张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
【注】
犉（狓）＝△ 犘｛犡 ≤狓｝＝ 犘｛－ ∞ ≤ 犡 ≤狓｝
狓
∫ ＝ 犳（狋）ｄ狋（连） －∞
４犡～犉（狓）＜狆犳犻（狓→）分→布概律率密度
＝ ∑狆犻．（离） 狓犻≤狓
烄① 单调不减；
（１）犉（狓）是某个狓 的分布函数 烅②犉（－ ∞）＝０，犉（＋ ∞）＝１；
③
烆犘（犃１犃２犃３）＝ 犘（犃１）犘（犃２）犘（犃３）．④
【注】若只满足 ①②③，称犃１，犃２，犃３ 两两独立．
【例】［取自《张宇概率论与数理统计９讲》Ｐ２３，例１．３３］
将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：犃１ ＝ ｛掷第一次出现正面｝，犃２ ＝ ｛掷第二次出
现正面｝，犃３ ＝ ｛正反面各出现一次｝，犃４ ＝ ｛正面出现两次｝，则事件（ ）．
【例２】［取自《张宇考研数学闭关修炼一百题·习题分册》Ｐ４２，８１］ 要验收一批乐器，共１００件，从中随机地取３件来测试（设３件乐器的测试是相互独立 的），如果３件中任意一件经测试被认为音色不纯，这批乐器就被拒绝接收．设一件音色不 纯的乐器经测试被查出的概率为０．９５，而 一 件 音 色 纯 的 乐 器 经 测 试 被 误 认 为 不 纯 的 概 率 为０．０１．如 果 已 知 这１００件 乐 器 中 有４件 是 音 色 不 纯 的 ，问 这 批 乐 器 被 接 收 的 概 率 是 多少？ 【分析】
④（犡，犢）的犉（狓，狔），犳（狓，狔）； ⑤犣 ＝犵（犡，犢）的犉犣（狕），犳犣（狕）；
⑥犘｛（犡，犢）∈犇｝＝ 犳（狓，狔）ｄσ． 犇
（３）求数字特征． （４）狀→ ∞ 时的若干重要概率规律． （５）估计与评价．
—１—
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
第一讲 随机事件与概率
综述
用古典、几何、公式求复杂事件的概率．
＝１－犘（∩ 犃犻） 犻＝１
狀
＝１－ ∏犘（犃犻） 犻＝１
狀
＝１－ ∏［１－犘（犃犻）］ 犻＝１
③ 常考狀＝３时的情形，犃１，犃２，犃３
烄犘（犃１犃２）＝犘（犃１）犘（犃２）； ①
犘（犃１犃３）＝ 犘（犃１）犘（犃３）； 烅
犘（犃２犃３）＝ 犘（犃２）犘（犃３）；
② 犃１，犃２，犃３ 相互独立．
（Ｂ）若 犡 ～犳（狓）＝ 犃ｅ－（狓＋２１）２ ，则 犃 ＝ １ ； ２槡π
烄１３，狓 ∈ ［０，１］，
（Ｃ）若 犡 ～犳（狓）＝ 烅２９，狓 ∈ ［３，６］，且 犘｛狓 ≥犽｝＝ ２ ３，则犽＜１；
烆０，其他
（Ｄ）若 犡 ～犉（狓），犡 ～犳（狓），且狓 ≤０时犳（狓）连续，犳（狓）＝犉（狓）
犉（０）＝１，则
则称犃１，犃２，…，犃狀 相互独立且“夫唱妇随”，即
狀个事件相互独立 它们中任意一部分事件换成各自的对立事件，所得狀 个新事件
相互独立．
如犃，犅 独立犃，犅 独立 犃，犅 独立 犃，犅 独立．
于是，若 犃１，犃２，…，犃狀（狀 ＞３）相互独立，则
狀
狀
犘（∪ 犃犻）＝１－犘（∪ 犃犻）
犻＝１
犻＝１
狀
到达河岸，架桥需２０分钟，部队将于７：３０到８：００之间到达河岸，求部队到达河岸时可立
即过河的概率．
【分析】
三、重要公式求概率
１．对立 犘（犃）＝１－犘（犃）思想方法． ２．减法 犘（犃犅）＝ 犘（犃 －犅）＝ 犘（犃）－犘（犃犅）． ３．加法（１）犘（犃 ＋犅）＝ 犘（犃）＋犘（犅）－犘（犃犅）； （２）犘（犃＋犅＋犆）＝犘（犃）＋犘（犅）＋犘（犆）－犘（犃犅）－犘（犅犆）－犘（犃犆）＋犘（犃犅犆）． 【例】［取自《张宇考研数学闭关修炼一百题·习题分册》Ｐ４３，８２］ 为了寻找《张宇高等数学１８讲》，一个学生决定到３个图书馆去试一试．每一个图书 馆有这本书的概率为５０％，如果有这本书，则已借出的概率为５０％，若已知各图书馆藏书 是相互独立的，求这个学生能借到这本书的概率． 【分析】
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
引 言
１．先修课程：基础课． ２．后续课程：扫码看《张宇概率论与数理统计９讲》的第８、９讲的二维码讲解 ——— 数 理统计面面观． ３．五大问题． （１）求 犘｛复杂事件｝． （２）①犡 的犉犡（狓），犳犡（狓）； ②犢 ＝犵（犡）的犉犢（狔），犳犢（狔）；
∫ ③犘（犡 ∈犐）＝ 犳犡（狓）ｄ狓； 犐
烄狓１ 狓２ … 狓狀 …烌
（２）分布律 犡 ～ 烆狆１ 狆２
… 狆狀
犡 ≤狓｝，离散型狉．狏． 步步高阶梯型犉（狓）．
３ 连续型随机变量
若存在非负可积函数犳（狓），使得 狓 ∈ （－ ∞，＋ ∞）有
狓
∫ 犉（狓）＝ 犳（狋）ｄ狋． －∞
则称 犡 为连续型，犳（狓）叫作 犡 的概率密度函数． —８—
一、古典概型求概率
定义 若Ω 中有有限个、等可能的样本点，称为古典概型． 犘（犃）＝Ω犃 中中样样本本点点个个数数． 【例】将３个球随机地放入４个盒子内，犡 表示有球的盒子数，犢 表示第１个盒子内球 的数目，求 ①犘｛犡 ＝１，犢 ＝０｝； ②犘｛犡 ＝２，犢 ＝１｝； ③犘｛犡 ＝３；犢 ＝２｝． 【分析】
【例５】若 犡 ～犳犡（狓），犢 ＝犵（犡），求犢 ～犳犢（狔）． 【分析】
烆③ 右连续．
烄①狆犻 ≥０； （２）｛狆犻｝是分布律 烅
烆②∑狆犻 ＝１（归一性）． 犻
烄①犳（狓）≥０；
（３）犳（狓）是概率密度函数 烅 ＋∞
∫ 烆②
犳（狓）ｄ狓 ＝１（归一性）．
－∞
５ 八个分布
（１）０－１分布．
（Ｂｅｒ－犈１）犡（伯努利计数变量）～ 烄１
０烌 ．
烆狆 １－狆烎
（２）二项分布．
—２—
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二、几何概型求概率
若Ω 是一个可度量的几何区域，且样本点落入Ω 中的某一可度量子区域犃 的可能性
大小与犃 的几何度量成正比，而与犃 的位置与形状无关，称为几何概型．
犘（犃）＝
犃 Ω
的度量（长度、面积） 的度量（长度、面积）．
【例】某舟桥连接到命令要赶到某河岸为某部队架桥，设舟桥连将于７点到７：３０之间
—３—
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【注】超过三个的事件和的概率一般附加“互斥”、“独立”条件．
① 若犃１，犃２，…，犃狀（狀＞３）两两互斥，则
狀
狀
∑ 犘（∪ 犃犻）＝ 犘（犃犻）；
犻＝１
犻＝１
② 设犃１，犃２，…，犃狀，若对其中任意有限个犃犻１，犃犻２，…，犃犻犽 （犽≥２），都有
犘（犃犻１，犃犻２，…，犃犻犽 ）＝犘（犃犻１）犘（犃犻２）…犘（犃犻犽 ），
烄① 独立； （Ｂｅｒ－犈狀）烅②犘（犃）＝狆；
烆③ 只有 犃，犃．
记 犡 为 犃 发生的次数，则
犘｛犡 ＝犽｝＝ Ｃ狀犽·狆犽（１－狆）狀－犽，犽＝０，１，２，…，狀． （３）几何分布
（Ｂｅｒ－犈∞ ）首中即停止（等待型分布），记 犡 为试验次数，则 犘｛犡 ＝犽｝＝狆·（１－狆）犽－１，犽＝１，２，…．
狓
∫ 犡 ～Φ（狓）＝ φ（狋）ｄ狋（标准正态专用符号）， －∞
犡 ～ 犖（０，１）．
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二、综合题分析
１．概念 ２．犡 ～犉（狓） ３．犢 ＝犵（犡）～犉（狔） 【例１】下列说法错误的是（ ）． （Ａ）犡１，犡２ 相互独立，犡１ ～犉１（狓），犡２ ～犉２（狓），则犉１（狓）犉２（狓）必为 ｍａｘ｛犡１，犡２｝ 的分布函数；
（Ａ）犃１，犃２，犃３ 相互独立
（Ｂ）犃２，犃３，犃４ 相互独立
（Ｃ）犃１，犃２，犃３ 两两独立
（Ｄ）犃２，犃３，犃４ 两两独立
—４—
【分析】
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４．条件犘（犃狘犅）＝ 犘犘（犃（犅犅）），犘（犅）＞０． ５．乘法 犘（犃犅）＝ 犘（犅）犘（犃狘犅）＝ 犘（犃）犘（犅狘犃）， 犘（犃１犃２犃３）＝ 犘（犃１）犘（犃２狘犃１）犘（犃３狘犃１犃２）． ６．全集分解公式（全概公式）． （１）引例 一个试验可以人为分成两个阶段： （Ⅰ）小张（犃１）小政（犃２）小英（犃３） （Ⅱ）失窃 ＝犅 犘（犅）＝ 【分析】
入 乙 袋 ，再 从 乙 袋 中 任 取 一 球 ，求 取 出 的 球 是 白 球 的 概 率 狆；如 果 已 知 从 乙 袋 中 取 出 的
球是白球，求从甲袋中取出的球是１白１黑的概率狇．
【分析】
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第二讲 一维随机变量及其分布
综述
１．八个重要分布 ２．一维 犡 与犉犡（狓） ３．犢 ＝犵（犡）与犉犢（狔）
等待型分布（寿命分布）（连续）
若
犡
～犳（狓）＝
烄λｅ－λ狓 烅烆０，
，狓 狓
＞ ≤
０， 则
０，
犡
～ 犈（λ）（λ ＞ ０）．λ ～
失效率，犈犡
＝
λ１．
△狓
∫ 犉（狓）＝ 犳（狋）ｄ狋 －∞
∫ ∫ 烄
狓
λｅ－λ狋ｄ狋＝－
狓
ｅ－λ狋ｄ（－λ狋）＝－ｅ－λ狋
狓
＝１－ｅ－λ狓，狓 ≥０，
＝烅０
０
０
烆０，
狓 ＜０．
率．
犘｛犡 ＝犽｝＝犽λ犽！ｅ－λ，λ～ 强度（犈犡 ＝λ）．
（６）均匀分布．
“几何概型”＜＜犝（犪，犫）
若
犡
～犳（狓）＝
烅烄犫－１犪，犪≤狓
≤犫（正概率区间）， 则
犡
～犝［犪，犫］．
烆０， 其他，
【注】高档次说法：“犡 在犐上的任一子区间取值的概率与该子区间长度成正比”．
犡 ～犝（犐）． （７）指数分布．
烆０， 狓 ≥２．
【分析】
— １２ —