n +=，所以，22342x x n m +=+．点A 的坐标为()2423,4n m n --+-， 又因为点A 在抛物线Γ上，故221616812n n m =--+，得2342m n =-+．2m n >-Q ，212n ∴<． 故，点A 的横坐标22224234842n m n n n --+=-+=<． ………………..5分 注：（3）也可以用反证法证明，同样给分． 18．（本题满分19分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题7分）设数列{}n a 的每一项均为正数，对于给定的正整数k ，k n n n a a b +⋅=)N (*∈n ，若{}n b 是等比数列，则称{}n a 为)(k B 数列．（1）求证：若{}n a 是等比数列，则{}n a 是)(k B 数列； （2）请你写出一个不是等比数列的)1(B 数列的通项公式；（3）设{}n a 为)1(B 数列，且满足3122a a a ⋅=，请用数学归纳法证明：{}n a 是等比数列．解：（1）设{}n a 是公比为q 的等比数列，对于给定的正整数k ，k n n n a a b +⋅=)N (*∈n ，k n n n a a b ++++⋅=∴111．02111>=⋅⋅=+++++q a a a a b b kn n kn n n n ． 又，0111>⋅=+k a a b ． 所以{}n b 是等比数列．故{}n a 为)(k B 数列． ………………..6分（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-==--kn q a k n q a a k k n 2,,12,1211（q a a 2122≠）．（答案不唯一）………………..6分简洁的例子如：⎩⎨⎧=-==kn k n a n 2,2,12,1)N (*∈k ． （3）因为{}n a 为)1(B 数列，所以，{}n b 是等比数列，其中1+⋅=n n n a a b )N (*∈n ，nn n n n n n n a aa a a ab b 21211+++++=⋅⋅=∴)N (*∈n ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴+n n a a 2)N (*∈n 是常数列，设常数为2q ，即22q a ann =+)N (*∈n ．以下用数学归纳法证明（一）221++⋅=n n n a a a )N (*∈n ．（i ）由已知3122a a a ⋅=，可得当1=n 时命题成立． ………………..1分 （ii ）假设1-=k n )2,N (≥∈*k n 时命题成立，即，112+-⋅=k k k a a a ．…..1分当k n =时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a a 2Θ)N (*∈n 是常数列． ………………..2分 112-++=∴k k k k a a a a )2,N (≥∈*k k ， 211122+-++=⋅=⋅∴k k k k k k a a aa a a ． ………………..2分等式也成立．根据（i ）和（ii ）可以断定，221++⋅=n n n a a a 对任何*∈N n 都成立，即{}n a 是等比数列． ………………..1分令nn n a a c 1+=，以下用数学归纳法证明（二）q c n =)N (*∈n ． （i ）3122a a a ⋅=Θ，1223a a a a =∴，221213q a a a a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴，q a a =∴12，即，q c =1． 故，当1=n 时命题成立． ………………..1分假设k n =)1,N (≥∈*k k 时命题成立，即q c k =（q a a kk =+1）．………………..1分（ii ）当1+=k n 时，q a a q a a a a a a c k k k k k k k =⋅=⋅==+++++21212121． …………..4分 等式也成立．根据（i ）和（ii ）可以断定，q c n =对任何*∈N n 都成立，即{}n a 是等比数列．…………..1分注：其它表述方法同样给分．。