= z / z
↓ P s +P f =1
Pf
Ps
↑ P f =1- ( )
结构可靠指标
Z R S
Z
2 R
2 S
§8.2 中心点法
§8.2.1两个正态分布随机变量的模式
对于大多数问题不存在解析解，人们通常采用一些近似方 法来求出结构的可靠指标。
当R、S 相互独立，且均服从正态分布时，则Z＝R－S 也
公式 p f 1 推导
失效概率
Pf
PZ
0
0
f
Z dZ
0
Z
1
2
e
1 2
Z
Z
Z
dZ
令 X Z Z Z
Z Z
Pf
令 Z Z
pf
1
1X 2
e 2 dx
2
1
1 X 2
e 2 dx 1
2
1
1 X 2
e 2 dX
2
1
§8.2 中心点法
§8.2.1两个正态分布随机变量的模式
§8.2 中心点法
§8.2.1两个正态分布随机变量的模式
中心点法： 只适用于基本变量为正态分布、功能函数 为线性的情况
失效概率 Pf
PZ
0
0
f
Z
dZ
0
Z
1
2
e
1 2
Z Z
Z
dZ
令 Z Z
Pf
1
2
1
e2
X
2
dx
1
1
1X 2
e 2 dX
2
1
§8.2 中心点法
§8.2.1两个正态分布随机变量的模式
（2）大多数电子和机械部件是大批量生产，并且名义 上可假定是相同的，可用相对频率来解释失效概率。但对于 土木工程结构，现场施工而成，并非是大批量生产。用相对 频率来解释失效概率的处理方法显然是不合适的。
§8.1 可靠度的基本概念
工程结构设计大致可以分为两个步骤： 第一步是选择合理的结构方案和型式， 第二步是设计结构或构件截面 １）选择合理的结构计算模型（计算简图）； ２）荷载与内力计算及荷载效应组合 ３）结构或构件截面设计与验算； ４）确定合理的截面尺寸与材料用量等。
➢ 可靠指标可以表达为
z ln R lnS
z
2 ln R
2 ln
S
ln( R S
1 1
2 S 2 R
)
ln(1
2 R
)
ln(1
2 S
)
➢ 可靠指标简化表达为
z
ln R
ln
S
z
2 R
2 S
§8.2 中心点法
§8.2.3多个随机变量服从正态分布的情况
该法首先将结构功能函数在随机变量的平均值（中心点） 算用泰勒级数展开并取线性项，然后近似计算功能函数的 平均值和标准差。可靠指标直接用功能函数的平均值和标 准差之比表示。 设结构的功能函数为
功能函数为非线性函数时，则设法对其进行线性化处理。
具有这种特点的方法称为一次二阶矩法（FOSM）。
§8.2 中心点法
§8.2.2两个对数正态分布随机变量模式
➢ 假定抗力R和荷载效应S相互独立且均服从对数正态分布， 这时结构功能函数可以写成
z ln R ln S
z
2 ln R
2 ln
S
➢ 可靠指标为
➢ 可靠度：是对结构可靠性的概率度量，即结构在规定的 时间内，在规定的条件下，完成预定功能的概率。
§8.1 可靠度的基本概念
§8.1.1 可靠度的定义
结构在规定的设计使用年限内应满足下列功能要求：
1、在正常施工和正常使用时，能承受可能出现的各种作用
2、在正常使用时具有良好的工作性能
3、在正常维护下具有足够的耐久性
效概率
P s +P f =1 → P f =1- P s 采用失效概率P f来度量结构的可靠度
§8.1 可靠度的基本概念
§8.1.3可靠指标的概念
结构可靠指标
若R~N(R , R)，S~ N(S , S) ，且R、S 相互独立 Z=R-S~ N(z , z) ， z = R - S ， 2z= 2R + 2S
服从正态分布，结构可靠指标与失效概率Pf 具有一一对
应的关系。
Pf
z R s z
1 1 Pf
2 R
2 S
z z
R S
2 R
2 S
在一般情况下，一阶矩（均值）和二阶矩（标准差）是比 较容易得到的参数，故国内外目前广泛采用均值(一阶原
点矩)和标准差(二阶中心矩)来计算结构可靠度。当结构
z
n [ g
i1 X i
Xi ]2
Xi
§8.2 中心点法
§8.2.3多个随机变量服从正态分布的情况
➢ 当结构的功能函数为线性函数时，可靠指标简化为
z X1 X 2 Xn
z
n
( Xi )2
i 1
§8.2 中心点法
中心点法的最大特点是：
➢ 计算简单，运用中心点法进行结构可靠性计算时，不 必知道基本变量的的真实概率分布，只需知道其统计 参数：均值、标准差或变异系数，即可按上式计算可
4
100
纪念性建筑和特别重要的建筑结构
§8.1 可靠度的基本概念
§8.1.1 可靠度的定义
设计基准期(design reference period) ——为确定可变作用及时间有关的材料性能等取值而
选用的时间参数 规范所采用的设计基准期为50年 ——设计基准期不等同于建筑结构的设计使用年限
§8.1 可靠度的基本概念
β与Pf的数值关系
可靠指标与失效概率pf的关系
2.7
3.2
3.7
pf
3.510-3
6.910-4
1.110-4
4.2 1.310-5
可靠指标同样唯一反映结构可靠度，但不需知道各变量的 确切分布函数，只需知道其统计参数就可获得可靠性度量。
§8.2 中心点法
§8.2.1两个正态分布随机变量的模式
用结构可靠指标 来度量结构的可靠性
Z=g(R,S)=R-S Z=g(R,S)=R-S= 0
S Z<0 失效区
0
Z=R-S= 0
Z>0 可靠区
R
§8.1 可靠度的基本概念
§8.1.3可靠指标的概念
结构可靠度的度量
结构可靠度满足：
Z>0具有相当大的概率
或 Z<0 具有相当小的概率
结构完成预定功能的概率P s=P (Z0) --可靠概率 结构不能完成预定功能的概率P f=P (Z<0 ) --失
它们共同构成了结构设计的基本变量，它们的统计规律构 成了可靠性理论的基础。我们就把这些决定结构静态或动 态反应的设计参数，定义为结构设计基本随机变量。
§8.1 可靠度的基本概念
§8.1.1 可靠度的定义
➢ 结构的可靠性：结构在规定的时间（设计使用年基准期 ）内，在规定的条件下（正常设计、正常施工、正常使 用），完成预定功能的能力（结构的安全性、适用性和 耐久性）
§8.1 可靠度的基本概念
当结构计算模型选定后，需要涉及许多参数。这些参数可 归纳为主要的两大类： 一类是与结构或构件的作用效应或荷载效应的有关参数 ，包括施加在结构上的直接作用或间接作用，如结构承 受的设备、车辆施加于结构的荷载、雪荷载、土压力、 温度作用等。 另一类是与结构或构件抗力的有关参数，如材料强度、 截面尺寸、连接条件等。
——即房屋结构在正常设计、正常施工、正常使用和正 常维护下所应达到的使用年限，如达不到这个年限则 意味着在设计、施工、使用与维修的某一环节上出现 了非正常情况，应查找原因
GB50068—2001规定：结构设计使用年限分类
类别 设计使用年限（年）
示例
1
5
临时性结构
2
25
易于替换的结构构件
3
50
普通房屋和构筑物
4、在设计规定的偶然事件发生时及发生后，仍能保持必要
的整体稳定性
1项、4项 结构安全性的要求
2项
结构适用性的要求
3项
结构耐久性的要求
§8.1 可靠度的基本概念
§8.1.1 可靠度的定义
设计使用年限(design working life)
——设计规定的结构或结构构件不需进行大修即可按其 预期目的使用的时期
靠指标值以及失效概率Ｐf 。 ➢ 若值β较小，即Ｐf 值较大时，Ｐf 值对基本变量联
合概率分布类型很不敏感，由各种合理分布计算出的
Ｐf 值大致在同一个数量级内； ➢ 若β值较大，即Ｐf 值较小时，Ｐf 值对基本变量的
联合概率分布类型很敏感，此时，概率分布不同，计
算出的Ｐf 值可在几个数量级范围内变化。
第八章
工程结构可靠度计算方法
第8章 工程结构可靠度计算方法
§8.1 可靠度的基本概念 §8.2 中心点法 §8.3 验算点法 §8.4 相关随机变量的结构可靠度 §8.5 结构体系可靠度
§8.1 可靠度的基本概念
结构可靠性分析是基于事物具有不确定性这样 一个基本观点，利用适当的数学模型建立这些不确 定性与结构性能之间的联系，是结构可靠性理论所 研究的主要问题。
§8.2 中心点法
中心点法存在以下不足： （１）不能考虑随机变量的实际分布，只取用随机变量的一
Ｚ＝g(X1 , X2 ····· Xn)
极限状态方程为
Ｚ＝g(X1 , X2 ,····· Xn)=0，其中Ｘi (i=1,2,…,n) 生成的空间记为Ω， (X1 , X2 ,····· Xn) 表示Ω
中的点。
§8.2 中心点法